2022年考研数学一真题及答案解析

2022年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析

已知/(工)满足lim善=1,则

1［单选题］x“lnx

AJ⑴=0

limf(x)=0

BL

J⑴=1

limf'(x)=1

D.I

正确答案：B

参考解析：

因为极限存在，所以当x趋向于1的时候，lnx趋向于0,所以lim/(x)=0

土T1

2［单选

遨］

7/AN

已知函数z=iy/(一),其中/(u)可导，若1(二+y-^-=y^(lny一/nc),则

xoxoy

f⑴⑴=0

A./

/(i)=o,r(i)=I

N)=［j")=l

c.z

/(i)=o,r(i)=i

D.

正确答案：B

参考解析：

己知z=xyf(-),x-^-+y-^-=2zy/(—),带入x-^-+y-^-=y^{lny-，m),得

xoxoyxoxoy

2xyf(—)—才(Iny—lnx),令z=%即/(z)—^-zlnz

xx2

3［单选题］下列是43x3是可对角化的充分而非必要条件是

A.A有三个不相等的特征值

B.A有三个线性无关的特征向量

C.A有三个两两无关的特征向量

D.A的不同特征值对应的特征向量正交

正确答案B

参考解析：

充分而非必要条件，即选中的答案可以推出矩阵A可对角化，但是A

可对角化推不出选项中的答案，A为充要条件，C选项是必要而非充分

条件，D既不充分也不必要，B正确。

n71

设有数列Xn,其中Xn满足一天WXn£丁，则

M单选题22

若lim存在，则lim5存在.

A.、一/,

若1面5亩(85%”)存在，则Km4存在.

若limcos(sinx.]存在且limsinx”存在，则lim亏不一定存在.

若limsin(cosx)存在且limcosK存在，贝i]lim/不一定存在.

□n->ar.o->9

正确答案：D

参考解析：

举特1列就行了，取/=(-If或者(-1)^，

因为Xn正负交替，cos为偶函数，一定存在极限，sin为奇函数不存在

5[单选

遨]

I「x,.f1Zn(l+x)/•*2x,

Il=I――-----------dxI2=I-----------drZ3=/-----：—dx

Jo2(1+cosx)Jo1+coszJ。1+sznc则

Ah<h<h

I2<<I3

B.

I\<I3<A

c.

[3<<A

D.

正确答案■.A

参考解析：

因为/i,/2都有(1+cosx),所以比较需与ln(x+1)的大小，

另F(x)=/n(x+1)-求导，因为0<z<1,所以Ff(x)>0,即ln(x+1)>,I\<I?,

已知X>2n（1+工），比较1+cos与丝彳+1的大小，用同样的做法,

sinx-4-1

取F(x)=cos+1----------,0<x<1时候，尸'(X)>0,

所以cos+l>W±l,因为分子大，分母小，且为正，所以13>12

61卓选题/设A,B均为n阶矩阵，若AX=0与BX=0同解，贝IJ

方相且2）沙=0只有零解

A.

方程组=0只有零解

B\OABJ

了组《如。与仁加。同解

口用工组（AoB>B\=°与「（BoA/A\=°同o&解R

正确答案：C

参考解析：

可以令片（。然后将c中的一肖元得化解得C凯蜀=。与仁:尼）=。同络

因为力X=0与BX=0同解，所以C选项正确，

也可以矩阵的秩判断，AX=0与BX=0同解，即r（A）=r（B）,不能推出矩阵

得秩为2n,A错误，也不能推出AB可逆，B错误，也不能满足D选项

中方程组得秩相等。

7[单选

邀]

T门、rr

设q=1生=2,生=,1.a,=z,若4..生与4%,a；等价，则

3㈤

入e0

A.{入|入ER}

B.{入|入6R,入#-1}

C.{X|XGR,入#-1,入卢-2}

D.{入|入ER,人声-2}

正确答案：C

参考解析：

本题可以将a,a,a,a列出来化简，找出对应关系，也可以将入=-1带

入，r(a,a,a)=3,r(a,a,a)=2,不等价，所以入1-1,将入=-2带入，

r(a,a,a)=2,r(a,a,a)=3,不等于，所以入卢-2。C正确。

8［单选题］设随机变量X~U(0,3)，随机变量Y服从参数为2的泊松分布,

且X与Y协方差为-1,则D(2X-Y+1)=()

A.1

B.5

C.9

D.12

正确答案■C.

参考解析：

公式运算,由X~U(O,3),Y~P(2)可得，D(X)=3/4,D(Y)=2,故D(2X-

Y+l)=D(2X-Y)=4D(X)+D(Y)-4Cov(X,Y)=3+2+4=9

9［单选

遨］

设随机变量为52,…，X”独立同分布，且处的4阶矩存在.设必=E(Xf)(k=

1.2.3.4).则由切比雪夫不等式，对Ve>0,有尸］：方％2一〃2孑J《()

〃4一屿

A.

〃4一席

DR.

-2-

C.标

〃2-储

D.、历M

正确答案.，A

参考解析：

E£用)=+£E(X?)=E(X?)="2,

。(岳X；)=《£。(X?)=4(E(着)-[E(X?)]2)

n一

\1=1/1=11=1

根据切比雪夫不等式，p{k£x?一〃2Ne卜"停"I=号

10［单选题设随机变量X~N(0.1),在X=x条件下随机变量Y~N(x,1),

则X与Y的相关系数为()

A.1/4

.1/2

造

B.

c3

亭

r

正确答案■.D

参考解析：

EY=1.y)dj-dy=J：：fxMdjrJ：：yfnxiy工)公

力「(丫=工)公=仁

=/.r­।x忘=0

EXY=皮/二工力(ry)dxdy=J：；J/X")小/::〃4］x(y|l)如

f+OC1

=/-^=工一七E{Y|X=x)djc=/：］dr=EX2=1

J-ocy/2r£

EY2=亡力〃工.y)dxdy-/：二/X(H)公/受y2fr\x(y\i)dx

=/二去ZEHIX=n)di=f：：工才;XAdr=E(X2+1)=2

故Cov(X.V)=l,O(Y)=2

所以。=品袋部=击，故选(°)，

111填空题

函数/3，M=«+2y2在点(0,1)最大方向导数为

参考解析：

察人=d0+42=4

f=2x,f=4y,故grad(O,1)=(0,4),有公式可得01

12［填空题

fcInx.

/H=

参考解析：

4

【解析】

/——dx=/2仇然后采用交换法，2\/xlnx|f一4，^|；=4

Jix/XJi

\3［填空题

当x三0,y'O时,x+y这ke恒成立，则k的取值范围是—

参考解析：

化简得K2(7+/比-(工+“即求出(/+/)€-("〃)的极大值即可，

2

令尸3,y)=(，+J/)e*+v),对F(z,y)分别求偏导，|

"=0,"，就=0可得出驻点(0,0),(1,1),通过4。一^2>0来判断，

oxuy

(0,0)为极小建点，(1,1)不是极值点，所以在定义城内不存在极大，直，由此可知，极大使在边界上,

且F(xty)关于y=x对称，所以令x=0,F(0,y)=逢一匕

令尸'(0,2/)=0可得y=2,带入x=0,1/=2,F(0,2)即为最大值

14［填空题

已知级数y—e-nx的收敛域为(«,+8),则a=___________

Jnn

〃=l

参考解析：

令”式%)=々0-",则

n

（力+1）!

%1(X)3+1产

lim=lim

〃K(X)川.以

--e

x>-l,a=-l

\5［填空题

已知矩阵A和E-A可逆，其中E为单位矩阵，若矩阵B满足(E-(E-A))B

=A,贝IJB-A=

参考解析：

因为4可逆，所以B可逆，(E—(E—4)-i)可逆,

所以B=(E-(A-E尸尸4B-A=((E-(A-石尸尸-E)A

\6［填空题

设43.C为三个随机事件.4与B互不相容.4与C互不相容,3与。相互独立.

且P(*=P(B)=P(C)=；,则P(SUC|/lUflUC)=.

参考解析：

由题知P(AB)=O,P(AC)=O,P(BC)=P(B)P(C)=l/9,所求概率由条件概率公

式得

h(BUC)|(<UBUC)]

_P[(BUC)CI(-U3UC)]

P(JU5UC)

P(0U^UC)P(^UC)

-P(JU^UC)­P(JU5UC)

_____________________尸(8)+尸(。)一尸(一C)_____________

-P(A)+P(B)+P©-P(AB)-P(B。-PQ4C)+P(ABC

P(B)+P(C)-P(BC)

一尸(㈤+尸(5)+尸(O--(8C),

P(J)=P(5)=P(Q=1P(5Q=P(5)P(C)=i

将3,9代人得

p((5uc)i(^u^uc)]=^-Ar^=|

i-i8

9

17［简答题

1

设圣数!/(©是微分方程U+y=2+y/x的满足1/(1)=3的解，求白线y=y(x)的渐近线:

2V0

参考解析：

[MISSINGIMAGE]

由题可得，y'=--^y+2+y/x,根金=e-，Pa)dx(/Q(x)e^p^dxdx+C)可得,

£yjX

y=e'——x(J(2+何e'—#'dx+C)=2x+Ce~^,将y(l)=3代入可得

C=e,贝!Jy=2%—e1-",

水平渐近线：lim（2x—e/《）=+8,故曲线没有渐近线

X7+8

垂直渐近线：显然可知，曲线没有渐近线

斜渐近线：limax-：1丫）=2,Hm2x-e1-v5?-2x=Q,故曲线斜渐近线为y=

XT+8XT+8

2x.

18[简答题

已知平面区域。=",切睚2二,二G],计算1”汽

D

参考解析：

首先画图得圆与直线得构成得图形，做一条y=-x+2得辅助线。

辅助线与圆之间得阴影部分为D1,剩下得阴影部分为D2,所以原式得

//(一鼻)…jjujj』

DD

川即//玛ff2r

由于02关于j/轴对称，所以

JJX2+l

原式I=j]lkdy_jj/+y2+11—2rsin0cos0dr

DD\

220

_r/；8sin8cos

原式，=2+冗一/•(•91一二de

?4sin28cos28nsin20

=2+n-2/de=2+口一/de=211-2

JQ1+sin2xJo1+sin0

19[简答题

L是曲面£：4,+，+/=I,120,y>0,z20的边界,

曲面方向朝上，已知曲线L的方向和曲面的方向符合右手法则,

求—cosz)dx+2xz2dy+(2xyz+xsinz)dz

参考解析:

由斯托克斯公式可得：

d)dzdzdx去力

"dd

d=口(-2丫二办比+二'小小')

dxdydzV

22

yz-cosz2xz2AJC+XSUI二

22

Z1：4A+y<1.x>0.1'>0,指向z轴负向,

令:4x2+v2<l.x>0,z>0,指向y轴负向,

令工3：/+二241,»20,2之0,指向x轴负向，

则/=目(-2xzd)dz+Jdx分)-J|(-2x2«Azt+z2dxdy)-JJ(-2xrchct+Jdxdy)

2>'+工2+工,工Si

_JJ(-2x二力d二+/dx力)=JjJ(2:r-2二)公力d二-0-0-0=0

2n

20［简答题

设/(-V)在(一8.+8)有二阶连续导数.证明：f"(x)M0的充要条件为对不同实数

彳号)W六「八幻改

参考解析：

r/、//4+b、入,/。+b、/1a+b、2/»人工-i..n+Z?

/(-V)=/(-)+/(-)(.r---)+-/(氯x--广，(给人与一y-之|nD

「(X)&巾(崂+r(竽Xx-竽)+#(凰、-竽昨

=/(Y)S—a)+f尸dx

充分性：若存在及使得了"(.”)<(),因为f(x)有二阶连续导数，故存在6>0,使

x

得f\)在EX0-8,X0+5］内恒小广零，记a^-6,6=^+8,

而此时J：/(x)dY=/(笥)(b—a)+J：gr&Xx—公</(9)S—a)

因此矛盾,故/"”(.%)之0,得证;

a

f(x)dxa+b

必要性：若/'"(xo>。.则/*(4)20,有与~->/(^),得证；

(b-a)2

综上即可证明充要性

21［简答题

33

已知二被型f(Xi,X2,工3)二££。•XiXj

工=1y=l

(/)写出f(X1,X2,X3)对应的矩阵

(〃)求正交变换x=Qy,将/(xi,6,工3)化为标艇

(/〃)求/(阳,血,的)=0的解

参考解析：

(1)解:

301

由题可知，二次型对应的矩阵为A=040\AE—A\=

.103.

2-40=(A-4)I2-3

02-3T

4)(2—4)(A—2)=(A—4)2(4—2),由特征方程可得特征值为4=&=4,%=

10

r

2,当入=入2=4时，|2E—4|x=00=[1,0,l],a2=

.-10

-10

[0,1,0]"独3=2时，|花一川％=0-2=0,戊3=[―l,0,l]r,正

.-10

父单彳“化得=[0,l,0]r,e=五[-即彳^<2=

13

_z1

o-乃

夜1

1+-

nyl

VO21不-

1nV12标准型即为/()4yj及+2yl.

_