2022年解析北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明综合测评试题（含详细解析）

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明综合测评

考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新

的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，在△力比1中，分别以点力和点8为圆心，以相同的长（大于3力皮为半径作弧，两弧相交

于点"和点肱作直线腑交四于点〃交〃'于点笈连接微若〃=6,AB=8,BC=4,则△侬1

的周长（）

A.10B.12C.8D.14

2、如图，在4中，一和一的平分线相交于点，过点作交于

，交于，过点作1于下列四个结论：

①=+；②ZBOC=90+^ZA；

③点至必各边的距离相等;

④设=,AE+AF=n,则

其中正确的结论个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

3、已知下列命题中：

①有两条边分别相等的两个直角三角形全等；

②有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等；

③有一条边与一个锐角分别相等的两个直角三角形全等；

④顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等.

其中真命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

4、如图，右△46。中，N6=90。，点。在边上，CP平■货匕ACB,PB=3cm,AC=10cm,则的

面积是（）

A.15cm2B.22.5cm2C.30cm'D.45cm'

5、如图，A/I6C中，N4BC=45°,如，46于〃，BE平■分NABC,且皿然于瓦与切相交于点尸,

DHLBC千H,交.BE于G,下列结论中正确的是（）

①A8切为等腰三角形；②）BF=AC；③CE=；BF；®BH=CE.

A.①②B.①③C.①②③D.①②③④

6、下列说法正确的是（）

A.全等三角形是指形状相同的两个三角形

B.全等三角形的周长和面积分别相等

C.所有的直角三角形都是全等三角形

D.所有的等边三角形都是全等三角形

7、下列三个说法：

①有一个内角是30°,腰长是6的两个等腰三角形全等；

②有一个内角是120。，底边长是3的两个等腰三角形全等；

③有两条边长分别为5,12的两个直角三角形全等.

其中正确的个数有（）.

A.3B.2C.1D.0

8、若以下列各组数值作为三角形的三边长，则不能围成直角三角形的是（）

A.4、6、8B.3、4、5

C.5、12、13D.1、3、x/io

9、下列各组线段中，能构成直角三角形的一组是（）

A.5,9,12B.7,12,13C.30,40,50D.3,4,6

10、为了测量学校的景观池的长力6,在力的延长线上取一点C,使得AC=5米，在点C正上方找一

点〃（即OCLBC）,测得NC£>8=60。，N4DC=3O。，则景观池的长力8为（）

A.5米B.6米C.8米D.10米

第n卷（非选择题7。分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，在4中，劭和切分别是ZABC和N4CB的平分线，成过点。，KEFIIBC,若

BE=3,CF=4,则好'的长为.

2、如图，劭是△力比1的角平分线，DEVAB,垂足为£,AB=6,BC=4,DE=2,则△/!a'的面积为

A

3、如图，"是△/a'中N为C的角平分线，DE2AB于点、E,MUC于点F,&酥=21,庞=3,AB=

9,则力。长是.

A

4、如图，△中，边的垂直平分线与边比1交于点〃将4沿初折叠后,使点，与点

«重合，且。E_LAB,若ZB=50。，则/&!£•=_____度.

5、如图，在应△48。中，N8=90°,Z/J=60°,AB=,£为力。的中点，F为AB上一点,将

△力旗沿所折叠得到△外产，鹿交比于点G,若NM9=30°,则CG=.

三、解答题(5小题，每小题10分，共计50分)

1、已知：如图，在△45C中，AB=AC,点小£分别在边6G4C上，AD=AE.

(1)若,则/砒'=°；若NEDC=20°,则/反!〃=

(2)设/胡Z?=x,ZEDC=y,写出y与x之间的关系式，并给出证明.

2、数学课上，老师正在讲尺规作图专题，发现湘琪同学在走神，便叫她上黑板，完成如下尺规作

图：已知直线/及直线/外一点R要过点P作直线/的平行线.由于走神只记得用尺规作图法作线

段垂直平分线的湘琪同学，灵机一动，用尺规完成了如下作图步骤：

①在直线，上取一点4,连接B4；②作处的垂直平分线分别交直线为于点6,O-,

③以。为圆心，加长为半径画弧，交直线的V于另一点。；④连接直线国.

则直线00即为所求.请根据湘琪同学的作图方法，回答下列问题：

(1)湘琪同学通过尺规作图构造的相等的线段有：OB=,OP=

(2)证明：PQ//1.

3、如图，△力比'中，AB=AC,。为比1边的中点，AFLAD,垂足为4求证：N1=N2

4、如图，点〃，£•在△4%的边比'上，AB=AC,AD=AE,求证：BD=CE.

5、如图，△/阿是等边三角形，点〃、E、尸分别同时从4、B、C以同样的速度沿46、BC、勿方向运

动，当点。运动到点6时，三个点都停止运动.

(1)在运动过程中△颇'是什么形状的三角形，并说明理由；

(2)若运动到某一时刻时，BE=4,/龙信150。，求等边△/a'的周长；

5E

-参考答案-

一、单选题

1、A

【分析】

由垂直平分线的性质得故△8EC的周长为8E+EC+8C=AC+8C,计算即可得出答案.

【详解】

由题可知：为A3的垂直平分线，

AE=BE,

・・・AC=6,

AC=AE+EC=BE+EC=6,

•.JBEC=BE+EC+BC=6+4=10.

故选：A.

【点睛】

本题考查垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键.

2、C

【分析】

根据N/ISC和N/磔的平分线相交于点。和三角形的内角和等于180°,可得N80C=90+；NA；再

由N48C1和N4"的平分线相交于点。和用〃灰；可得NEOB=NOBE,ZFOOZOCF,从而得到

BE=OE,C用OF,进而得到EF=BE+CF；过点。作掰L/8于机作宛于M连接的，根据角平

分线的性质定理，可得点。到AA8c各边的距离相等；又由小”冷〃，可得见行品时加榕?)〃，即

可求解.

【详解】

解：在中，/力■和乙4龙的平分线相交于点0,

：.NOBO』/ABC,/OCB=gNACB,

,.Z册N/ei80°-N4,

：./OBC+/OC*(NAB创NACff)=90°ZJ

：.ZBO(=180°-QOBC+NOCB[=90°+1ZJ,故②正确;

在△四。中，N/6C和N/"的平分线相交于点0,

：.AOBC=AOBE,AOCB=AOCF,

'：EF//BC,

：.ZOBC=AEOB,NOCB=4FOC,

：.4EOK乙OBE,AFOOAOCF,

：.B^OE,gOF,

:.EXOE+O2BE+CF,故①正确；

过点。作切吐46于M,作ONLBC于N,连接OA,

又•.•在△/阿中，/4%1和N4龙的平分线相交于点0,

：.ON=OD=O后诵,即点。到△/6C各边的距离相等，故③正确；

■：AE+A/^n,

:.SeS=S-斡/AEX0哈AFX0*ODXCAE+AF)=*mn,故④错误;

综上所述，正确的结论有3个.

故选：C

【点睛】

本题主要考查了角平分线性质定理，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握角平分线上的点到角两边的

距离相等是解题的关键.

3、C

【分析】

根据全等三角形的判定、等腰三角形和直角三角形的性质逐个排查即可.

【详解】

解：①由于S必不能判定三角形全等，则有两条边分别相等的两个直角三角形不一定全等，故原命题

是假命题；

②由于满足ASA,则有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等，故原命题是真命题；

③有一条边与一个锐角分别相等即可能为ASA或AAS,故原命题是真命题；

④由于两等腰三角形顶角相等，则他们的底角对应相等，再结合底相等，满足AS4,故原命题是真命

题.

其中真命题的个数是3个.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定、等腰三角形和直角三角形的性质等知识点，灵活应用相关知识成

为解答本题的关键.

4、A

【分析】

过点尸作也，力C于仅由角平分线的性质可得的加=3cm,然后利用三角形面积公式求解即可.

【详解】

解：如图所示，过点尸作々a/c于。，

YCP平分NACB,N庐90°,PDYAC,

:.PAPB=3cm,

【点睛】

本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关

键.

5、C

【分析】

根据N48C=45°,可得出劭=切；利用A4s判定死△冰侬股△为，，从而得出所=4G再

利用加5判定位△的注应△6%即可得到四=/班由但/孙；BH=\BC,在三角形BCF中，

比较册况1的长度即可得到应〈班.

【详解】

解：'：CDVAB,ZABC=45°,

△及力是等腰直角三角形.

：.BD=CD,故①正确；

在R2FB和欣△“1C中，

■:NDBF=9Q°-NBFD,ZDCA=90°-4EFC,且NBFg/EFC,

DBF=4DCA.

又.：/BDF=/CDA=9Q°,BD=CD,

△如跆△为C

：.BF=AC,故②正确；

在Rt丛BEA和Rt於BEC中

■:BE得分NABC,

：.4ABE=4CBE.

又,：BE=BE,/BEA=/BEC=9G,

Rt/\BEA=Rt/\BEC.

：.CE=\AC=^BF,故③正确；

•:CE=gAC=^BF,BH=\BC,

在△仇产中，ACBE=^ABC=22.5°,NDCB=NABC=45°,

跖C=112.5°,

：.CE<BH,故④错误；

故选：C.

【点睛】

本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS.SSA,HL.在复杂

的图形中有45。的角，有垂直，往往要用到等腰直角三角形，要注意掌握并应用此点.

6、B

【分析】

根据全等三角形的性质，等边三角形的性质判断即可.

【详解】

解：A、全等三角形是指形状和大小相同的两个三角形，该选项错误；

B、全等三角形的周长和面积分别相等，该选项正确；

C、所有的直角三角形不一定都是全等三角形，该选项错误；

D、所有的等边三角形不一定都是全等三角形，该选项错误；

故选：B.

【点睛】

本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等形的概念，全等三角形的性质是解题的关键.

7、C

【分析】

根据三角形全等的判定方法，等腰三角形的性质和直角三角形的性质判断即可.

【详解】

解：①当一个是底角是30°,一个是顶角是30°时，两三角形就不全等，故本选项错误；

②有一个内角是120°,底边长是3的两个等腰三角形全等，本选项正确；

③当一条直角边为12,一条斜边为12时，两个直角三角形不全等，故本选项错误；正确的只有1

个，

故选：C.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定定理，等腰三角形的性质和直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的

判定定理是解题的关键.

8、A

【分析】

根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角

形.如果没有这种关系，这个就不是直角三角形.

【详解】

解：A、42+6M8\不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意；

B、32+举=52,符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；

C、52+122=13\符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；

D、「+32=（加尸，符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意.

故选：A.

【点睛】

本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定

最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断.

9、C

【分析】

根据勾股定理的逆定理对四个选项中所给的数据看是否符合两个较小数的平方和等于最大数的平方即

可.

【详解】

解：A、•••5、92#122,.•.该组线段不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故不符合题意；

B、•••72+122/132,.•.该组线段不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故不符合题意；

C、•.•302+402=502,...该组线段符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故符合题意；

D、•••32+42/62,.•.该组线段不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故不符合题意；

故选：C.

【点睛】

本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定

最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断.

10、D

【分析】

利用勾股定理求出切的长，进而求出比的长，AB=BC-AC即可求解.

【详解】

解：VDCLBC,

：.ZDCB=90°,

VZ4DC=30°,AC=5,

A£>=24C=10,

CD=y/Alf-AC2=5A/3，

NCOS=60°,

.•."=30°,

，8。=2。=10百，

BC^y/BD2-CD2=15>

AB=3C-AC=15-5=l()m,

故选：D.

【点睛】

本题考查勾股定理的应用，解题关键是掌握勾股定理.

二、填空题

1、7

【分析】

根据角平分线的定义和平行线的性质证明N砌>/£眼ZFDOAFCD,得到小应,CF=DF,即可求

解.

【详解】

解：'：EF//BC,

：.AED&-ADBC,ZFDOADCB,

又•.•切和切分别是N48C和N4⑦的平分线，

：./EBD=4DBC,/FC24DCB,

：.ZEBD-AEDB,ZFDOAFCD,

：.BE=DE,C2DF,

又•.•除3,层4,

:.E六DE+D六BE+C氏7.

故答案为：7.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，角平分的定义，等腰三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关

键.

2、10

【分析】

作。尸_LBC,根据角平分线的性质得到£＞尸=止=2,在根据三角形的面积公式计算即可；

【详解】

作DF上BC,

A

•物是△48c的角平分线，DEIAB,DFA.BC,

，DF=DE=2,

**-SMC=S"BD+SABCD=5x6x2+]x4x2=10；

故答案为：10.

【点睛】

本题主要考查了角平分线的性质应用，准确分析计算是解题的关键.

3、5

【分析】

根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF,再根据三角形的面积公式列式计算即可得解.

【详解】

解：是△/比中/胡。的角平分线，DELAB,DFLAC,

：.DE=DF,

.•.8片?*9义3+!403=21,

22

解得/05.

故答案为：5.

【点睛】

本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键.

4、35

【分析】

先利用垂直求出的度数，再根据折叠求出/血的度数，利用等腰三角形的性质求出NC和

NE,再利用三角形内角和可求㈤

【详解】

解：VDELAB,

：.ZBFD=ZAFE=90°,

'：NB=50。，

/.N5£)F=90°-ZB=40°,

ZEDC=180°-ZBDE=140°,

由折叠可知，ZADE=ZADC=70°,ZE=ZC,

•.•边4c的垂直平分线与边回交于点D.

,AD=DC

1800-70°

ZDAC=NC==55°

2

，ZE=NC=55°,

，ZBAE=900-ZE=35°.

故答案为：35

A

E

【点睛】

本题考查了垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，解题关键是熟练运用垂直平分线的性质和等腰三

角形的性质求出角的度数.

5、2

【分析】

由直角三角形的性质求出AC=2>/L由折叠的性质得出力4庄=ZAEF=ZDEF,可求出

ZGEC=90°,由勾股定理可求出CG的长.

【详解】

解：•.Z=60。，ZB=90°,

.-.ZC=30°,

AB=>/3,

AC=2AB=2G,

•••E为4c的中点，

AE=CE=-AC=43,

2

1••将MEF沿EF折叠得到SDEF,

:.ZAFE=ZDFE,ZAEF=ZDEF,

vZBFD=30°,

.N4/7)=180°-N8FD=180°-30°=1509,

.-.ZAFE=-ZAFD=75°,

2

ZA£F=180°-ZA-ZAre=180°-60P-75°=45°,

ZAED=2ZAEF=90°,

.-.ZGEC=90°,

设EG=x,则CG=2x,

EG2+CE2=CG2,

AX2+(X/3)2=(2X)2,

解得X=l,

.0.CG=2.

故答案为：2.

【点睛】

本题考查了折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形的内角和定理等知识，熟练掌握折叠

的性质是解题的关键.

三、解答题

1、(1)15,40；(2)y=^x,见解析

【分析】

(1)设/0%=0，则N8=NC="，根据N4庞=/』&)=研〃，用/阴〃即可列出方程，从

而求解.

(2)读NBAD=x,2EDC=y,根据等腰三角形的性质可得N6=NGNADE=NAED=/*/EDC=

/B+y,由胡〃=//庞即可得/班x=/加产y,从而求解.

【详解】

解：（1）&EDC=m,NB=NC=n,

,/ZAED=ZEDC+NC=

又,：AD=AE,

ZADE=ZAED=m^n,

贝ljNADC=4ADE+4EDC=2mVn,

又YNADC=NB^NBAD,

，Z.BAD=2m,

；.2研〃=加30,解得勿=15。，

r.N功C的度数是15°；

若N£9C=20。，则/刃Z7=2m=2X20。=40°.

故答案是：15；40；

（2）y与x之间的关系式为

证明：设N胡小x,4EDC=y,

•：AB=AC,AD=AE,

：・4B=4C,NADE=4AED,

•.*乙AEg乙84EDC=/B^y,

：.ZADC=Z^-ZBAD=乙AD吩4EDC,

/.ZB+x=Z班尹y,

/.2y=x,

"=/尤

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及一元一次方程的应用，灵活运用等腰三角

形的性质成为解答本题的关键.

2、(1)OQ,OA；(2)见解析

【分析】

(1)根据作图可知。8=。。，OP=OA,

(2)利用夕IS判断出4/U匕△加区得出NQP0=N8A0,即可得出结论.

【详解】

解：(1)根据以。为圆心，仍长为半径画弧，交直线的V于另一点。；可知03=。。，

根据作PA的垂直平分线MN,可知OP=OA,

(2),：PA的垂直平分线是MN,

：.OP=OA,

•：OB=OQ,ZP0Q=ZAOB,

：./\P0Q^/\A0B(S4S),

：.^QP0=Z.BAO,

.•./”〃/(内错角相等，两直线平行)，

【点睛】

本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，平行线的判定，掌

握基本作图是解本题的关键.

3、见详解.

【分析】

根据等腰三角形三合一性质以及等边对等角性质得出/庐NC,根据加利用在同一平

面内垂直同一直线的两直线平行得出〃'〃比；利用平行线性质得出Nl=/8,N2=NC即可.

【详解】

证明：♦.•△加，中，AB=AC,〃为比1边的中点，

J.ADLBC,/人C,

"：AFLAD,

:.AF〃BC,

：.N1=NB,