专题13.1 易错易混淆集训：等腰三角形中易漏解或多解的问题之四大易错（解析版）

专题13.1易错易混淆集训：等腰三角形中易漏解或多解的问题之四大易错【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【易错点一求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错】 1【易错点二当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错】 5【易错点三求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错】 8【易错点四三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错】 16【典型例题】【易错点一求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错】例题：一个等腰三角形一边长为，另一边长为，则这个等腰三角形的周长为（

）A． B． C．或 D．【答案】D【分析】分边长为4的边为底边和腰两种情况结合构成三角形的条件进行求解即可．【详解】解：当边长为4的边为底边时，则这个三角形的三边为4，，，∵，∴不能构成三角形，不符合题意；当边长为4的边为腰时，则这个三角形的三边为4，4，，∵，∴能构成三角形，符合题意，∴这个等腰三角形的周长为，故选D．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，实数比较大小，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．【变式训练】1．若a、b是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则这个三角形的周长是（）A．9 B．12 C．9或12 D．15或6【答案】B【分析】先根据非负数的性质求出，再分两种情况求解即可．【详解】解：根据题意，，解得，（1）若2是腰长，则三角形的三边长为：2、2、5，，不能组成三角形；（2）若2是底边长，则三角形的三边长为：2、5、5，能组成三角形，周长为．故选：B．【点睛】此题考查了等腰三角形、构成三角形的条件、非负数的性质等知识，分类讨论是解题的关键．2．若等腰三角形的两边a，b满足，则等腰三角形的周长为（

）A．8 B．10 C．12 D．8或10【答案】B【分析】根据非负数的意义列出关于、的方程组并求出、的值，再根据是腰长和底边长两种情况讨论求解．【详解】解：∵等腰三角形的两边，满足，∴，解得：，若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、2，能组成三角形，周长为：；若4是底边长，则三角形的三边长为：、2、2，∵，∴不能组成三角形；综上所述，等腰三角形的周长为，故B正确．故选：B．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断．根据题意列出方程组并正确解答是解题的关键．3．（2023春·江苏扬州·七年级校考阶段练习）已知一个等腰三角形的两边长分别为3和5，则这个三角形的周长为．【答案】11或13/13或11【分析】分3是腰长或5是腰长，两种情况讨论求解即可．【详解】解：①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、5，∵，∴此时能组成三角形，这个三角形的周长为；②5是腰长时，三角形的三边分别为3、5、5，此时能组成三角形，∴这个三角形的周长，综上所述，这个等腰三角形的周长是11或13．故答案为：11或13．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，解题关键在于要分情况讨论．4．（2023秋·江西南昌·八年级统考期末）若等腰三角形的三边长分别为，5，，则此等腰三角形的周长可以是．【答案】11或13或17【分析】先根据题中已知等腰三角形的三边的长，而没有指明哪个是腰，哪个是底边，故应该分三种情况进行分析求解即可．【详解】解：①当是底边时，则腰长为，5，∴，∴，即三角形三边长分别为5，5，7，根据三角形三边关系，可以构成三角形，∴等腰三角形的周长；②当5是底边时，则腰长为，，∴，解得，即三角形三边长分别为3，3，5，根据三角形三边关系，可以构成三角形，∴等腰三角形的周长；③当是底边时，则腰长为5，，∴，解得，即三角形三边长分别为5，5，4，根据三角形三边关系，可以构成三角形，∴等腰三角形的周长．综上所述，三角形的周长可以是11，14或17．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、解一元一次方程以及三角形三边关系等知识，解题的关键是分类讨论，并用三边关系定理检验．5．已知等腰三角形的三边长分别为，，8，求等腰三角形的周长．【答案】等腰三角形的周长为17.5【分析】分三种情况：当时，当时，当时，然后分别进行计算即可解答．【详解】解：分三种情况：当时，解得：，（舍去）；当时，解得：，，三边长分别为：8，21，8，，不能组成三角形；当时，解得：，，三边长分别为：1.5，8，8，等腰三角形的周长，综上所述：等腰三角形的周长为17.5．故答案为：17.5．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元一次方程，分三种情况讨论是解题的关键．【易错点二当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错】例题：等腰三角形有一个内角为，则它的顶角为(

)A． B．或 C．或 D．【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质可分为顶角和底角进行求解．【详解】解：由题意可知：当等腰三角形的一个内角为顶角时，当等腰三角形的一个内角为底角时，则其顶角为；故选C．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．【变式训练】1．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为，则这个等腰三角形顶角的度数为（

）A． B．或 C．或 D．【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质．因为所成比例的内角，可能是顶角，也可能是底角，因此要分类求解．【详解】解：设两内角的度数为、当等腰三角形的顶角为时，，∴；当等腰三角形的顶角为时，，∴，则；综上分析可知，等腰三角形的顶角度数为或．故选：C．【点睛】本题主要考查等腰三角形内角度求解，解题的关键是熟知等腰三角形的性质．2．在中，，若为等腰三角形，则的度数为（

）．A．或 B．或 C．或 D．或或【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质分已知角是顶角和底角计算即可；【详解】∵为等腰三角形，，∴当是底角时，顶角；∴或，当是顶角时，，综上所述，的度数为或或．故选D．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，准确计算是解题的关键．3．（2023春·福建漳州·七年级福建省漳州第一中学校考期末）定义：在一个等腰三角形中，如果一个内角等于另一个内角的两倍，则称该三角形为“倍角等腰三角形”.“倍角等腰三角形”的顶角度数是（

）A． B．或 C．或 D．或【答案】D【分析】设等腰三角形的顶角为，则底角为，分两种情况：当顶角为底角的2倍时，当底角为顶角的2倍时，分别列出方程求出x的值即可．【详解】解：设等腰三角形的顶角为，则底角为，当顶角为底角的2倍时，，解得：；当底角为顶角的2倍时，，解得：；综上分析可知，“倍角等腰三角形”的顶角度数是或，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是注意进行分类讨论．4．若等腰三角形的一个外角为，则它的顶角为【答案】或【分析】分的外角为顶角的外角和底角的外角两种情况讨论即可.【详解】分为两种情况：（1）当这个的外角为等腰三角形顶角的外角时，则其顶角为；（2）当这个的外角为等腰三角形底角的外角时，则其底角为，顶角为；故答案为：或．【点睛】本题主要考查三角形的外角定义及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理和等腰三角形的性质.5．（2022春·江西赣州·八年级统考期中）如图，在中，，，点P在的三边上运动，当为等腰三角形时，顶角的度数是________．【答案】或或【分析】作出图形，然后分点P在上与上两种情况讨论求解．【详解】解：①如图1，点P在上时，，顶角为，②∵，，∴，如图2，点P在上时，若，顶角为，如图3，若，则顶角为，综上所述，顶角为或或．故答案为：或或．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，注意要分情况讨论求解．【易错点三求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错】例题：（2023春·江西吉安·七年级统考期末）如图，直角中，，，点在上，过点作，垂足为，当为等腰三角形时，的度数为．

【答案】或或【分析】先求解，，再分三种情况讨论：当时，当，当，结合等腰三角形的性质与平角的定义可得答案．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，当时，∴，∴，当，∴，∴，∴，当，∴，∴．综上：当为等腰三角形时，的度数为，，．故答案为：或或．【点睛】本题考查的是垂直的定义，三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键．【变式训练】1．在△ABC中，∠B＝70°，过点A作一条直线，将△ABC分成两个新的三角形．若这两个三角形都是等腰三角形，则∠C的度数为．【答案】20°或27.5°或35°【分析】分三种情况讨论：①当∠B为等腰三角形的顶角时；②当∠ADB为等腰△ADB的顶角时；③当∠DAB为等腰△ADB的顶角时；综合三种情况即可．【详解】解：设过点A且将△ABC分成两个等腰三角形的直线交BC于点D，分三种情况讨论．①当∠B为等腰△ADB的顶角时，如图1，∵∠BAD＝∠BDA＝×（180°﹣70°）＝55°，又∵△ADC是等腰三角形，DA＝DC，∴∠C＝∠ADB＝27.5°；②当∠ADB为等腰△ADB的顶角时，如图2，∵AD＝BD，∠B＝70°，∴∠BAD＝∠B＝70°，∴∠ADB＝180°﹣70°×2＝40°，又∵△ADC是等腰三角形，DA＝DC，∴∠C＝∠ADB＝20°；③当∠DAB为等腰△ADB的顶角时，如图3，则∠ADB＝∠B＝70°，又∵△ADC是等腰三角形，DA＝DC，∴∠C＝∠ADB＝35°．故答案为：20°或27.5°或35°．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理，三角形外角性质等，解题的关键是综合运用这些性质和定理．2．在中，，有一个锐角为，，若点在直线上（不与点，重合），且，则的长为．【答案】或9或3【分析】分∠ABC=60、∠ABC=30°两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可．【详解】解：当∠ABC=60°时，则∠BAC=30°，∴，∴，当点P在线段AB上时，如图，∵，∴∠BPC=90°，即PC⊥AB，∴；当点P在AB的延长线上时，∵，∠PBC=∠PCB+∠CPB，∴∠CPB=30°，∴∠CPB=∠PCB，∴PB=BC=3，∴AP=AB+PB=9；当∠ABC=30°时，则∠BAC=60°，如图，∴，∵，∴∠APC=60°，∴∠ACP=60°，∴∠APC=∠PAC=∠ACP，∴△APC为等边三角形，∴PA=AC=3．综上所述，的长为或9或3．故答案为：或9或3【点睛】本题是解直角三角形综合题，主要考查了含30度角的直角三角形、解直角三角形，等边三角形的判定和性质等，分类求解是本题解题的关键．3．（2022春·江西抚州·七年级校考阶段练习）如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，点D为AB边上一点且不与A、B重合，将△ACD沿CD翻折得到△ECD，直线CE与直线AB相交于点F．△DEF为等腰三角形时，∠ACD=．【答案】15°或30°或60°【分析】当△DEF为等腰三角形时，分四种情况讨论，三角形的外角性质以及等腰三角形的性质即可求得结果．【详解】解：△DEF为等腰三角形时，根据折叠变换的性质可得∠A=∠E=40°，∠ACD=∠ECD，①当DF=DE时，∠E=∠DFE=40°，如图，∴∠CFB=40°，∵∠B=50°，∴∠FCB=90°，显然不符合题意；②当EF=DE时，∠E=40°，如图，∴∠EDF=∠EFD==70°，∴∠CFB=70°，∴∠ACF=70°-40°=30°，∴∠ACD=15°；③当EF=DF时，∠E=∠FDE=40°，如图，∴∠DFE=180°-40°-40°=100°，∴∠ACE=100°-40°=60°，∴∠ACD=30°；④当点E在线段AB上侧时，DE=EF，如图，∵△ACD沿CD翻折得到△ECD，∴∠CAD=∠CED=40°，∴∠EDF=∠EFD=20°，∴∠ADC=∠EDC==80°，∴∠ACD=180°-40°-80°=60°；故答案为：15°或30°或60°．【点睛】本题主要考查折叠变换、等腰三角形、三角形的外角性质，解题关键是分类讨论求解．4．（2023春·江西鹰潭·八年级校考阶段练习）如图，以长方形的顶点O为原点，所在直线为y轴，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．已知，E是的中点，P为边上的一点，若为等腰三角形，则所有满足条件的P点坐标为．

【答案】或或【分析】求出，设点P的坐标为，则，，分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别求出点P的坐标即可．【详解】解：∵，E是的中点，由题意可知，设点P的坐标为，∴，，①当时，即，解得，∴P点的坐标为，②当时，由对称性可知，∵点P在边上，∴点P与点A重合，∴P点的坐标为；③当时，即，解得或（舍去），∴P点的坐标为．综上所述，P点的坐标为或或．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，坐标与图形，两点间距离公式，解题的关键是注意进行分类讨论．5．（2022春·江西抚州·八年级临川一中校考期中）如图，在四边形中，，，，，分别是，边上的动点，且始终保持．当是等腰三角形时，线段的长为．

【答案】或3或【分析】先根据已知条件、三角形外角的性质、三角形内角和定理可得证明，然后分、、三种情况，分别运用等腰三角形的性质和勾股定理即可解答．【详解】解：∵∴，∴，∵，∴∴；①如图（1），当时，∵∴是等腰直角三角形，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵∴,解得：；②如图（2），当时，∴是等腰三角形，∴是等腰直角三角形，∵，∴是等腰三角形，∴；③如图（3），当时，，∴，∴；.综上所述，线段长为：或3或．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．【易错点四三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错】例题：在等腰△ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为（

）A．7 B．7或11 C．11 D．7或10【答案】B【分析】题中给出了周长关系，要求底边长，首先应先想到等腰三角形的两腰相等，寻找问题中的等量关系，列方程求解，然后结合三角形三边关系验证答案．【详解】解：设这个等腰三角形的腰长为a，底边长为b．∵D为AC的中点，∴AD＝DC＝AC＝a．根据题意得或解得或又∵三边长为10，10，7和8，8，11均可以构成三角形．∴这个等腰三角形的底边长为7或11．【点睛】本题考查等腰三角形的性质及相关计算．学生在解决本题时，有的同学会审题错误，以为15，12中包含着中线的长，从而无法解决问题，有的同学会忽略掉等腰三角形的分情况讨论而漏掉其中一种情况．注意：求出的结果要看看是否符合三角形的三边关系定理．【变式训练】1．（2023春·辽宁沈阳·八年级校考阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，那么这个三角形的顶角为（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】分三角形是锐角三角形时，利用直角三角形两锐角互余求解；三角形是钝角三角形时，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【详解】如图1，三角形是锐角三角时，

∵，∴顶角；如图2，三角形是钝角时，

∵，∴顶角，综上所述，顶角等于或．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．2．在等腰△ABC中，如果过顶角顶点A的一条直线AD将△ABC分割成两个等腰三角形，那么∠BAC＝．【答案】90°或108°．【分析】根据题意画出图形，分类讨论，利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质可得结论．【详解】解：①当BD=AD，CD=AD时，如图①所示，∵AB=AC，∴∠B=∠C，设∠B=∠C=x，∵BD=AD，CD=AD，∴∠BAD=∠B=x，∠CAD=∠C=x，∴4x=180°，∴x=45°，∴∠BAC=2x=45°×2=90°；②当AD=BD，AC=CD时，如图②所示，∵AB=AC，∴∠B=∠C设∠B=∠C=x，∵AD=BD，AC=CD，∴∠BAD=∠B=x，∠CAD=，∴+x=180°-2x，解得：x=36°，∴∠BAC=180°-2x=180°-2×36°=108°，故答案为：90°或108°．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，根据题意画出图形分类讨论，利用三角形的内角和定理是解答此题的关键．3．已知一个等腰三角形的周长为45cm，一腰上的中线将这个三角形的周长分为的两部分，则这个等腰三角形的底长为．【答案】9cm或21cm【分析】本题可分别设出等腰三角形的腰和底的长，然后根据一腰上的中线所分三角形两部分的周长来联立方程组，进而可求得等腰三角形的底边长．注意此题一定要分为两种情况讨论，最后还要看所求的结果是否满足三角形的三边关系．【详解】解：设该三角形的腰长是xcm，底边长是ycm．根据题意得，一腰上的中线将这个三角形的周长分为27cm和18cm两部分，∴或，解得或，经检验，都符合三角形的三边关系．因此这个等腰三角形的腰长为9cm或21cm．故答案为：9cm或21cm．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确两部分是哪一部分含有底边，所以一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．4．在中，，的角平分线与边所夹的锐角为，则度．【答案】或【分析】根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义得到，当时，根据三角形外角的性质得到，即可求得，代入即可得到答案；当时，根据三角形内角和定理得到，即可求得，代入即可得到答案．【详解】解：设的角平分线交于点，①当时，如图1所示：

，，，，，，；②当时，如图2所示：

，，，，，，；综上所述，的度数为或，故答案为：或．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分两种情况分别求得等腰三角形的顶角是解题的关键．5．（2022·陕西·交大附中分校七年级期末）已知中，，在AB边上有一点D，若CD将分为两个等腰三角形，则________．【答案】100°，70°，40°或者10°【分析】分BD=CD、BC=CD、BD=BC三种情况讨论即可求解．【详解】第一种请况：BD=CD时，如图，∵BD=CD，∠B=20°，∴∠B=∠DCB=20°，∴∠ADC=∠B+∠DCB=40°，（1）当DA=DC时，∠A=∠ACD，∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∠ADC=40°，∴∠A=∠ACD=70°；（2）当DA=AC时，即有∠ADC=∠ACD=40°，∴∠A=180°-∠A