管理学第四章矩阵的特征值和特征向量

作用初等变换终止矩阵结果秩阶梯阵r(A)=非0行数行变换极大无关组(基)阶梯阵主列对应原矩阵的列行变换行最简形非主列的线性表示关系解Ax=b(AX=B)(Ab)行变换阶梯阵判别解:r1<r2无解r1=r2=n唯一解,r1=r2<n无穷多解行最简形基解:非主列变量为e1..enr特解:非主列变量为0逆矩阵行变换行最简形(AE)

(EA

1

)行列式行/列变换三角形某行(列)有一非0元素注意对角线方向的符号按此行(列)展开1精选ppt第四章矩阵的特征值和特征向量§4.2方阵的特征值和特征向量(1学时)§4.1相似矩阵(1学时)§4.4实对称矩阵的相似对角化(1学时)初等变换

相抵等价类的不变量矩阵的秩相抵标准形不变量§4.3方阵可相似对角化的条件(1学时)相似变换相似2精选ppt§4.2方阵的特征值和特征向量(1学时)一.特征值、特征向量的定义和计算§4.1相似矩阵(1学时)二.方阵与对角矩阵相似的充要条件一.相似矩阵的定义和性质二.特征值、特征向量的性质第四章矩阵的特征值和特征向量3精选ppt第四章矩阵的特征值和特征向量§4.1相似矩阵

相似的应用求A11.设P

1AP=,P=,

=14111002,A=P

P

1

A11=(P

P

1)(P

P

1)(P

P

1)…(P

P

1)

11=100211=P

11P

1

A与

相似4精选ppt第四章矩阵的特征值和特征向量

§4.1相似矩阵§4.1相似矩阵一.相似矩阵的定义和性质设A,B都是n阶方阵,假设有可逆矩阵P,使P1AP=B,那么称矩阵A与B相似.记为A~B.P为相似变换矩阵.注1:相似是相抵的特例:相似必相抵,反之不然.例1.证明矩阵与相似.证明：5精选ppt第四章矩阵的特征值和特征向量

§4.1相似矩阵§4.1相似矩阵一.相似矩阵的定义和性质设A,B都是n阶方阵,假设有可逆矩阵P,使P1AP=B,那么称矩阵A与B相似.记为A~B.P为相似变换矩阵.注1:相似是相抵的特例:相似必相抵,反之不然.注2:

反身性:A~A;

对称性:A~B

B~A;

传递性:A~B,B~C

A~C.

矩阵间的相似关系是一种等价关系P

1AP=BPBP

1=A相抵关系下的不变量：矩阵的秩相似关系下的不变量：矩阵的秩6精选ppt第四章矩阵的特征值和特征向量

§4.1相似矩阵一.相似矩阵的定义和性质设A,B都是n阶方阵,假设有可逆矩阵P,使P1AP=B.注1:相似是相抵的特例:相似必相抵,反之不然.矩阵间的相似关系是一种等价关系相似关系下的不变量：矩阵的秩,注2:性质2:A~B,那么|A|=|B|.|B|=|P

1AP|=|P

1||A||P|=|P

1||P||A|=|A|.定义2:矩阵的迹(trace):tr(A+B)=tr(A)+tr(B)tr(kA)=ktr(A)tr(AB)=tr(BA)性质3:A~B,那么tr(A)=tr(B).行列式,迹=tr(P

1AP)=tr(APP

1)7精选ppt性质4:设A~B,f是一个多项式,那么f(A)~f(B).证明:设P1AP=B,f(x)=anxn+…+a1x+a0,那么P

1f(A)P=anP

1AnP+…+a1P

1AP+a0P

1EP

=an(P

1AP)n+…+a1P

1AP+a0E

=P

1(anAn+…+a1A+a0E)P

=anBn+…+a1B+a0E

=f(B).第四章矩阵的特征值和特征向量

§4.1相似矩阵8精选ppt二.方阵与对角矩阵相似的充要条件定理4.1.n阶方阵A与对角矩阵相似n个线性无关的向量1,2,…,n和n个数1,2,…,n满足Ai=ii,i=1,2,…,n.假设令P=(1,2,…,n),=diag(1,2,…,n),那么P–1AP=.证明:设P–1AP=

=diag(

1,

2,…,

n),

AP=Pdiag(

1,

2,…,

n),即

A(

1,

2,…,

n)=(

1

1,

2

2,…,

n

n),

A

i

=

i

i,

i=1,2,…,n第四章矩阵的特征值和特征向量

§4.1相似矩阵P可逆,所以

1,

2,…,

n线性无关.

9精选ppt二.方阵与对角矩阵相似的充要条件定理4.1.n阶方阵A与对角矩阵相似n个线性无关的向量1,2,…,n和n个数1,2,…,n满足Ai=ii,i=1,2,…,n.假设令P=(1,2,…,n),=diag(1,2,…,n),那么P–1AP=.第四章矩阵的特征值和特征向量

§4.1相似矩阵方阵A的相似对角化问题:求可逆阵P,使P–1AP=

.其中，对角阵

称为相似标准形.相似关系下的不变量：矩阵的秩,行列式,迹相抵关系下的不变量：矩阵的秩相抵关系下的最简形：相抵标准形相似关系下的最简形：相似标准形

10精选ppt1.定义

=

n阶方阵

非零向量

特征值(eigenvalue)

特征向量(eigenvector)

对应§4.2方阵的特征值和特征向量一.特征值、特征向量的定义和计算A

数注1.几何意义A33

y=A

=

//

y=A

注2.

否那么,=,R,A==但是可以

=0,此时,A

=0=

第四章矩阵的特征值和特征向量

§4.2特征值与特征向量

11精选ppteigshow(A)显示不同的单位向量x及经变换后的向量y=Ax

特征值和特征向量：

0,s.t.A

=

12精选ppt第四章矩阵的特征值和特征向量§4.2特征值与特征向量

A

=

(

E–A)

=0|

E–A|=0

特征方程=

–a11–a12…–a1n

–a21

–a22…–a2n…………–an1–an2…

–ann

特征多项式

特征值

特征向量

对每个,求(E–A)x=0的根底解系1,2,,t对应于

的所有特征向量为k1

1+k2

2+

+kt

t,

k1,

,kt不全为0.2.计算先解|E–A|=0,求出所有特征值

,13精选ppt解:|E–A|=(+1)(–2)2.所以A的特征值为1=–1,2=3=2.(–E–A)x=0的根底解系:1=(1,0,1)T.对应于1=–1的特征向量为k1(0kR).(2E–A)x=0的根底解系:2=(0,1,–1)T,3=(1,0,4)T.对应于2=3=2的特征向量为k22+k33(k2,k3不同时为零).例2.求的特征值和特征向量.第四章矩阵的特征值和特征向量

§4.2特征值与特征向量

14精选ppt定理4.1.n阶方阵A与对角阵相似

n个线性无关的向量

1,…,

n和n个数

1,…,

n满足

A

i

=

i

i,

i=1,…,n.第四章矩阵的特征值和特征向量

§4.1相似矩阵方阵A的相似对角化问题:求可逆阵P,使P–1AP=

.相似关系下的不变量：矩阵的秩,行列式,迹相抵关系下的不变量：矩阵的秩相抵关系下的最简形：相抵标准形相似关系下的最简形：相似标准形

n阶方阵A,B相似,假设有可逆阵P,使P1AP=B.

A有n个线性无关的特征向量

1,…,

n.

=diag(

1,…,

n),

i为特征值,P=(

1,…,

n).

i为特征值

i为特征向量15精选ppt第四章矩阵的特征值和特征向量§4.2特征值与特征向量

A

=

(

E–A)

=0|

E–A|=0

特征方程=

–a11–a12…–a1n

–a21

–a22…–a2n…………–an1–an2…

–ann

特征多项式

特征值

特征向量

对每个,求(E–A)x=0的根底解系1,2,,t对应于

的所有特征向量为k1

1+k2

2+

+kt

t,

k1,

,kt不全为0.2.计算先解|E–A|=0,求出所有特征值

,16精选ppt解:所以A的全部特征值为0(n

1重根),

例3.设

0,

Rn,求A=

T的特征值和特征向量.第四章矩阵的特征值和特征向量

§4.2特征值与特征向量

17精选ppt解:当

=0时,(E

A)x=0,即Ax=0.不妨设例3.设

0,

Rn,求A=

T的特征值和特征向量.第四章矩阵的特征值和特征向量

§4.2特征值与特征向量

对应

=0的特征向量为不全为018精选ppt此时，线性无关的特征向量只有一个.解:当

=

T

时,(

T

E

A)x=0.因为Ax=x.即x=x.注意到所以

即为A的对应特征值

=

T

的特征向量.所以只要找一个非零向量满足上述方程即可.

例3.设

0,

Rn,求A=

T的特征值和特征向量.第四章矩阵的特征值和特征向量

§4.2特征值与特征向量

r(

TE

A)+r(x)

n.

r(

TE

A)

n1.r(

TE

A)+r(A)

r(

TE

A+A)=r(

TE)=n.

r(

TE

A)

=n1.那么对应=T的特征向量为r(A)=119精选ppt例4.设A=(aij)n×n,证明f(

)=|E－A|是

的n次多项式,并求

n,

n－1的系数及常数项.

a11

a12…a1n

a21

a22…

a2n…………

an1

an2…

annf(

)=|E－A|=(

a11)(

a22)…(

ann)

f(0)=|－A|A的迹,记为trA=(－1)n|A|

第四章矩阵的特征值和特征向量

§4.2特征值与特征向量

n,

n-1项只在主对角线乘积中20精选ppt二.特征值、特征向量的性质性质1.设1,…,n(实数或复数,可重复)是n阶方阵A=(aij)的n个特征值,即|E–A|=(–1)(–2)…(–n)，那么

i=trA=aii

n

i=1n

i=1

i=detA=|A|n

i=1证明：|

E–A|=(

–

1)(

–

2)…(

–

n)第四章矩阵的特征值和特征向量

§4.2特征值与特征向量

21精选ppt性质1.设

1,…,

n(实数或复数,可以重复)是n阶方阵A=(aij)的n个特征值,那么

i=trA=aii

n

i=1n

i=1

i=detA=|A|n

i=1推论1：方阵A可逆证明：

A的特征值均不为0,那么

i0n

i=1|A|=所以A可逆.必要性:设

=0是A的一个特征值,那么0,s.t.,A=

=0,因为A可逆,A

1A=

=0,产生矛盾.第四章矩阵的特征值和特征向量

§4.2特征值与特征向量

A的特征值均不为0.

22精选ppt第四章矩阵的特征值和特征向量

§4.2特征值和特征向量性质1.设

1,…,

n(实数或复数)是n阶方阵A=(aij)的n个特征值,那么

i=trA=aii

，n

i=1n

i=1

i=|A|n

i=1推论1：方阵A可逆

A的特征值均不为0.证明：

设

0,s.t.,A=

,

A

1A=

A

1

性质2：方阵A可逆,是A的特征值,那么1/是A1的特征值,|A|/是A*的特征值.因为A可逆,

A

1

=(1/

)

,那么1/是A1的特征值.

AA*=|A|E,

A可逆

A*=|A|A

1,

A*

=|A|A

1

=

(|A|/

)

,那么|A|/是A*的特征值.23精选ppt性质1.设

1,…,

n(实数或复数)是n阶方阵A=(aij)的n个特征值,那么

i=trA=aii

，n

i=1n

i=1

i=|A|n

i=1推论1：方阵A可逆

A的特征值均不为0.证明：

性质2：方阵A可逆,是A的特征值,那么1/是A1的特征值,|A|/是A*的特征值.性质3:假设是方阵A的特征值,那么也是AT的特征值.

|

E–A|=

|(

E–A)T|=|

E–AT|性质4.设是A的特征值,那么k是Ak的一个特征值.证明：因为

为A的特征值,即

0使A

=

,

于是(A2)

=A(A

)

=A(

)

=

(A

)=

2

,

0使(Ak)

=

k,即

k也是Ak的特征值.第四章矩阵的特征值和特征向量

§4.2特征值和特征向量24精选ppt性质5.设

是方阵A的一个特征值,f是一个多项式,那么f()是方阵f(A)的一个特征值.对于f(

)=as

s++a1

+a0,f(A)

=asAs

++a1A+a0

=as

s

++a1

+a0

=f(

)

,

0使f(A)

=

f(

)

.那么f()是方阵f(A)的一个特征值.第四章矩阵的特征值和特征向量

§4.2特征值和特征向量证明：因为

为A的特征值,即

0使A

=

,

(Ak)

=

k,即

k也是Ak的特征值.性质4.设是A的特征值,那么k是Ak的一个特征值.25精选ppt性质5.设

是方阵A的一个特征值,f是一个多项式,那么f()是方阵f(A)的一个特征值.推论2.假设f是多项式,A是一个方阵,使f(A)=0(称f为A的一个零化多项式),那么A的任一特征值必满足f()=0.

f(

)

=

0

=0

f(

)=0证明：

对A的任一特征值

,f(

)是f(A)的一个特征值.那么0使f(A)=f().因为f(A)=00第四章矩阵的特征值和特征向量

§4.2特征值和特征向量26精选ppt推论2.假设f是多项式,A是一个方阵,使f(A)=O那么A的任一特征值必满足f()=0.注1:A的零化多项式的根是A的所有可能的特征值.

例5.假设A2=E,求A的所有可能的特征值.A的任一特征值

都是零化多项式的根.

1=

2=1

1=

2=

1

1=1,

2=

1解：由A2

E=0知,f(x)=x21为A一个零化多项式.

f(x)=x21=0的根1,1为A的所有可能的特征值.注2:A的零化多项式的根未必都是A的特征值.

例6.

f(x)=x21,

根为1,

1A1=1001,A2=1001,A3=0110.第四章矩阵的特征值和特征向量

§4.2特征值和特征向量27精选ppt解法2:所以A的所有可能的特征值

满足所以A的所有可能的特征值所以A的全部特征值为0(n

1重根),

例3.设

0,

Rn,求A=

T的特征值和特征向量.28精选ppt性质6.设n阶方阵A与B相似,那么有相同的特征多项式和特征值.事实上,A与B相似,那么E–A与E–B相似.设P–1AP=B(P可逆),那么P–1(E–A)P=E–P–1AP=E–B注3:特征多项式相同的矩阵未必相似

.例7.它们的特征多项式都是(

1)2.但是假设有P–1AP=B,那么A=PBP–1=E=B.矛盾!第四章矩阵的特征值和特征向量

§4.2特征值和特征向量A=1011,B=1001,

|

E–A|=|

E–B|29精选ppt特征多项式相同是相似的必要而非充分的条件.

注4.方阵A与B相似

特征多项式和特征值相同

tr(A)=tr(B),

|A|=|B|

r(A)=r(B)相似关系下的不变量为：特征值,迹,行列式,秩相抵关系下的不变量为：秩相抵关系下的最简形为：相抵标准形相似关系下的最简形为：第四章矩阵的特征值和特征向量

§4.2特征值和特征向量相似标准形

30精选ppt一.特征值、特征向量的定义和计算二.特征值、特征向量的性质

0,s.t.

A

=

.先解|E–A|=0,

求

;将

代入(E–A)

=0,

求非零通解.

i=trA=aii

n

i=1n

i=1

i=detA=|A|n

i=1设是A的特征值,那么f()是f(A)的特征值.注:A的零化多项式的根可能是但未必都是A的特征值.

A的任一特征值

都是零化多项式的根.A可逆

A的特征值均不为0,

1/

是A

1的特征值.是可逆阵A的特征值,那么|A|/是A*的特征值.假设是方阵A的特征值,那么也是AT的特征值.31精选ppt例8.设3阶矩阵A的特征值为2,1,1,那么解：

A可逆是可逆阵A的特征值,那么1/是A1的特征值.

(+

1/

)

是(A+A1)的特征值.

(A+A1)的特征值为：

例9.设3阶矩阵A的特征值为1,2,3,则的特征值为即

11,

5,

3第四章矩阵的特征值和特征向量

§4.2特征值和特征向量32精选ppt设A是n阶方阵,对于数,存在n维非零向量,使得A=,那么称为A的一个特征值。由A

=

得齐次线性方程组(E–A)

=

,它有非零解

|E–A|=0

E–A不可逆假设A为方阵,是A的一个特征值(EA)不可逆.A为方阵,

不是A的特征值

(EA)可逆.例10.设3阶矩阵A的特征值为2,1,4,那么可逆的矩阵:(A)EA(B)4EA(C)2EA(D)2E+A例11.假设方阵A不可逆，那么A的一个特征值为()0例12.假设方阵A满足A2=2A,0不是A的特征值,那么A=A可逆A=2E第四章矩阵的特征值和特征向量

§4.2特征值和特征向量33精选ppt§4.2方阵的特征值和特征向量(1学时)§4.1相似矩阵(1学时)第四章矩阵的特征值和特征向量§4.3方阵可相似对角化的条件(1学时)§4.4实对称矩阵的相似对角化(1学时)一.实对称矩阵的特征值和特征向量二.实对称矩阵正交相似于对角矩阵一.方阵可相似对角化的条件

二.方阵可相似对角化的步骤34精选ppt定理4.1.n阶方阵A与对角矩阵相似n个线性无关的向量1,2,…,n和n个数1,2,…,n满足Ai=ii,i=1,2,…,n.假设令P=(1,2,…,n),=diag(1,2,…,n),那么P–1AP=.第四章矩阵的特征值和特征向量

方阵A的相似对角化问题:求可逆矩P,使P–1AP=

.其中，对角阵

称为相似标准形.§4.3方阵可相似对角化的条件

§4.3方阵可相似对角化的条件定理4.3.n阶方阵A相似于对角矩阵

A有n个线性无关的特征向量.35精选ppt注1：假设A有l(<n)个线性无关的特征向量，那么A不与对角矩阵相似.(但是假设有P–1AP=B,那么A=PBP–1=E=B.矛盾!)证明:

1=

2=1

n

r=12

A不与对角阵B相似.§4.3方阵可相似对角化的条件第四章矩阵的特征值和特征向量

§4.3方阵可相似对角化的条件

定理4.3.n阶方阵A相似于对角矩阵

A有n个线性无关的特征向量.1001,A不与B相似.例7.A=1011,B=

E

A=00

1036精选ppt定理4.4.设

1,

2为方阵A的两个不同的特征值,

1,

,

s,与

1,

,

r分别为属于

1,

2的线性无关的特征向量,证明

1,

,

s,

1,

,

r线性无关.证明:设k1

1+

+ks

s+l1

1+

+lr

r

=0

(1)左乘A得

2

(1)(2),得(

2

1)k1

1+

+

(

2

1)ks

s

=0

2

1,

k1

1

1+

+ks

1

s+l1

2

1++lr

2

r

=0

(2)

k1

1+

+

ks

s

=0

1,

,

s,线性无关

k1

=

=

ks

=0

l1

1+

+lr

r

=0

1,

,

r线性无关

l1

=

=

lr

=0所以

1,

,

s,

1,

,

r线性无关.对应于两个不同特征值的特征向量线性无关.37精选ppt第四章矩阵的特征值和特征向量§4.3矩阵可相似对角化的条件定理4.5.

1,

2,…,

s

不同值{

11,…,

k1

,

12,…,

k2

,

…,

1s,…,

ks

}12

s

1

1,…,

sl.i.

1,…,

rl.i.

2

A

{

1,…,

s,

1,…,

r}线性无关l.i.l.i.l.i.线性无关命题.对应于两个不同特征值的特征向量线性无关.38精选ppt推论4.4.n阶方阵A与对角矩阵相似

A的每个ni重特征值

i有ni个线性无关的特征向量,即r(

iE

A)=n

ni,

i=1,

,t.其中，n1+n2++nt

=n推论4.3.假设n阶方阵A有n个不同的特征值,那么A与对角矩阵相似.定理4.3.n阶方阵A相似于对角矩阵

A有n个线性无关的特征向量.第四章矩阵的特征值和特征向量

§4.3方阵可相似对角化的条件

推论4.2

A的属于不同特征值的特征向量线性无关.39精选ppt一.特征值、特征向量的定义和计算二.特征值、特征向量的性质

0,s.t.

A

=

.先解|E–A|=0,

求

;将

代入(E–A)

=0,

求非零通解.

i=trA=aii

n

i=1n

i=1

i=detA=|A|n

i=1设是A的特征值,那么f()是f(A)的特征值.注:A的零化多项式的根可能是但未必都是A的特征值.

A的任一特征值

都是零化多项式的根.A可逆

A的特征值均不为0,

1/

是A

1的特征值.是可逆阵A的特征值,那么|A|/是A*的特征值.假设是方阵A的特征值,那么也是AT的特征值.40精选ppt推论4.4.n阶方阵A与对角矩阵相似

A的每个ni重特征值

i有ni个线性无关的特征向量,即r(

iE

A)=n

ni,

i=1,

,t.其中，n1+n2++nt

=nCor4.3.n阶方阵A有n个不同的特征值,那么A与对角阵相似.Th4.3.n阶方阵A相似于对角阵

A有n个线性无关的特征向量.第四章矩阵的特征值和特征向量

§4.3方阵可相似对角化的条件

推论4.2

A的属于不同特征值的特征向量线性无关.n阶方阵A,B相似,假设有可逆阵P,使P1AP=B.相似关系下的不变量为：特征值,迹,行列式,秩41精选ppt求|E–A|=0的根有重根吗?无A可以相似对角化有r(

iE

A)=n

ni?否A不能相似对角化是求n个线性无关的特征向量

1,…,

n,令P=(

1,…,

n)P–1AP=diag(

1,…,

n)§4.3方阵可相似对角化的条件

第四章矩阵的特征值和特征向量

注:特征向量要与特征值的顺序相对应相似对角化问题解题步骤An与

相似

i(ni重),有r(

iE

A)=n

ni42精选ppt解:|

E–A|=(

+1)(

–2)2.

1=–1,

2=

3=2.例13.设,求可逆阵P和对角阵

,

使得P–1AP=

.

(2E–A)x=0的根底解系:1=(1,0,4)T,2=(0,1,–1)T.当1=–1,(–E–A)x=0的根底解系:3=(1,0,1)T当

2=

3=2,使得P–1AP=

.

§4.3方阵可相似对角化的条件

第四章矩阵的特征值和特征向量

43精选ppt解:例13续,求可逆阵P和对角阵

,

使得P–1AP=

.

并求出Ak.

使得P–1AP=

.

Ak=(P

P–1)k=P

kP–1P–1AP=

A=P

P–1第四章矩阵的特征值和特征向量

§4.3方阵可相似对角化的条件

44精选ppt解:|

E–A|=(

–2)(

–1)2.

所以A的特征值为

1=2,

2=

3=1.例14.讨论的相似对角化问题.所以矩阵A

不能相似对角化，即不存在可逆阵P使得P–1AP=

.当

2=

3=1,第四章矩阵的特征值和特征向量

§4.3方阵可相似对角化的条件

45精选ppt求|E–A|=0的根有重根吗?无A可以相似对角化有r(

iE

A)=n

ni?否A不能相似对角化是求n个线性无关的特征向量

1,…,

n,令P=(

1,…,

n)P–1AP=diag(

1,…,

n)§4.3方阵可相似对角化的条件

第四章矩阵的特征值和特征向量

注:特征向量要与特征值的顺序相对应相似对角化问题解题步骤An与

相似

i(ni重),有r(

iE

A)=n

ni46精选ppt§4.2方阵的特征值和特征向量(1学时)§4.1相似矩阵(1学时)第四章矩阵的特征值和特征向量§4.3方阵可相似对角化的条件(1学时)§4.4实对称矩阵的相似对角化(1学时)一.实对称矩阵的特征值和特征向量二.实对称矩阵正交相似于对角矩阵一.方阵可相似对角化的条件

二.方阵可相似对角化的步骤47精选ppt§4.4实对称矩阵的相似对角化§4.4实对称矩阵的相似对角化一.实对称矩阵的特征值和特征向量1.复矩阵的共轭矩阵设A=(aij)m

n,aij

C.A的共轭矩阵.

则称A=(aij)m

n为共轭运算的性质：

(1)kA=kA;(2)A

B=A

B;(3)AT=;(4)AB=AB;(5)若A可逆,则A也可逆,且实对称矩阵第四章矩阵的特征值和特征向量

48精选ppt2.实对称矩阵定理4.7.实对称矩阵的特征值均为实数.§4.4实对称矩阵的相似对角化第四章矩阵的特征值和特征向量

从而另一方面,两式相减得那么存在非零复向量x≠,满足Ax=x,又因为x≠

,故因此可见

为实数.设复数

为实对称阵A的特征值,证明:49精选ppt定理4.8.设1,2是实对称矩阵A的两个不同的特征值,p1,p2是对应与它们的特征向量,那么p1与p2正交.定理4.8.实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量彼此正交.证明:设

1

2,

p1,

p2

0,s.t.Ap1=

1p1,

Ap2=

2p2

§4.4实对称矩阵的相似对角化第四章矩阵的特征值和特征向量

此外,p1TAp2=p1TATp2=(Ap1)Tp2

=

1p1Tp2

,

于是(

1–

2)p1Tp2=0,从而p1TAp2

=p1T(

2p2)=

2p1Tp2.

但是

1

2,故p1Tp2=0.50精选ppt定理4.9.对于任意n阶实对称矩阵A,存在

正交矩阵Q,使得

Q–1AQ=QTAQ=

=diag(

1,

2,…,

n),

其中

1,

2,…,

n为A的全部特征值,Q=(q1,q2,…,qn)的列向量组是A的对应于

1,

2,…,

n的标准正交特征向量组.二.实对称矩阵正交相似于对角矩阵推论.n阶实对称矩阵A的ni重特征值都有ni个线性无关的特征向量，再由施密特正交化方法知，必有ni个标准正交的特征向量.§4.4实对称矩阵的相似对角化第四章矩阵的特征值和特征向量

51精选ppt例15.把正交相似对角化.解:|

E–A|=(

+2)(

–4)2.§4.4实对称矩阵的相似对角化第四章矩阵的特征值和特征向量

取

2=

2,将

2,

3正交化,(4E–A)x=0的根底解系2=(1,1,0)T,3=(2,0,1)T.A的特征值为

1=–2,

2=

3=4.(–2E–A)x=0的根底解系1=(1,–1,–2)T.解(4E–A)x=,52精选ppt解:所以A的特征值为1=–2,2=3=4.(–2E–A)x=0的根底解系1=(1,–1,–2)T.(4E–A)x=0的根底解系2=(1,1,0)T,3=(2,0,1)T.§4.4实对称矩阵的相似对角化第四章矩阵的特征值和特征向量

取

2=

2,将

2,

3正交化,再单位化,即得例15.把正交相似对角化.53精选ppt例15.把正交相似对角化.解:|

E–A|=(

+2)(

–4)2.§4.4实对称矩阵的相似对角化第四章矩阵的特征值和特征向量

取

2=

2,将

2,

3正交化,(4E–A)x=0的根底解系2=(1,1,0)T,3=(2,0,1)T.A的特征值为

1=–2,

2=

3=4.(–2E–A)x=0的根底解系1=(1,–1,–2)T.解(4E–A)x=,一个非零解为

2=(0,1,–1/2)T,设另一解为

3

2,

3=(5,1,2)T,再单位化,Q不唯一?54精选ppt例15.把正交相似对角化.解:|

E–A|=(

+2)(

–4)2.§4.4实对称矩阵的相似对角化第四章矩阵的特征值和特征向量

取

2=

2,将

2,

3正交化,(4E–A)x=0的根底解系2=(1,1,0)T,3=(2,0,1)T.A的特征值为

1=–2,

2=

3=4.(–2E–A)x=0的根底解系1=(1,–1,–2)T.解(4E–A)x=,一个非零解为

2=(0,1,–1/2)T,设另一解为

3

2,

3=(5,1,2)T,