河南省济源市英才学校2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题

2013年全国统一招生考试数学试题文科新课标卷PAGE22023学年河南省济源市英才学校高二下学期期中考试数学K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)回归系数一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.在一次试验中，当变量x的值取1,2,3,4时，变量y的值分别为2,3,4,5，则y与x的回归直线方程为()A.eq\o(y,\s\up6(^))＝x＋1 B.eq\o(y,\s\up6(^))＝2x＋3C.eq\o(y,\s\up6(^))＝2x＋1 D.eq\o(y,\s\up6(^))＝x－12.如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形．根据数组中的数构成的规律，其中的a所表示的数是()A．2B．4C．6D．83.要证明eq\r(3)＋eq\r(7)＜2eq\r(5)可选择的方法有以下几种，其中最合理的是()A．综合法 B．分析法C．类比法 D．归纳法4.已知z1＝2＋i，z2＝1＋2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于复平面内的()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限5.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110K2＝eq\f(110×40×30－20×202,60×50×60×50)≈7.8.下面正确的结论是()A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”6.设p：log2x＜0，q：，则p是q的()A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件7.设两个变量x和Y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，Y关于x的回归直线的斜率是b，纵轴上的截距是a，那么必有()A．a与r的符号相反 B．a与r的符号相同C．b与r的符号相反 D．b与r的符号相同8.“因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝(eq\f(1,3))x是指数函数(小前提)，所以函数y＝(eq\f(1,3))x是增函数(结论)”，上面推理的错误在于()A．大前提错误导致结论错B．小前提错误导致结论错C．推理形式错误导致结论错D．大前提和小前提错误导致结论错9.已知{an}为等比数列，a5＝2，则有a1·a2·…·a9＝aeq\o\al(9,5)＝29.若{bn}为等差数列，b7＝3，则数列{bn}的类似结论为()A．b1·b2·…·b13＝3×13B．b1＋b2＋…＋b13＝313C．b1＋b2＋…＋b13＝3×13D．b1·b2·…·b13＝31310.设，则的单调递减区间是()A．B．C．D．和11.抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()A． B. C． D．012.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球,2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于()A.B.C.D.二、填空题：（每题5分，共20分）13.若椭圆的离心率是，则双曲线的离心率是__________14.命题“若sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0”，则cos(α－β)等于_____15.设i是虚数单位，复数eq\f(1＋ai,2－i)为纯虚数，则实数a为16.eq\r(2＋\f(2,3))＝2eq\r(\f(2,3))，eq\r(3＋\f(3,8))＝3eq\r(\f(3,8))，eq\r(4＋\f(4,15))＝4eq\r(\f(4,15))，…，若eq\r(6＋\f(a,b))＝6eq\r(\f(a,b))(a，b均为实数)，请推测a+b＝_____三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知a＞0，b＞0,2c＞a＋b，求证：c－eq\r(c2－ab)＜a＜c＋eq\r(c2－ab).18．（本小题满分12分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：性别是否需要志愿者男女需要4030不需要160270(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？19．（本小题满分12分）某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利y(元)与该周每天销售这种服装件数x之间的一组数据关系见表：x3456789y66697381899091已知eq\i\su(i＝1,7,x)eq\o\al(2,i)＝280，eq\i\su(i＝1,7,y)eq\o\al(2,i)＝45309，eq\i\su(i＝1,7,x)iyi＝3487.(1)求eq\x\to(x)，eq\x\to(y)（若结果不是整数，请用最简分数表示）；（2）做出散点图，判断纯利y(元)与每天销售件数x之间是否线性相关；(3)如果具有线性相关关系，求出回归方程（回归系数精确到0.01）．20．（本小题满分12分）已知a＞0，且a≠1，证明函数y＝ax－xlna在(－∞，0)内是减函数．21．（本小题满分12分）已知椭圆及直线：.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数的取值范围．(2)求直线被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．22．（本小题满分12分）已知函数（1）求的单调区间和最小值；（2）求实数的取值范围，使得对任意成立．参考答案一：选择题：题号123456789101112答案ACBBACDACDBC二：填空题13：14:15:216：41三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17解：证明：要证c－eq\r(c2－ab)＜a＜c＋eq\r(c2－ab)，只需证－eq\r(c2－ab)＜a－c＜eq\r(c2－ab)，即证|a－c|＜eq\r(c2－ab)，只需证(a－c)2＜(eq\r(c2－ab))2，只需证a2－2ac＋c2＜c2－ab，即证2ac＞a2＋ab，因为a＞0，所以只需证2c＞a＋b.因为2c＞a＋b成立．所以原不等式成立．18解：：(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为eq\f(70,500)＝14%.(2)K2＝eq\f(500×40×270－30×1602,200×300×70×430)≈9.967.由于9.967＞6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．19.解：(1)eq\x\to(x)＝eq\f(3＋4＋5＋6＋7＋8＋9,7)＝6，eq\x\to(y)＝eq\f(66＋69＋73＋81＋89＋90＋91,7)＝eq\f(559,7)；(2)画出散点图知，y与x有线性相关关系，(3)设回归直线方程：eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(3487－7×6×\f(559,7),280－7×36)＝eq\f(133,28)＝4.75，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\f(559,7)－6×4.75≈51.36.∴回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝4.75x＋51.36.20解：证明：y′＝axlna－lna＝lna(ax－1)，当a＞1时，∵lna＞0，ax＜1，∴y′＜0，即y在(－∞，0)内是减函数；当0＜a＜1时，∵lna＜0，ax＞1，∴y′＜0，即y在(－∞，0)内是减函数．综上，函数在(－∞，0)内是减函数．21解：:(Ⅰ)联立，得……3分因为直线与椭圆有公共点．所以，解得……………6分(Ⅱ)设直线与椭圆交于，由(1)知，，由韦达定理，得．所以…10分所以当时，最大，此时直线方程为.……12分22.解(1)由题设知f(x)＝lnx，g(x)＝lnx＋eq\f(1,x).∴g′(x)＝eq\f(x－1,x2).…………3分令g′(x)＝0得x＝1，当x∈(0,1)时，g′(x)＜0，故(0,1)是g(x)的单调减区间．当x∈(1，＋∞)时，g′