新高考数学一轮复习提升训练5.1 三角函数的定义（精讲）（解析版）

5.1三角函数的定义（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一扇形的弧长与面积【例1-1】（2022·广东广东·一模）数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A、B、C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角（如图所示）．若莱洛三角形的周长为SKIPIF1<0，则其面积是______．【答案】SKIPIF1<0【解析】由条件可知，弧长SKIPIF1<0，等边三角形的边长SKIPIF1<0，则以点A、B、C为圆心，圆弧SKIPIF1<0所对的扇形面积为SKIPIF1<0，中间等边SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0所以莱洛三角形的面积是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【例1-2】（2022·江苏·徐州市第七中学高三阶段练习）已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上两点，动点SKIPIF1<0从SKIPIF1<0出发，沿着圆周按逆时针方向走到SKIPIF1<0，其路径长度的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】设点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的终边，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的终边上，设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0优弧的圆心角为SKIPIF1<0弧长=SKIPIF1<0，故选:C【例1-3】（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（文））在长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点P在长方体的面上运动，且满足SKIPIF1<0，则P的轨迹长度为（

）A．12π B．8π C．6π D．4π【答案】C【解析】如图，SKIPIF1<0在左侧面的轨迹为弧SKIPIF1<0，在后侧面的轨迹为弧SKIPIF1<0，在右侧面的轨迹为弧SKIPIF1<0，在前侧面内的轨迹为弧SKIPIF1<0.易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴P的轨迹长度为6π，故选：C.【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）希波克拉底是古希腊医学家，他被西方尊为“医学之父”，除了医学，他也研究数学．特别是与“月牙形”有关的问题．如图所示．阴影郭分的月牙形的边缘都是圆弧，两段圆弧分别是SKIPIF1<0的外接圆和以AB为直径的圆的一部分，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则该月牙形的面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的外接圆的圆心为O，半径为R，如图所示，由正弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，内侧圆弧为SKIPIF1<0的外接圆的一部分，且其对应的圆心角为SKIPIF1<0，则弓形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，外侧的圆弧以SKIPIF1<0为直径，所以半圆SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，则月牙形的面积为SKIPIF1<0.故选：A．2．（2022·全国·高三专题练习）在棱长为6的正方体SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是正方形SKIPIF1<0（包括边界）上运动，且满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0点的轨迹周长为________.【答案】SKIPIF1<0【解析】如图，在棱长为6的正方体SKIPIF1<0中，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，如图，在平面SKIPIF1<0中，以SKIPIF1<0为原点，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0轴建立平面直角坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0，化简整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，圆心SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0的圆，所以SKIPIF1<0点的轨迹为圆SKIPIF1<0与四边形SKIPIF1<0的交点，即为图中的SKIPIF1<0其中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0由弧长公式知SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0.3．（2022·上海·高三专题练习）若球SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为常量），且球面上两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最短距离为SKIPIF1<0，经过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点的平面SKIPIF1<0截球所得的圆面与球心的距离为SKIPIF1<0，则在此圆面上劣弧SKIPIF1<0所在的弓形面积为___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】因为球SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0，球面上两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最短距离为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设经过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点的平面SKIPIF1<0截球所得的圆面为圆SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以截面圆圆SKIPIF1<0的半径SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以线段SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以在此圆面上劣弧SKIPIF1<0所在的弓形面积为扇形SKIPIF1<0的面积减去SKIPIF1<0的面积，即为：SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.考点二三角函数的定义【例2-1】（2022·河南）在平面直角坐标系中SKIPIF1<0，角SKIPIF1<0的终边经过点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：D．【例2-2】（2022·全国·模拟预测）已知角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的顶点为坐标原点，始边与x轴正半轴重合，角SKIPIF1<0的终边过点SKIPIF1<0，将角SKIPIF1<0的终边顺时针旋转SKIPIF1<0得到角SKIPIF1<0的终边，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由题知，点SKIPIF1<0到原点的距离为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：C.【一隅三反】1．（2022·内蒙古赤峰·高三期末（文））在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0和角SKIPIF1<0的顶点均与原点O重合，始边均与x轴的非负半轴重合，它们的终边关于直线SKIPIF1<0对称，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】角SKIPIF1<0和角SKIPIF1<0的终边关于直线SKIPIF1<0对称，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．故选：C．2．（2022·新疆昌吉·一模（文））在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，已知角SKIPIF1<0的终边与圆SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，角SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由三角函数定义可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0．3．（2022·重庆八中高三阶段练习）在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0的始边为SKIPIF1<0轴的非负半轴，终边与单位圆SKIPIF1<0的交点SKIPIF1<0在第一象限内.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因为角SKIPIF1<0的终边与单位圆SKIPIF1<0的交点SKIPIF1<0在第一象限内，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0（舍）；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0.故选：C.考点三判断三角函数值的正负【例3-1】．（2022·全国·高三专题练习）已知角SKIPIF1<0第二象限角，且SKIPIF1<0，则角SKIPIF1<0是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【解析】因为角SKIPIF1<0第二象限角,所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0是偶数时，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0为第一象限角；当SKIPIF1<0是奇数时，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0为第三象限角.；综上所述：SKIPIF1<0为第一象限角或第三象限角，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为第三象限角．故选：C．【例3-2】（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0另解：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故选：C【例3-3】（2022·全国·高三专题练习（理））若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的化简结果是（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故选：C．【一隅三反】1．（2022·重庆八中高三阶段练习）（多选）已知角SKIPIF1<0的顶点与原点重合，始边与SKIPIF1<0轴的非负半轴重合，终边经过点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则下列各式的符号无法确定的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AC【解析】由三角函数定义，SKIPIF1<0，所以，对于A选项，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以选项A符号无法确定；对于B选项，SKIPIF1<0，所以选项B符号确定；对于C选项，SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以选项C的符号无法确定；对于D选项，SKIPIF1<0，所以选项D符号确定.所以下列各式的符号无法确定的是AC选项.故选：AC.2（2022·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0是第二象限角，则下列选项中一定正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因为SKIPIF1<0是第二象限角，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为第三或第四象限角或终边在SKIPIF1<0轴负半轴上，所以选项A不一定正确；可能不存在SKIPIF1<0，选项B也不一定正确；又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是第一象限或第三象限角，则选项C正确，选项D不一定正确.故选:C．3．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0为阴影区域内的动点（不包括边界），这里SKIPIF1<0，则下列不等式恒成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．设与SKIPIF1<0相平行的直线的方程为SKIPIF1<0，当直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．则由图中阴影部分可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，这里SKIPIF1<0．则一定有SKIPIF1<0．考点四三角函数线【例4-1】（2021·河南·高三阶段练习（文））已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因为SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故选：D【例4-2】（2022·河南·南阳市第二完全学校高级中学高一阶段练习）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的大小关系是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】先证明：当0＜x＜SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0如图，角x终边为OP，其中点P为角x的终边与单位圆的交点，PM⊥x轴，交x轴与点M，A点为单位圆与x轴的正半轴的交点，AT⊥x轴，交角x终边于点T，则有向线段MP为角x的正弦线，有向线段AT为角x的正切线，设弧PA＝l＝x×1＝x，由图形可知：S△OAP＜S扇形OAP＜S△OAT，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0＜SKIPIF1<0＜SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0又由函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0又由函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，则SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0故选：C．【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）已知点SKIPIF1<0在第一象限，则在SKIPIF1<0内的SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由已知点SKIPIF1<0在第一象限得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故选：B．2．（2022·全国·高三专题练习）设SKIPIF1<0,则下列命题:①SKIPIF1<0;②SKIPIF1<0;③SKIPIF1<0是单调减函数.其中真命题的个数是A．0 B．1 C．2 D．3