经济数学微积分多元函数的极值及其应用

一,二元函数地极值三,二元函数地最值二,条件极值拉格朗日乘数法四,小结四.六多元函数地极值及其应用经济数学——微积分某商店卖两种品牌地果汁,本地品牌每瓶价一元,外地品牌每瓶价一.二元,店主估计,如果本地品牌地每瓶卖x元,外地品牌地每瓶卖y元,则每天可卖出本地品牌地果汁七零-五x+四y瓶,外地品牌地果汁八零+六x-七y瓶.问题问:店主每天以什么价格卖两种品牌地果汁可取得最大利润？每天地利润为求最大利润即为求二元函数地最大值.问题地分析本节将利用偏导数讨论多元函数地极值与最值问题.一,二元函数地极值播放一.二元函数极值设函数z=f(x,y)在点(x零,y零)地某邻域内有定义,对于该邻域内异于(x零,y零)地点,如果都满足不等式f(x,y)>f(x零,y零),则称函数f(x,y)在点(x零,y零)取得极小值f(x零,y零).如果都满足不等式f(x,y)<f(x零,y零),则称函数f(x,y)在点(x零,y零)取得极大值f(x零,y零).极大值,极小值统称为极值.使函数取得极值地点称为极值点.定义(一)(二)(三)例一例二例三二.二元函数取得极值地条件设函数z=f(x,y)在点(x零,y零)具有偏导数,且在点(x零,y零)处有极值,则定理推广到三元函数设函数u=f(x,y,z)在点(x零,y零,z零)具有偏导数,且在点(x零,y零,z零)处有极值,则（必要条件）与一元函数类似,凡能使一阶偏导数同时为零地点,均称为函数地驻点.驻点极值点如何判定一个驻点是否为极值点？注意:（具有偏导数）例如,点(零,零)是函数z=xy地驻点,但不是极值点而(零,零)是地极值点,但函数在该点地偏导数不存在.结论:二元函数地极值在驻点或一阶偏导数不存在地点处取得.问题设函数z=f(x,y)在点(x零,y零)地某邻域内具有直到二阶地连续偏导数,又f'x(x零,y零)=零,f'y(x零,y零)=零,设A=f''xx(x零,y零),B=f''xy(x零,y零),C=f''yy(x零,y零),则（一）当AC-B二>零时,具有极值,且当A<零(或C<零)时有极大值,当A>零(或C>零)时有极小值;（二）当AC-B二<零时不取得极值;（三）当AC-B二=零时可能有极值,也可能没有极值.这里不作讨论定理（充分条件）求函数极值地一般步骤:第一步解方程组f'x(x,y)=零,f'y(x,y)=零,求出所有驻点.第二步对于每一个驻点(x零,y零),求出二阶偏导数地值A,B,C.第三步确定AC-B二地符号,根据定理作出判断是否取得极值,是极大值还是极小值,如取得极值,求出f(x零,y零).例四求函数地极值.解令求得驻点为（一,零）（一,二）（-三,零）（-三,二）再求出二阶偏导数在点(-三,二)处,AC-B二=七二>零又A<零,所以函数在(-三,二)处取得极大值f(-三,二)=三一;在点(一,零)处,AC-B二=七二>零又A>零,所以函数在(一,零)处取得极小值f(一,零)=-五;在点(一,二)处,AC-B二=-七二<零,所以函数在(一,二)处不取得极值;在点(-三,零)处,AC-B二=-七二<零,所以函数在(-三,零)处不取得极值;无条件极值:对自变量除了限制在定义域内外,并无其它条件.二,条件极值拉格朗日乘数法实例:某有二零元,现用来购买两种物品:笔与本子,设它购买x支笔,y本本子达到最佳效果,效果函数u(x,y)=lnx+lny如果笔每支２元,本子每本五元,问它如何分配这二零元以达到最佳效果？问题地实质:求函数u(x,y)=lnx+lny在二x+五y=二零条件下地极值.条件极值:对自变量有附加条件地极值．拉格朗日乘数法:要找函数z=f(x,y)在条件φ(x,y)=零下地可能极值点,其步骤如下:（一）构造拉格朗日函数F(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y)其λ为参数,称为拉格朗日乘数.（二）令F'x=零,F'y=零,F'λ=零,解出x,y,λ,其(x,y)就是可能地极值点地坐标.（三）判断求出地(x,y)是否为极值点,一般实际问题由问题地实际意义判定.拉格朗日乘数法地推广拉格朗日乘数法可推广到条件多于两个地情况:要求函数u=f(x,y,z,t)在条件φ(x,y,z,t)=零与ψ(x,y,z,t)=零下地极值.（一）构造拉格朗日函数F(x,y,z,t,λ一,λ二)=f(x,y,z,t)+λ一φ(x,y,z,t)+λ二ψ(x,y,z,t)其λ一,λ二为参数,（二）令对所以自变量与参数偏导数为零解出,即得可能极值点地坐标.三,二元函数地最值一,有界闭区域D上连续函数地最值将函数在D内地所有驻点处地函数值及在D地边界上地最大值与最小值相互比较,其最大者即为最大值,最小者即为最小值.多元函数最值地两种情况:二,实际问题地最值实际问题,如果根据实际意义确定函数地最值一定能在D地内部取得,且D地内部只有一个驻点,那么函数在该点上一定取得最值.例五求函数f(x,y)=xy-x二-y二在有界闭区域D:x二+y二≤一上地最大值与最小值.解先求D内地驻点令求得驻点(零,零)经验证,在（零,零）取得极大值f(零,零)=零再求函数在D地边界上地最大值与最小值.该问题就是求f(x,y)在条件x二+y二=一下地极值.——拉格朗日乘数法设F(x,y,λ)=xy-x二-y二+λ(x二+y二-一),令解得可能地极值点综上,f(x,y)在D上地最大值是零,最小值是解令经验证,这两点是函数地极值点。例六求地最大值与最小值.解如图,先求函数在D内地驻点故f(二,一)=四为极大值解方程组再求f(x,y)在边界上地最值求得区域D内唯一驻点(二,一)在边界x=零与y=零上,函数值均为零.比较可知f(二,一)=四为最大值,f(四,二)=-六四为最小值.解例八设某工厂生产甲产品数量S(吨)与所用两种原料A,B地数量x,y(吨)间地关系式S(x,y)=零.零零五x二y,现准备向银行贷款一五零万元购原料,已知A,B原料每吨单价分别为一万元与二万元,问怎样购两种原料,才能使生产地数量最多?该问题就是求S(x,y)=零.零零五x二y在条件x+二y=一五零下地最大值.作拉格朗日函数因仅有一个驻点,且最大值一定存在,故在点(一零零,二五)处取得最大值S(一零零,二五)=一二五（吨）即购A原料一零零吨,B原料二五吨时,可以使产量达到最大.例九求表面积为a二体积为最大地长方体地体积.分析:该问题可以看成,求在表面积为a二条件下地长方体地体积地最大值.目地函数:条件:求偏导,解方