高中数学应用题解题技巧

龙文学校------您值得信赖的专业化个性化辅导学校龙文学校个性化辅导教案提纲龙文学校个性化辅导教案提纲教师：学生：时间:年月日段授课目的与考点分析：高中应用题专题复习数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一，也是考生失分较多的一种题型。解答这类问题的要害是深刻理解题意，学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化，这就需要建立恰当的数学模型，这当中，函数，数列，不等式，排列组合是较为常见的模型，而三角，立几，解几等模型也应在复习时引起重视。高考应用性问题的热门话题是增减比率型和方案优化型，另外，估测计算型和信息迁移型也时有出现。当然，数学高考应用性问题关注当前国内外的政治，经济，文化，紧扣时代的主旋律，凸显了学科综合的特色。二、授课内容：一、求解应用题的一般步骤：1、审清题意：认真分析题目所给的有关材料，弄清题意，理顺问题中的条件和结论，找到关键量，进而明确其中的数量关系(等量或大小关系)2、建立文字数量关系式：把问题中所包含的关系可先用文字语言描述关键量之间的数量关系，这是问题解决的一把钥匙。3、转化为数学模型：将文字语言所表达的数量关系转化为数学语言，建立相应的数学模型(一般要列出函数式、三角式、不等式、数列、排列组合式、概率以及利用几何图形等进行分析)，转化为一个数学问题。4、解决数学问题：利用所学数学知识解决转化后的数学问题，得到相应的数学结论。5、返本还原：把所得到的关于应用问题的数学结论，还原为实际问题本身所具有的意义。二、应用题的常见题型及对策1、与函数、方程(组)、不等式(组)有关的题型常涉及物价、路程、产值、环保、土地等实际问题，也常常涉及角度、长度、面积、造价、利润等最优化问题。解决这类问题一般要利用数量关系，列出有关解析式，然后运用函数、方程、不等式等有关知识和方法加以解决，尤其对函数最值、均值定理用得较多。2、与数列有关的问题常涉及到产量、产值、繁殖、利息、物价、增长率、植树造林、土地沙化等有关的实际问题。解决这类问题常构造等差数列、等比数列(无穷递增等比数列)，利用其公式解决或通过递推归纳得到结论，再利用数列知识求解。3、与空间图形有关的问题常与空间观测、面积、体积、地球的经纬度等问题有关。解决此类问题常利用立体几何、三角方面的有关知识。4、与直线、圆锥曲线有关的题型常涉及定位、人造地球卫星、光的折射、反光灯、桥梁、线性规划等实际问题。常通过建立直角坐标系，运用解析几何知识来解决。5、与正、余弦定理及三角变换有关的题型常涉及实地测量、计算山高、河宽、最大视角等。6、与排列、组合有关的问题运用排列、组合等知识解决7、与概率、统计有关的应用问题代数的应用题1．求函数表达式：例1．建筑一个容积为48米3，深为3米的长方体蓄水池，池壁每平方米的造价为a元，池底每平方米的造价为2a元。把总造价y表示为底的一边长x米的函数，并指出函数的定义域。解：容积=底面积×高=48底面积×3=48底面另一边长：m=池壁造价=池壁面积×a=2(3x+3m)×a=6(x+)a=6(x+)a池底造价=底面积×2a=16×2a=32a∴y=6(x+)a+32a(x>0)2．面积问题：思考题：在上面的例1中，如何设计水池的长宽，使总造价最低？x2x例2.有根木料长为6米，要做一个如图的窗框，已知上框架与下框架的高的比为1∶2，问怎样利用木料，才能使光线通过的窗框面积最大（中间木档的面积可忽略不计x2x解：如图设x,则竖木料总长=3x+4x=7x,三根横木料总长=67x∴窗框的高为3x，宽为即窗框的面积y=3x·=7x2+6x(0<x<)配方：y=(0<x<2)∴当x=米时，即上框架高为米、下框架为米、宽为1米时，光线通过窗框面积最大.3．利润问题：（1）利润=收入成本（2）利润=单位利润×销售量例3．某工厂生产的产品每件单价是80元，直接生产成本是60元，该工厂每月其他开支是50000元.如果该工厂计划每月至少获得200000的利润，假定生产的全部产品都能卖出，问每月的产量是多少？解：设每月生产x件产品，则总收入为80x,直接生产成本为60x,其他开支50000元，即知总成本为60x+50000∴每月利润是：总收入总成本=80x(60x+50000)=20x50000依题意有：20x5000≥200000x≥12500答：该工厂每月至少要生产12500件产品.例4.将进货单价为8元的商品按单价10元销售，每天可卖出100个。若该商品的单价每涨1元，则每天销售量就减少10个。如何确定该商品的销售单价，使利润最大？分析：（1）每出售一个商品的利润=销售单价进货单价=108=2（2）以单价10元为基础：单价每次涨1元，当涨了x元（即可看成涨了x次）时，则每出售一个商品的利润=2+x元,销售量为10010x个方案二：设制做奶片所需牛奶x吨，制做酸奶所需牛奶y吨，则制做奶片共用=x天，制做酸奶共用天，依题意得：x=1.5,y=7.5，即制成奶片1.5吨，酸奶7.5吨∴利润为：1.5×2000+7.5×1200=12000（元）由上可知：第二种方案获得的利润大.三角的应用题1．弧长问题例13．某蒸汽机上的飞轮直径为1.2m，每分钟按逆时针方向旋转300转，求：（1）飞轮每秒钟转过的弧度数;（2）轮周上的一点每秒钟经过的弧长.解：(1)∵飞轮半径r=0.6m,每秒钟逆时针旋转5转∴飞轮每秒钟转过的弧度数是5×2=10(2)轮周上一点每秒钟经过的弧长l=10×0.6=6(m)2．电学例14．电流I随时间t变化的函数关系式是I=Asinωt.设ω=100(rad/秒)，A=5（安培）.（1）求电流强度I变化的周期与频率;（2）当t=0,,,,(秒)时，求电流强度I解：(1)周期T==,频率f=(2)∵I=5sin100t∴I(0)=0,I()=5sin=5,I()=5sin=0,I()=5sin=5,I()=5sin2=03．利用三角函数解决有关面积问题2R2Rcos2R2Rcos2Rsin解：如图，设矩形对角线与一边的夹角为则矩形的长为2Rcos,宽为2Rsin∴矩形面积S=4R2sincos=2R2sin2当=45时，Smax=2R2,即横截面为正方形时面积最大.解析几何中的应用题例16．抛物线拱桥顶部距水面2米时，水面宽4米.当水面下降1米时，水面的宽是多少？24xy0解：如图建立直角坐标系，则抛物线方程为x24xy0依题意知：x=2时，y=2代入方程得p=1即抛物线方程为x2=y,当水面下降1米时，y=3x=∴水面宽为2x=≈3.5(米)BAOyBAOyxF1F2··球的中心F2为一个焦点的椭圆，近地点A距地面439千米，远地点距地面2384千米，地球半径大约为6371千米，求卫星的轨道方程.解：如图建立坐标系∵ac=|OA||OF2|=|F2A|=6371+439=6810a+c=|OB|+|OF2|=|F2B|=6371+2384=8755∴a=7782.5,c=972.5b2=7721.52即卫星的轨道方程是：例18．在相距1400米的A、B两哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3秒，已知声速是340米/秒，炮弹爆炸点在怎样的曲线上？并求出轨迹方程.解：设爆炸t秒后A哨所先听到爆炸声，则B哨所t+3秒后听到爆炸声，爆炸点设为M则|MA|=340t,|MB|=340(t+3)=340t+1020两式相减：|MA||MB|=1020(|AB|=1400>1020)BAOyxBAOyxM以AB为x轴、AB中点为原点建立直角坐标系（如图）∴A(700,0),B(700,0)c=700且2a=1020a=510b2=229900炮弹爆炸的轨迹方程是：(x>0)例19．如图，某灾区的灾民分布在一个矩形地区，现要将救灾物资从P处紧急运往灾区.P往灾区有两条道路PA、PB，且PA=110公里，PB=150公里，AB=50公里.为了使救灾物资尽快送到灾民手里，需要在灾区划分一条界线，使从PA和PB两条路线到灾民所在地都比较近.求出该界线的方程.解：要使沿PA、PB两条线路到救灾地点都比较近，有三种情况：（1）沿PA线路（2）沿PB线路（3）沿PA、PB线路都相同MPMPAB|PA|+|MA|=|PB|+|MB|110+|MA|=150+|MB|∴|MA||MB|=40,即知分界线是以A、B为焦点的双曲线AB=502c=50c=25,2a=40a=20b2=225若以AB为x轴、AB的中点为原点建立直角坐标系则分界线方程是：（在矩形内的一段）注意：确定分界线的原则是：从P沿PA、PB到分界线上点的距离.本次课后作业：四、学生对于本次课的评价：〇特别满意○满意〇一般〇差学生签字：五、教师评定：1、学生上次作业评价：