专题21 一次函数的应用压轴题四种模型全攻略（解析版）

专题21一次函数的应用压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一一次函数的应用——分配方案问题】 1【考点二一次函数的应用——最大利润问题】 5【考点三一次函数的应用——行程问题】 8【考点四一次函数的应用——几何问题】 12【过关检测】 15【典型例题】【考点一一次函数的应用——分配方案问题】例题：（2023春·云南临沧·八年级统考期末）为全面推进乡村振兴，某省实行城市援助乡镇的政策该省的A市有吨物资，市有吨物资经过调研发现该省的甲乡需要吨物资，乙乡需要吨物资于是决定由A、两市负责援助甲、乙两乡、已知从A市往甲、乙两乡运送物资的运费分别为元吨、元吨，从市往甲、乙两乡运送物资的运费分别为元吨、元吨．(1)设从A市往甲乡运送吨物资，从A、两市向甲、乙两乡运送物资的总运费为元，求与的函数解析式．(2)请设计运费最低的运送方案，并求出最低运费．【答案】(1)；(2)见解析【分析】（1）根据市的吨物资运往甲乡吨，运往乙乡吨，市的吨物资运往甲乡吨，运往乙乡吨的费用求和，即可确定与的函数关系式；（2）根据一次函数的性质即可确定运费最低的运送方案和最低运费．【详解】（1）解：由题意可得，，，，，，的取值范围是，与的函数解析式为；（2），随着增大而增大，当时，取得最小值，最小值为元，此时从市往甲乡运送吨物资，从市往乙乡运送吨物资，从市往甲乡运送吨物资物资，从市往乙乡运送吨物资，答：运费最低的运送方案是：从市往甲乡运送吨物资，从市往乙乡运送吨物资，从市往甲乡运送吨物资物资，从市往乙乡运送吨物资，最低运费为元．【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意建立一次函数关系式是解题的关键．【变式训练】1.（2023春·河南郑州·八年级河南省实验中学校考期中）4月23日是“世界读书日”，某书店在这一天举行了购书优惠活动，有两种优惠方案可以选择：方案一：享受当天购书按标价总额8折的普通优惠；方案二：50元购买一张“书香城市纪念卡”，当天凭卡购书，享受标价总额在普通优惠的基础上再打折的优惠．设小明当天购书标价总额为x元，方案一应付元，方案二应付元．(1)当时，请通过计算说明选择哪种购书方案更划算；(2)直接写出与x的函数关系式；(3)小明如何选择购书方案才更划算？【答案】(1)小明用方案一购书更划算；计算见解析；(2)；(3)见解析．【分析】（1）当时，根据方案一和方案二计算出实际花费，然后比较即可；（2）根据题意给出的等量关系即可求出答案；（3）根据y关于x的函数解析式，求出两种方案所需费用相同时的书本数量，从而可判断哪家书店省钱．【详解】（1）解：当时，方案一：（元），方案二：（元），∵，∴小明用方案一购书更划算；（2）解：由题意得：方案一：；方案二：；∴与x的函数关系式为；与x的函数关系式为；（3）解：当时，即，解得；当时，即，解得；当时，即，解得．∴当时，方案一更划算，当时，方案二更划算，当时，方案一和方案二一样划算．【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．2.（2023春·河南南阳·八年级统考阶段练习）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为（元），且；按照方案二所需费用为（元），且．其函数图象如图所示．

(1)求k1和b的值，并说明它们的实际意义；(2)求打折前的每次健身费用和的值；(3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身7次，应选择哪种方案所需费用更少？请说明理由．【答案】(1)k1的实际意义是：打六折后的每次健身费用为15元．b的实际意义是：每张学生暑期专享卡的价格为30元(2)打折前的每次健身费用为25（元），(3)选择方案一所需费用更少．理由见解析【分析】(1)直接根据函数的图象结合实际意义进行解答；(2)根据方案一打折后每次健身费用是15元，因为是打六折，故可求打折前的费用；然后根据方案二再打八折即可求得k2；(3)根据（1）（2）即可得到，当时，解得：．即可得到答案．【详解】（1）解：的图象过点和点，∴∴．k1的实际意义是：打六折后的每次健身费用为15元．b的实际意义是：每张学生暑期专享卡的价格为30元．（2）打折前的每次健身费用为（元）．（3）选择方案一所需费用更少．理由如下：由（1）知，∴．由（2）知，∴．当时，，解得：．结合函数图象可知，小华暑期前往该俱乐部健身7次，选择方案一所需费用更少．【点睛】本题考查了一次函数的应用，看懂图象，理解题意，理解两种优惠方案之间的关键是解题的关键．【考点二一次函数的应用——最大利润问题】例题：（2023春·贵州黔南·八年级统考期末）某地允许市场经营主体在规范有序的条件下，采取“店铺外摆”“露天市场”方式进行销售．个体业主小王响应号召，采取“店铺外摆”方式销售甲、乙两种特价商品，两种商品的进价与售价如表所示：甲商品乙商品进价（元/件）4010售价（元/件）5015小王计划购进甲、乙两种商品共100件进行销售，设小王购进甲商品x件，甲、乙两种商品全部销售完后获得的利润为y元．(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)若购进乙商品的件数不少于甲商品件数的4倍，当购进甲、乙两种商品各多少件时，可使得甲、乙两种商品全部销售完后获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)(2)当购进甲种商品20件，乙种商品70件时，可使得甲、乙商品全部销售完后获得的利润最大为600元【分析】(1)设购进甲商品x件，则购进乙商品件，根据题意即可列出y与x之间的函数关系式；(2)根据购进乙商品的件数不少于甲商品件数的4倍，可得当时，y取得最大值，即可求解．【详解】（1）解：由题意可得：，∴y与x之间的函数关系式为；（2）解：由题意，得，解得．∵，∴，∴y随x增大而增大，∴当时，y的值最大，，此时，答：当购进甲种商品20件，乙种商品70件时，可使得甲、乙商品全部销售完后获得的利润最大为600元．【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，明确题意，准确列出函数关系式是解题的关键．【变式训练】1.（2023春·广西南宁·八年级校考期末）小冬在某网店选中，两款玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如表：款玩偶款玩偶进货价（元/个）2015销售价（元/个）2820(1)第一次小冬用550元购进了，两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个；(2)第二次小冬进货时，网店规定款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款玩偶共45个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？【答案】(1)款玩偶购进20个，款玩偶购进10个(2)按照款玩偶购进15个、款玩偶购进30个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是270元【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的方程，然后求解即可；（2）根据题意，可以写出利润与购进款玩偶数量的函数关系式，再根据网店规定款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半，可以得到款玩偶数量的取值范围，然后根据一次函数的增减性分析，即可得到答案．【详解】（1）解：设款玩偶购进个，款玩偶购进个，由题意得：，解得：，（个），答：款玩偶购进20个，款玩偶购进10个；（2）解：设款玩偶购进个，款玩偶购进个，获利元，由题意得：，款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半．，解得，，由，可知随的增大而增大，当时，（元），款玩偶为：（个），答：按照款玩偶购进15个、款玩偶购进30个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是270元．【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值．2.（2023·河南洛阳·统考二模）俄乌战争仍在继续，人们对各种军用装备倍感兴趣，某商家购进坦克模型（记作A）和导弹（记作B）两种模型，若购进A种模型10件，B种模型5件，需要1000元；若购进A种模型4件，B种模型3件，需要550元．(1)求购进A，B两种模型每件分别需多少元？(2)若销售每件A种模型可获利润20元．每件B种模型可获利润30元．商店用1万元购进模型，且购进A种模型的数量不超过B种模型数量的8倍，设总盈利为W元，购买B种模型b件，请求出W关于b的函数关系式，并求出当b为何值时，销售利润最大，并求出最大值．【答案】(1)A、B两种模型每件分别需要25元，150元(2)，购进A模型226件，B模型29件利润最大为5390元【分析】（1）设购进A，B两种模型每件分别需要x元，y元，列方程组求解即可．（2）设购买A种模型a件，购买B种模型b件，由题意列出方程组，求出b的范围，再列出W与b的函数关系式，求最值即可．【详解】（1）设购进A、B两种模型每件分别需要x元，y元，由题意得：解得答：A、B两种模型每件分别需要25元，150元．（2）设购买A种模型a件，B种模型b件，，解得则购买A种模型为件，即件，则，即∵，∴当b取最小值时总利润最大，由（2）得，b为整数，∴当时，，∴购进A模型226件，B模型29件利润最大为5390元【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，找准数量关系，正确列出方程组，函数关系式，不等式组是解题的关键．【考点三一次函数的应用——行程问题】例题：（2023春·山东淄博·七年级统考期中）甲、乙两地相距千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发开往乙地．如图，线段表示货车离甲地距离千米与时间小时之间的函数关系；折线表示轿车离甲地距离千米与小时之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：

(1)求线段对应的函数解析式．(2)货车从甲地出发后多长时间被轿车追上？此时离甲地的距离是多少千米？(3)轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米．【答案】(1)线段对应的函数解析式为(2)货车从甲地出发后小时被轿车追上，此时离甲地的距离是千米(3)轿车到达乙地后，货车距乙地千米【分析】（1）设线段对应的函数解析式为，由待定系数法求出其解即可；（2）设的解析式为，由待定系数法求出解析式，由一次函数与一元一次方程的关系建立方程求出其解即可．（3）先由函数图象求出货车在轿车到达乙地是时需要的时间，由路程速度时间就可以求出结论．【详解】（1）解：设线段对应的函数解析式为，由题意，得，解得：．则．答：线段对应的函数解析式为；（2）设的解析式为，由题意，得，解得：，．当时，，解得：．离甲地的距离是：千米．答：货车从甲地出发后小时被轿车追上，此时离甲地的距离是千米；（3）由题意，得千米．答：轿车到达乙地后，货车距乙地千米．【点睛】本题考查了一次函数的图象的性质的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与一元一次方程的运用，解答时求出函数的解析式是关键．【变式训练】1.（2023·河北沧州·校考模拟预测）航模兴趣小组在操场上进行航模试验，甲型航模从距离地面20米处出发，以a米/分的速度匀速上升，乙型航模从距离地面50米处同时出发，以15米/分的速度匀速上升，经过6分钟，两架航模距离地面高度都是b米，两架航模距离地面的高度y米与时间x分钟的关系如图．两架航模都飞行了20分钟．

(1)直接写出a、b的值；(2)求出两架航模距离地面高度y甲、y乙（米）与飞行时间x（分钟）的函数关系式；(3)直接写出飞行多长时间，两架航模飞行高度相差25米？【答案】(1)，；(2)，；(3)飞行1分钟或者11分钟时，两架航模飞行高度相差25米【分析】（1）利用速度、路程、时间的关系直接计算即可．（2）根据一次函数中一次项系数和常数项的实际意义直接列函数关系式即可．（3）令，解方程得到的值，即可得到答案．【详解】（1）6分钟时，乙型航模距离地面高度为：（米，．．，．（2）由题意可得：，设，把代入得，，解得，．（3），令，则，或，解得，或．答：飞行1分钟或者11分钟时，两架航模飞行高度相差25米．【点睛】本题考查一次函数的实际应用，理解函数图象表示的意义是解题的关键．2.（2023春·江苏淮安·九年级校考期中）如图1，甲、乙两车分别从相距的、两地相向而行，乙车比甲车先出发小时，并以各自的速度匀速行驶，甲车到达地后因有事立刻按原路原速返回地．乙车从地直达地，两车同时到达地．甲、乙两车距各自出发地的路程（千米）与甲车出发所用的时间（小时）的关系如图，结合图像信息解答下列问题：

(1)乙车的速度是千米/时，乙车行驶小时到达地；(2)求甲车从地按原路原速返回地的过程中，甲车距它出发地的路程与它出发的时间的函数关系式；(3)求甲车出发多长时间两车相距千米？【答案】(1)，(2)(3)甲车出发经过，，，两车相距千米．【分析】（1）结合题意，利用速度=路程÷时间，可得乙的速度、行驶时间；（2）找到甲车到达地和返回地时与的对应值，利用待定系数法可求出函数解析式；（3）分三种情况，甲和乙相距前，甲和乙相距后，甲返回A地时，根据甲、乙两车相距千米分情况讨论即可求解．【详解】（1）∵乙车比甲车先出发小时，由图象可知乙行驶了千米，∴乙车速度为：千米/时，乙车行驶全程的时间（小时）；故答案为：，；（2）根据题意可知甲从出发到返回地需小时，∵甲车到达地后因立即按原路原速返回地，∴结合函数图象可知，当时，；当时，；设甲车从地按原路原速返回地时，即，甲车距它出发地的路程与它出发的时间的函数关系式为：，将函数关系式得：，解得：，故甲车从地按原路原速返回地时，甲车距它出发地的路程与它出发的时间的函数关系式为：；（3）由题意可知甲车的速度为：（千米/时），设甲出发经过小时两车相距60千米，有以下三种情况：①，解得②，解得③，解得综上，甲车出发经过，，，两车相距千米，【点睛】本题主要考查了一次函数的应用问题，解答此题的关键是要理解分段函数图象所表示的实际意义，准确找到等量关系．【考点四一次函数的应用——几何问题】例题：（2023春·河南南阳·八年级校考阶段练习）如图，正方形的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（

）A．B． C． D．【答案】B【分析】根据动点从点出发，首先向点运动，此时随的增加而增大，当点在上运动时，不变，当点在上运动时，随着的增大而减小，据此作出选择即可．【详解】解：当点由点向点运动，即时，；当点在上运动，即时，，是一个定值；当点在上运动，即时，随的增大而减小．故选：B．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决动点问题的函数图象问题关键是发现随的变化而变化的趋势．【变式训练】1.（2021春·福建漳州·七年级福建省漳州第一中学校考期中）如图，已知动点P从B点出发，以每秒的速度在图①的边（相邻两边互相垂直）上按的路线移动，相应的的面积与点P的运动时间的图象如图②所示，且．当时，．

【答案】或【分析】从图象上分析可知，由于速度是，图中的过程为点在线段上，故，为，为，为，10到为，，，根据的面积为，底边可知高为，也就是点距离的距离是，从数据上可知，在线段上有一个符合条件的点，在线段上有一个符合条件的点，求出对应的值．【详解】解：由图可知，点的运动速度为，，，，，，，，点到的距离为，故可知在线段上和线段上各有一个点满足条件，

当在线段上时：，，，当在线段上时：，，，故答案为：或．【点睛】本题考查了动点问题的图象，一次函数和动点问题的应用，三角形的面积公式．2.（2023春·安徽宿州·七年级校考期中）如图，在长方形中，，，点E为边上一动点，连接，随着点E的运动，的面积也发生变化．

(1)写出的面积y与的长之间的关系式；(2)当时，求y的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）可求，由即可求解；（2）将代入解析式即可求解．【详解】（1）解：由题意得：，．答：的面积y与的长之间的关系式为．（2）解：当时，，答：当时，．【点睛】本题主要考查了一次函数在动点问题中的应用，掌握“化动为静”的方法解决动点问题的方法是解题的关键．【过关检测】一、单选题1．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市萧红中学校考开学考试）市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数关系如图，若该用户本月用水21吨，则应交水费（

）

A．52.5元 B．48元 C．45元 D．42元【答案】D【分析】当时，可设，结合图形，利用待定系数法即可求出与的函数解析式；将代入以上所求的函数解析式中，求出值，即可得出答案.【详解】解：设直线解析式为，把，代入得：，解得，∴，当时，（元）.故选：.【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键在于掌握待定系数法求一次函数解析式的方法.2．（2023·陕西西安·校考二模）在物理实验课上，小鹏利用滑轮组及相关器材进行实验，他把得到的拉力F（N）和所悬挂物体的重力G（N）的几组数据用电脑绘制成如图所示的图象（不计绳重和摩擦），请你根据图象判断以下结论不正确的是（）

A．物体的拉力随着重力的增加而增大B．当拉力时，物体的重力C．当物体的重力时，拉力D．当滑轮组不悬挂物体时，所用拉力为0.5N【答案】B【分析】由函数图象可以直接判断A，设出拉力F与重力G的函数解析式用待定系数法求出函数解析式，，代入函数解析式求值即可判断B，C，D．【详解】解：由图象可知，拉力F随着重力的增加而增大，故A说法正确，选项不符合题意；∵拉力F是重力G的一次函数，∴设拉力F与重力G的函数解析式为，则，解得，∴拉力F与重力G的函数解析式为，当时，拉力，故B说法错误，选项符合题意；当时，拉力，故C说法正确，选项不符合题意；∵时，拉力，故D说法正确，选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了一次函数的应用，关键是数形结合思想的运用．3．（2023春·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校统考阶段练习）在5.1劳动节期间，甲乙两人相约一起去登山，登山过程中，甲先爬了米、乙才开始追赶甲，乙行了2分钟后，速度变成甲登山速度的3倍，甲、乙两人距地面的高度y（米）与乙登山时间x（分）之间的函数图像如图所示，根据图像所提供的信息有下列说法：①甲的登山速度米/分；②分；③当乙行了分钟后，甲乙相遇；④甲乙相遇后，甲再经过1分钟与乙相距米，其中正确的有（

）

A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④【答案】D【分析】①根据图象可知道山的高度和所用时间，即可求出乙登山的速度；②当2时，根据，即可得出关于的函数关系，令可求出相应的值，即可得到的值；③先求出甲、乙距离底面函数解析式，再根据路程之间的关系列出方程求解即可；④求出两个解析式后，分别根据时间计算出相应的函数值，作差即可求解．【详解】解：①甲的登山高度是米，用时分钟，故速度是米/分，故①正确；②当时，，当时，，故，故②正确；③乙提速后距地面的高度(米)与登山时间(分)之间的函数关系式为：；甲登山全程中，距地面的高度(米)与登山时间(分)之间的函数关系式为：当时解得:；故③正确；④令，，，，甲乙相遇后，甲再经过1分钟与乙相距米，故④正确；综上，①②③④均正确，故正确答案为D．【点睛】本题考查了一次函数的应用以及解一元一次方程，解题的关键是根据数量关系列出函数解析式．二、填空题4．（2023春·山东菏泽·八年级校考阶段练习）拖拉机工作时，油箱中的余油量Q（升）与工作时间t（时）d关系式为．当时，升，从关系式可知道这台拖拉机最多可工作小时．【答案】208【分析】根据题意，将代入计算即可得到答案，令即可求出最多工作的时间．【详解】解：当时，；根据拖拉机工作时必须有油，得：，代入得到：，解得：，故答案为：20；8．【点睛】本题主要考查了一次函数、一次函数在生活中的应用，做题是要注意自变量的取值范围，例如油量不可以为负数．5．（2023春·安徽宿州·七年级统考阶段练习）如图，李大爷要围成一个长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长度恰好为．设边的长为，AB边的长为，则y与x之间的关系式是．

【答案】【分析】根据矩形周长公式写出y与x之间的函数关系式即可．【详解】解：∵三边总长恰好为，设边的长为，AB边的长为，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，解题的关键是理解题意，熟练掌握矩形周长公式．6．（2023春·北京石景山·七年级统考期末）小石的妈妈需要购买盒子存放升的食物，且要求每个盒子要装满．现有两种型号的盒子，单个盒子的容量和价格如下表．型号单个盒子容量（升）单价（元）（1）写出一种购买方案，可以为；（2）恰逢五一假期，型号盒子正在做促销活动，即购买三个及三个以上可一次性返现金元，则购买盒子所需要的最少费用为元．【答案】购买方案为个型号，个型号（答案不唯一）【分析】（1）设购买型号为个，购买型号为个，根据题意列二元一次方程即可解答；（2）设购买型号的盒子个，则购买型号的盒子个数为个，并设购买盒子所需要的费用为元，根据题意列一次函数即可解答．【详解】解：（1）∵小石的妈妈需要购买盒子存放升的食物，∴设购买型号为个，购买型号为个，∴，∴，，∴购买方案为个型号，个型号；故答案为：购买方案为个型号，个型号；（2）设购买型号的盒子个，则购买型号的盒子个数为个，并设购买盒子所需要的费用为元，第一种情况：没有接受型号盒子促销活动的一次性返现金元，即当时，，∴一次函数的解析式为，∵，∴随的增大而增大，∴当时，有最小值，∴购买盒子所需要的最少费用为；第二种情况：有接受型号盒子促销活动的一次性返现金元，即当时，，∴一次函数的解析式为,∵，∴随的增大而增大，∴当，有最小值，∴购买盒子所需要的最少费用为，∵，∴购买盒子所需要的最少费用为，故答案为．【点睛】本题考查了一次函数与实际问题，二元一次方程与实际问题，掌握一次函数的性质是解题的关键．三、应用题7．（2023·广东深圳·深圳市桂园中学校考模拟预测）某小区为了绿化环境，计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵．共花费265元；若两次购进的A、B两种花草价格均分别相同．(1)A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？(2)若购买A、B两种花草共30棵，且B种花草的数量少于A种花草数量的2倍，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．【答案】(1)A种花草每棵的价格是20元，B种花草每棵的价格是5元．(2)购进A种花草的数量为11株、B种19株，费用最省，最省费用是315元．【分析】（1）设A种花草每棵的价格x元，B种花草每棵的价格y元，根据第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费940元；第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵，两次共花费675元；列出方程组，即可解答．（2）设A种花草的数量为m株，则B种花草的数量为株，根据B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，得出m的范围，设总费用为W元，根据总费用两种花草的费用之和建立函数关系式，由一次函数的性质就可以求出结论．【详解】（1）设A种花草每棵的价格x元，B种花草每棵的价格y元，根据题意得：，解得：，答：A种花草每棵的价格是20元，B种花草每棵的价格是5元．（2）设A种花草的数量为m株，则B种花草的数量为株，∵B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，∴，解得：，∵m是正整数，∴，设购买树苗总费用为，∵，∴W随x的减小而减小，当时（元）．答：购进A种花草的数量为11株、B种19株，费用最省，最省费用是315元．【点睛】本题考查二元一次方程组和一次函数，找准等量列出关系式是解题的关键．8．（2023秋·广东茂名·八年级校联考期中）某文具商店文具促销给出了两种优惠方案：①买一支钢笔赠送一本笔记本，多于钢笔数的笔记本按原价收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费．已知每支钢笔定价为15元，每本笔记本定价为4元．某顾客准备购买x支钢笔和笔记本本，设选择第一种方案购买所需费用为元，选择第二种方案购买所需费用为元．(1)请分别写出，与x之间的关系式：，；(2)若该顾客准备购买10支钢笔，且只能选择其中一种优惠方案，请你通过计算说明选择哪种方案更为优惠．【答案】(1)，(2)选择方案②更为优惠，见解析【分析】（1）根据两种优惠方案，列出函数关系式即可；（2）将代入两个函数解析式，求出函数值，进行比较即可．【详解】（1）解：由题意，得：，；（2）当时，；，选择方案②更为优惠．【点睛】本题考查一次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出一次函数的解析式，是解题的关键．9．（2023春·贵州贵阳·九年级校考阶段练习）为进行垃圾分类，我校准备购买，两种型号的垃圾箱，通过市场调研发现：购买1个型垃圾箱和2个型垃圾箱共需340元；购买5个型垃圾箱和2个型垃圾箱共需540元．(1)求每个型垃圾箱和型垃圾箱各多少元？(2)若需要购买，两种型号的垃圾箱共30个，其中购买型垃圾箱不超过15个，当购买型垃圾箱多少个时总花费（元）最少，最少费用是多少？【答案】(1)每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元(2)购买型垃圾箱15个时总花费（元）最少，最少费用是元【分析】（1）设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元，根据“购买1个型垃圾箱和2个型垃圾箱共需340元；购买5个型垃圾箱和2个型垃圾箱共需540元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出答案；（2）设购买m个A型垃圾箱，则购买个B型垃圾箱，根据总价=单价×购进数量，即可得出w关于x的函数关系式，然后利用一次函数的性质解决最值问题．【详解】（1）解：设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元，由题意得：，解得：，答：每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元；（2）设购买个型垃圾箱，则购买个型垃圾箱，由题意得：（，且为整数），，随的增大而减小，当时，取最小值，最小值为，答：购买型垃圾箱15个时总花费（元）最少，最少费用是元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量间的关系，找出w关于m的函数关系式，并学会利用一次函数的性质解决最值问题．10．（2023春·贵州黔西·八年级校联考期末）为庆祝中华人民共和国七十周年华诞，某校举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表现优秀的师生，已知购买2个甲种文具，1个乙种文具共需要花费35元，购买1个甲种文具，3个乙种文具共需要花费30元．(1)求购买一个甲种文具，一个乙种文具各需多少钱？(2)若学校计划购买这两种文具共120个，投入资金不少于955元，又不多于1000元，求有多少种购买方案？(3)学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？【答案】(1)购买一个甲种文具元，一个乙种文具元(2)有种购买方案(3)购买甲种文具个，乙种文具个时需要的资金最少，最少资金是元【分析】（1）设购买一个甲种文具a元，一个乙种文具b元，根据“购买2个甲种文具、1个乙种文具共需花费35元；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元”列方程组解答即可；（2）设购买甲种文具x个，根据题意列不等式组解答即可；（3）求出W与x的函数关系式，根据一次函数的性质解答即可．【详解】（1）设购买一个甲种文具元，一个乙种文具元，由题意得：，解得，答：购买一个甲种文具元，一个乙种文具元；（2）设购买甲种文具x个，根据题意得：，解得，是整数，有种购买方案；（3），，随的增大而增大，当时，（元），．答：购买甲种文具个，乙种文具个时需要的资金最少，最少资金是元．【点睛】此题考查一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用，解题关键在于列出方程．11．（2023春·吉林长春·八年级校考期中）甲，乙两辆汽车分别从A，B两地同时出发，沿同一条公路相向而行，已知