专题强化练7等比数列的综合应用含解析

专题强化练7等比数列的综合应用一、选择题1.(2021湖北武汉外国语学校高一月考,)数列{an}是首项为1的等比数列,Sn是数列{an}的前n项和,且9S3=S6,那么数列1an的前5项和为A.158或5B.3116C.3116D.2.(2021浙江嘉兴高一期末,)数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2an-3(n∈N*),那么S6=()3.(2021河南开封高二上期末联考,)公差不为0的等差数列{an}的局部项ak1,ak2,ak3,…构成公比为4的等比数列{akn},且k1=1,4.(2021山东枣庄滕州一中高三月考,)数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,an+1=Sn,假设an∈(0,2020),那么称项an为“和谐项〞,那么数列{an}的所有“和谐项〞的平方和为()A.13×411+83B.13×4C.13×410+83D.13×45.(多项选择)(2021广东仲元中学、中山一中等七校联合体高三第一次联考,)设等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sn,前n项积为Tn,并且满足a1>1,a9a10>1,a9-1aA.0<q<1B.a10a11>1C.Sn的最大值为S10D.Tn的最大值为T96.(多项选择)(2021湖北武汉新洲一中高一月考,)在?增减算法统宗?中有这样一那么故事:“三百七十八里关,初行健步不为难;次日脚痛减一半,如此六日过其关.〞那么以下说法正确的选项是()14还多3二、填空题7.(2021湖南三湘名校教育联盟高三第二次大联考,)Sn为数列{an}的前n项和,an+Sn=32,那么S7=.

8.(2021江苏南京外国语学校高一月考,)设数列{an}的前n项和为Sn,点n,Snn(n∈N*)均在直线y=x+12上,假设bn=3an+12,那么数列{b三、解答题9.(2021河南顶级名校高二联考,)数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),Sn=n+23an,且a1=1,{bn}为等比数列,b1=a3-4,b4=a5+1(1)求{an}和{bn}的通项公式;(2)设cn=n·bnan+1,n∈N*,数列{cn}的前n项和为Tn,假设对任意的n∈N*均满足Tn>10.(2021江苏江阴要塞中学高二期中,)设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2,n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{an2}的前n项和为Tn,求证:S(3)判断数列{3n-an}中是否存在三项成等差数列,并证明你的结论.专题强化练7等比数列的综合应用一、选择题1.C设数列{an}的公比为q,由9S3=S6,得q≠1,那么9(1-q3)1-q=1-q61-q,即1+q3=9,解得q=2,所以数列1an是首项为2.B∵Sn=2an-3(n∈N*),∴n=1时,S1=a1=2a1-3,解得a1=3.n=2时,S2=a1+a2=2a2-3,∴a2=6.n≥2时,Sn+1=2an+1-3,∴an+1+Sn=2an+1-3,即an+1+2an-3=2an+1-3,即an+1=2an,易知an≠0,∴an+1an∴数列{an}是首项为3,公比为2的等比数列,∴S6=3×(1-23.B设等差数列{an}的公差为d(d≠0).由题意知a1,a2,ak3构成公比为4所以a2=4a1,所以a1+d=4a1,得d=3a1.所以ak3=4a2=4(a1+d)=4(a1+3a1)=16a所以a1+(k3-1)d=16a1,即a1+(k3-1)·3a1=16a1,易知a1≠0,所以k3=6.应选B.4.A因为an+1=Sn,所以an=Sn-1(n≥2),那么an+1-an=Sn-Sn-1,即an+1-an=an,即an+1=2an,易知an≠0,故an+1an因为a1=2,所以a2=S1=a1=2,不满足此式,故an=2假设an∈(0,2021),那么1≤n≤11,故数列{an}的所有“和谐项〞的平方和为a12+a22+…+a102+a112=4+4+42+…+410=4+4×(1-45.AD因为{an}是公比为q的等比数列,且a1>1,a9a10>1,所以q>0,由a9-1a10-1<0,可得(a9-1)(a10-1)<0,所以a9>1,a10<1或a9<1,a10>1.假设a9<1,a10>1,那么q>1,此时an=a1qn-1>1,那么a9>1,与a9<1不符,所以a9>1,a10<1,所以q<1,所以由上述分析可知,数列{an}是各项均为正数且单调递减的等比数列,故可构造新数列{lgan},因为lgan-lgan-1=lganan-1=lgq<0,所以数列{lgan}是以lgq为公差的等差数列,且单调递减,又a9>1,a10<1,所以lga9>0,lga10<0,所以数列{lgan}从第10项开始小于零,故其前9项和最大,可得Tn的最大值为T9,所以D正确;因为lga10+lga11=lg(a10a11)<0,所以a10a11<1,所以B不正确;因为0<q<1,a1>1,所以数列{an}的各项均为正数,所以Sn没有最大值,所以C不正确.应选AD.6.BCD根据题意知,此人每天行走的路程数构成等比数列,设此人第n天走了an里路,那么{an}是公比q=12的等比数列∴S6=a1解得a1=192,∴a6=a1q5=192×125=6,∴A由a1=192,S6=378,得a2+a3+a4+a5+a6=S6-a1=378-192=186,又192-186=6,∴B正确.∵a2=a1q=192×12=96,14S6=∴96-1892=32,∴C∵a1+a2+a3=192×1+12+14=336,∴后三天走的路程为应选BCD.二、填空题7.答案127解析依题意,当n=1时,a1+S1=2a1=32,所以a1=16.当n≥2时,an+Sn=32①,an-1+Sn-1=32②,①-②得2an-an-1=0,即an=12a所以S7=16×1-12718.答案9解析依题意得Snn=n+12,即Sn=n2+12n.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+12n-(n-1)2+12(n-1)=2n-12;当n=1时,a1=S1=32.经检验,a1符合an=2n-12,所以an=2n-12(n∈N*),那么bn=32n.由bn+1bn=32(n+1)32n三、解答题9.解析(1)当n≥2时,有an=Sn-Sn-1=n+23·an-n+13an-1,整理,得anan所以an=a1×a2a1×a3a2×a4a3×…×anan-1=1×31×42×53×64×所以{an}的通项公式为an=n(设等比数列{bn}的公比为q.由b1=a3-4=2,b4=a5+1=16,可得q3=8,所以q=2,所以bn=2n.(2)由(1)及得cn=n·bnan+1=所以Tn=233-222+244-2因为Tn+1-Tn=cn+1=(n+1)2n+2(n+2)(n+3)>0,所以Tn+1>Tn,即Tn单调递增所以对任意的n∈N*均满足Tn>m2019等价于m2019<23,即1345.10.解析(1)当n=1时,S1=2a1-2,解得a1=2.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2an-2)-(2an-1-2)=2an-2an-1,即an=2an-1,因为a1≠0,所以an故数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,所以an=2n.(2)证明:因为an2=(2n)2故数列{an2}是以4为首项,4为公比的等比数列,从而Tn=4(1-4n)1-4=43(4n-1),又S2n=2(3)不存在.证明如下:易知数列{3n-an}单调递增,故假设{3n-an}中存在第m,n,k(m<n<k,且m,n