新高考数学一轮复习提升训练9.1 直线方程与圆的方程（精讲）（解析版）

9.1直线方程与圆的方程（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一直线的倾斜角与斜率【例1-1】直线SKIPIF1<0的倾斜角为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由已知得SKIPIF1<0，故直线斜率SKIPIF1<0由于倾斜的范围是SKIPIF1<0，则倾斜角为SKIPIF1<0.故答案为：B.【例1-2】已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0三点共线，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0三点共线，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0。故答案为：A.【例1-3】直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为．【答案】SKIPIF1<0【解析】直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，即倾斜角SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，即倾斜角SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又两直线夹角的范围为SKIPIF1<0，所以两直线夹角为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.【一隅三反】1.（2022·全国·高二）若倾斜角为SKIPIF1<0的直线过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，则实数SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因为直线的倾斜角为SKIPIF1<0，所以直线的斜率为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；故选：C2．（2022·吉林）已知直线l：SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．－1【答案】A【解析】因为直线l的倾斜角为SKIPIF1<0，所以斜率SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.故选：A3．（2023·全国·高三专题练习）设直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的倾斜角SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因为直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：A.4.（2022·江苏）已知直线的倾斜角的范围是SKIPIF1<0，则此直线的斜率k的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】当直线的倾斜角SKIPIF1<0时，直线的斜率SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以直线的斜率k的取值范围是SKIPIF1<0.故选：D考点二直线的位置关系【例2-1】若SKIPIF1<0，则“SKIPIF1<0”是“直线SKIPIF1<0和直线SKIPIF1<0平行”的（）A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件【答案】C【解析】由直线ax+y-1=0和直线x+by-1=0平行，可得ab=1.反之不成立，例如a=b=1时，两条直线都为x+y-1=0，所以两条直线重合.ab=1是“直线ax+y-1=0和直线x+by-1=0平行”的必要不充分条件.故选C.【例2-2】已知直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0故答案为：D【一隅三反】1．“SKIPIF1<0”是“直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0互相垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】依题意，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以“SKIPIF1<0”是“直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0互相垂直”的充分不必要条件.故答案为：A2．（2022广东）已知直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0.直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，则下列命题正确的是（）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0 D．直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0【答案】BCD【解析】A.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，经检验此时两直线平行，所以该选项错误；B.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以该选项正确；C.直线SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，无论SKIPIF1<0取何值，SKIPIF1<0恒成立，所以此时直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0，所以该选项正确；D.直线SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，无论SKIPIF1<0取何值，SKIPIF1<0恒成立，所以直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0，所以该选项正确.故答案为：BCD3．若方程组SKIPIF1<0无解，则实数SKIPIF1<0．【答案】±2【解析】因为方程组SKIPIF1<0无解，所以两直线平行，可得SKIPIF1<0.考点三直线与圆的位置关系【例3-1】（2022浙江）当圆SKIPIF1<0截直线SKIPIF1<0所得的弦长最短时，m的值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．-1 D．1【答案】C【解析】直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，圆SKIPIF1<0截直线SKIPIF1<0所得的弦长最短，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故答案为：C【例3-2】已知圆SKIPIF1<0经过原点，则圆上的点到直线SKIPIF1<0距离的最大值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】如图：SKIPIF1<0圆心为SKIPIF1<0，经过原点，可得SKIPIF1<0则圆心SKIPIF1<0在单位圆SKIPIF1<0上，原点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0延长BO交SKIPIF1<0于点C，以C为圆心，OC为半径作圆C，BC延长线交圆C于点D，当圆心SKIPIF1<0在C处时，点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离最大为SKIPIF1<0此时，圆SKIPIF1<0上点D到直线SKIPIF1<0的距离最大为SKIPIF1<0故答案为：B【一隅三反】1（2022江苏）．过点SKIPIF1<0的直线l与圆SKIPIF1<0有公共点，则直线l倾斜角的取值范围是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】设直线的倾斜角为SKIPIF1<0，圆心到直线l的距离为SKIPIF1<0，当直线l的斜率不存在时，易得SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，符合题意，SKIPIF1<0；当直线l的斜率存在时，设直线SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；综上可得SKIPIF1<0.故答案为：C.2．（2022江西）若直线l∶SKIPIF1<0截圆SKIPIF1<0所得的弦长为2，则k的值为.【答案】SKIPIF1<0【解析】由题意得，圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<03．（2022江苏）若直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切，则实数SKIPIF1<0．【答案】25【解析】直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切，圆心到直线的距离SKIPIF1<0平方可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0故答案为：254．（2022湖南）若圆SKIPIF1<0上总存在两个点到点SKIPIF1<0的距离为2，则实数a的取值范围是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】到点SKIPIF1<0的距离为2的点在圆SKIPIF1<0上，所以问题等价于圆SKIPIF1<0上总存在两个点也在圆SKIPIF1<0上，即两圆相交，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故选：A.考点四圆与圆的位置关系【例4-1】（2022徐汇期末）已知圆SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0内切，则m的值为．【答案】SKIPIF1<0【解析】圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，所以两圆的圆心距SKIPIF1<0，又因为两圆内切，有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【例4-2】（2022·河东模拟）圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的公共弦长为．【答案】SKIPIF1<0【解析】两圆方程相减得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，原点到此直线距离为SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0半径为SKIPIF1<0，所以所求公共弦长为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．【例4-3】（2022南京期末）已知圆SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0，则同时与圆SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0相切的直线有（）A．4条 B．2条 C．1条 D．0条【答案】B【解析】由SKIPIF1<0，得圆SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相交，所以圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0有两条公共的切线。故答案为：B.【一隅三反】1．（2022汉中期中）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，那么它们的位置关系是（）A．外离 B．相切 C．相交 D．内含【答案】C【解析】SKIPIF1<0方程可化为SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0方程可化为SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故两圆相交。故答案为：C.

2．（2022·邯郸模拟）已知圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，则“SKIPIF1<0”是“圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0内切”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0内切，则圆心距SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0内切的充分不必要条件.故答案为：A3．（2022·河西模拟）设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0两点，则SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【解析】将SKIPIF1<0和SKIPIF1<0两式相减：得过SKIPIF1<0两点的直线方程：SKIPIF1<0，则圆心SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<04．（2022·石家庄模拟）（多选）已知圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（）A．若圆SKIPIF1<0与x轴相切，则SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，则圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相离C．若圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0有公共弦，则公共弦所在的直线方程为SKIPIF1<0D．直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0始终有两个交点【答案】BD【解析】因为圆SKIPIF1<0，所以若圆SKIPIF1<0与x轴相切，则有SKIPIF1<0，A不符合题意；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，两圆相离，B符合题意；由两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程SKIPIF1<0，C不符合题意；直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0内部，所以直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0始终有两个交点，D符合题意.故答案为：BD

考点五切线与切线长【例5-1】（2022·朝阳模拟）过点SKIPIF1<0作圆SKIPIF1<0的切线，则切线方程为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】C【解析】由圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，斜率存在时，设切线为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，斜率不存在时SKIPIF1<0，显然不与圆相切；综上，切线方程为SKIPIF1<0.故答案为：C【例5-2】（2022·湖北模拟）若圆SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，则从点SKIPIF1<0向圆SKIPIF1<0作切线，切线长最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【解析】由圆SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，∴圆心SKIPIF1<0，又圆SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由点SKIPIF1<0向圆SKIPIF1<0所作的切线长为：SKIPIF1<0，即切线长最小值为4.故答案为：C.【例5-3】（2022·广东模拟）（多选）已知圆SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0，过圆SKIPIF1<0上任意一点SKIPIF1<0作圆SKIPIF1<0的两条切线，设两切点分别为SKIPIF1<0，则（）A．线段SKIPIF1<0的长度大于SKIPIF1<0B．线段SKIPIF1<0的长度小于SKIPIF1<0C．当直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切时，原点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0D．当直线SKIPIF1<0平分圆SKIPIF1<0的周长时，原点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0【答案】A,D【解析】如图示：SKIPIF1<0，根据直角三角形的等面积方法可得，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，A符合题意，B不符合题意；当直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切时，由题意可知AP斜率存在，故设AP方程为SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，设原点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为d，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，C不符合题意；当直线SKIPIF1<0平分圆SKIPIF1<0的周长时，即直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，AP斜率存在，设直线SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故原点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，D符合题意；故答案为：：AD【一隅三反】1．（2022·兴化模拟）从圆SKIPIF1<0外一点SKIPIF1<0向圆引切线，则此切线的长为．【答案】2【解析】将圆化为标准方程：SKIPIF1<0，则圆心SKIPIF1<0，半径1，如图，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，切线长SKIPIF1<0．故答案为：2

2．（2022·广西模拟）过圆SKIPIF1<0上一点A作圆SKIPIF1<0的切线，切点为B，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】设圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的圆心分别为O，C，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0最小时，SKIPIF1<0最小，由于点A在圆O上，则SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故答案为：B.3.（2022·陕西模拟）已知圆SKIPIF1<0，P为直线SKIPIF1<0上的动点，过点P作圆C的切线SKIPIF1<0，切点为A，当SKIPIF1<0的面积最小时，SKIPIF1<0的外接圆的方程为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由题可知，SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，圆心SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，要使SKIPIF1<0的面积最小，即SKIPIF1<0最小，SKIPIF1<0的最小值为点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，即当SKIPIF1<0点运动到SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最小，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，此时直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是直角三角形，所以斜边SKIPIF1<0的中点坐标为SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的外接圆圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的外接圆的方程为SKIPIF1<0.故答案为：C.考点六对称问题【例6-1】（2022广东）如果SKIPIF1<0关于直线l的对称点为SKIPIF1<0，则直线l的方程是()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因为已知点SKIPIF1<0关于直线l的对称点为SKIPIF1<0，故直线l为线段SKIPIF1<0的中垂线，求得SKIPIF1<0的中点坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，故直线l的斜率为-3，故直线l的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0。故答案为：A.【例6-2】（2022云南）与直线2x+y－1=0关于点（1，0）对称的直线方程是（）A．2x+y－3=0 B．2x+y+3=0 C．x+2y+3=0 D．x+2y－3=0【答案】A【解析】在所求直线上取点（x，y），关于点（1，0）对称的点的坐标为（a，b），则SKIPIF1<0，∴a=2-x，b=-y，∵（a，b）在直线2x+y-1=0上，∴2a+b-1=0，∴2（2-x）-y-1=0，∴2x+y-3=0，故答案为：A。【例6-3】（2022海南）求直线x＋2y－1＝0关于直线x＋2y＋1＝0对称的直线方程（）A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0 C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0【答案】B【解析】设对称直线方程为SKIPIF1<0