2023年高考数学大招15对数平均不等式

大招15对数平均不等式

大招总结

基本不等式链：已知a>0,b>0,号《相《学《后手（当且仅当a=b取等号）,

ab、

即：调和平均数（几何平均数（算术平均数（平方平均数，简记为:调几算方.

对数平均不等式：对于正数a.b,且定义产三为a,b的对数平均值，且若

Ina-lnb

a>b>O,b<£<在石<产（他孚<a,即：调和平均数（何平均数<

-+-\na-lnb2\2

对数平均数〈算术平均数〈平方平均数，简记为:调儿对算方.

证明:

证法1(比值代换)令t=W>l,则病<产

blna-lnb2Int2

<=>Vt<7^<—<=><Int<Vt-构造函数可证.

Int2t+1Vt

证法2(主元法)不妨设Q>瓦<高号"QEQ-InbV瑞一号QIna-Inb-"+

记f（a）=lna—Inb-第+强ae（b,+8）,则尸矗一蒜=一笔鬻<

0,得/（a）在（力,+8）上单调递减，有/（a）</（b）=0,左边得证，右边同理可证.

证法3（构造函数法）先证：疝<品

要证y[ab<a~^,只需证Ina-InZ?=<=>ln^=H-令H=%>1,只需

Ina-lnb7abbyjbya-ylb

证21nxVx--,%>1,设/(x)=21nx—x4--,x>1,贝Uf(%)=--1--7=

x/、/%7vyxx2

一色等V°，可得f(%)在(L+8)上单调递减，・・・/•(%)Vf(l)=°=21n%V%

再证.a-ba+b

Hn<-----

,Ina-Ind2

要证产3；(竽，只需证?<与3=14<字令w=x>i，只需证w<

Ina-lnb2a+b2-+12bx+1

b

Inxy2Inx、“'几/、42Inx、.mii，/、21

1x>1-,X>

—-^77<~*°设g(%)=i一有-T则g(")一(4+l)22x-

一第去＜°，故g（x）在（L+8）上单调递减，♦••9«＜9（1）=°，:1一去＜容・

:*常见等价变形：Ina-Inb》(a>b>0);Ina-Inb《J7一J，(a》b>0)

用对数平均数求证极值点偏移问题的步骤：

（1）根据/（XX）=/（X2）建立等量关系;

（2）等量关系中如果含有参数，可考虑消参；如果含有指数式，可考虑两边取对数;

（3）通过恒等变形转化出对数平均数，代人对数平均不等式求解.

典型例题

【题型1］证明极值点偏移问题

例1.)已知函数/'(X)=xe-。如果刀1力％2，且/支1)=/(刀2),证明：%i+x2>2.

解证明：即Xie-Xi=©e-Xz/nXi-与=ln%2-%2，则\nx~-Anx'=1(正数的对

数平均数为1),于是后石<1<空，得/％2<1，且与+&>2.

例2.已知函数/(x)—xlnx的图像与直线y=m交于不同的两点^(x1,y1),B(x2,y2))

求证：xrx2<2.

m

与=-——___HL.

=I：I?=一晟:n£；X1+

y—____inXf—m%2in—inX2inx^inX2

(21眸

X2=」上+曰-二粤丝兽红，由对数平均不等式得■〈叫n”n也)(7n<

InXilnx2lnx1lnx2lnx1lnx221nx1xlnx2

OJnx1<OJnx2<0),—2>In/+Inx2=ln(x1x2)，得<W

例3.设函数f。）=In%-Q%2+Q-a）》的两个零点是％i，%2，求证：/（辽券）vo.

解证明：由题意得｛吃二M洗器工，两式相减得出…亚―

x

%2)(%1—2)+(2-a)(%i—x2)=O/n%i—lnx2=(%i—%2)[。(X1+%2)+a—2],则

______11

打一白2>0,所以+x\+a£<^T=a(Xi+X2)2+(a-2)(/+

a(%i+%2)+a—2

lnx1-lnx2

%2)-2>0=[tz(%2+%2)—2](%i+&+1)>0=+%2>qnf(\2)V0

x

例4.设函数/(x)=e-ax4-a,其图像与x轴交于i4(x1,0),F(x2/0)两点，且与V

%2，

x2

解；证明：f(Vx1%2)<0-证明：/(%)=0即e=a(x—l)(a>e),x=Ina+ln(x—

x_

1),则卜—lna+ln(xi1*①-②得xx-x2=(i-1)(x2-1)=ln(xx-1)-

lx2=Ina+ln(x2-1)②

ln(x2-1),则J竽％=1(正数X1-l,x2-l的对数平均数为1),于是,

J(XL1)3-1)<1<…y7,得管二个jT)<1

①+②得力+必=21na+InCq-1)(%2-1)<21na,所以宿石<也等<lna,由此可

得f<0.

【题型2】b>>a(a>0)的应用

Inb-lna'

例5.设函数/(x)=ln(l+%),g(%)=xf(%),其中/(%)是/(%)的导函数，设几£

N+，比较g(l)+g(2)+-,+g(X)与n-/(n)的大小，并加以证明.

解：因为g(%)=±,所以g(D+g(2)+…+g(n)=3+：+—+三="-(|+1+

A1X4J»I1X\43

…+W),而九一/(n)=n-ln(n+1),因此，比较g(l)+g(2)+…+g(n)与九一/(n)

的大小，即只需比较；+：+,,,-1—~~与ln(n4-1)的大小即可.根据b>a>0时，b>

।人:—,HP-(b—a)<\nb—Ina,令a=几b=九+1,贝！I<ln(n+1)—Inn,所

以|<ln2—Ini=In2,1<ln3—ln2,•••»<ln(n+1)—Inn,将以上各不等式左右两

边相加得：之+：+…+WV也(九+1),故g(1)+g(2)+…+g(n)>n—/(几).

【说明】本题是高考试题的压轴题，难度较大，我们这里应用对数平均数不等式链来证明,

思路简捷，别具新意，易于学生理解、掌握，也可以利用之前讲的数列不等式.

当b>a>0时，；:—>即Inh—Ina<-(Z?-a),令a=n,b=九+1,则

Inb-lnaaa''

ln(n+1)—Inn<^,可得ln(n4-1)<1+--卜:.

例6.已知函数/(%)=%-ln(%+a)(a>0)的最小值为0,证明：-ln(2n+

1)<2(n6N*).

解证明：易求a=l,待证不等式等价于1+1+3+…+嘉vlnQn+l),根据b>

a>0时，b>”一：，即-(h—a)<Inh—Ina,令a=2葭一l,b=2几+1,则

I।nd-Inab

2272?

2(^—=肃<ln(2n+1)—ln(2n-1),|<In3-In1,|<In5-In3,^<In7-In5,…，

2(7J1)_1<ln(2n+1)-ln(2n-1),将以上各不等式左右两边分别相加得：

8

22222v22

□+z+-+••-+-------+<ln(2n+1),〉——--ln(2n+1)<2-

3572n-12n4-1乙2i-l2n4-1

i=l

<2,得证.

【题型3】岸>&(b>a>°)的应用

例7.设数列｛。工的通项其前n项的和为Sn,证明：Sn<ln(n+1).

解证明：根据b>a>0时，>]：一：，即令九+

72Inft-lnaInh-Ina>Va2+b2b=

l,a=nf则ln(n+1)-]n>>■,遮=-7=‘->'.->a，易证SV

、J7n2+(n+l)2V2n2+2n+lV2n2+2n+2nn

ln(n+1).

【题型4]詈>缶(6>0>0)的应用

例8.设数列｛册｝的通项Qn=1+[+：+…+；，证明：an<ln(2n+1).

解证明：根据时，手>肃工，即lnb—lna>3黑，令b=2n+1,a=2n-1,则

ln(2n4-1)—ln(2n-1)>^,易证an<ln(2n+1).

【题型5】A(6>a>0)的应用

a上

Ino-ln2a+b

例9.已知函数/(%)=ax+§+C(Q>0)的图象在点(L/(l))处的切线方程为y=x-

1.

证明：1+[+g+…+；>ln(n+1)+^£^,(几》1)

解证明：当b>a>0时，:一：>匕,即Inb—InaV工+J)(b—Q),

Inb-lna>彳2\ab八'

令a=n,b=n-{-l贝ijln(n+1)—Inn<|Q+^0,

所以In2—In1V；(；+,In3—In2<1(；+

ln(n+l)-lnn<|g+^),将以上各不等式左右两边分别相加得：

ln(n+1)<乙+0+工+乙+-+3)+—,

’72\234nJ2(n+l)

即ln(n+1)<1+三+[+*+…+工+---~~~-

、)234n2(n+l)2

故1+工+*+••・+%>ln(n+1)+—.

23n'/2(n+l)

[题型6]【售一>®b>a>0)的应用

Inb-\na

例10.已知/(x)=aln(x+1)++3%—1.

求证：:+J+J1+…1>：皿2n+1)对一切正整数九均成立.

4x12-14x22-14x32-14xn2-l4''

解证明:根据匕〉。〉0时,----->\[ab\nb-\na<^-j=^.

\nb-\nayjab

21

令b=2〃+l,a=2〃-1,则ln(2〃+l)-ln(2〃-l)</，变形可得:—

"〃2_14

1

M_1_1

[ln(2«+1)-ln(2〃-1)]</?=—：—,-(ln3-lnl)<2xl2-l,

V4zz2-14疗-1

I(ln5-ln3)<-^—,,」ln(2"+l)—ln(2〃-1)]<将以上各不等式左右两

44x22-144W-1

234n1

边相力口得:----：---1----5---1----;-+-■+---5——>-ln(2n+l)对一切正整数〃

4x?-14x2--14x3-14xn-14

均成立.

自我检测

1.已知函数/(%)=ev-公有两个零点内</，则下列说法错误的是

A.a>eB.Xj+x2>2C.x}x2>1D.有极小值点餐,且玉<2%

解析：函数/(%)导函数：/(%)=。*一。，有极值点x=ln。，而极值

v,A2

/(lna)=a-Qln。vO,「.正确；f(x)有两个零点：e-ax]=0,e-ax2=0,

即:x,=Intz+In%1(1),x2=\na+\nx2(2)

(1)-(2)得：xi-x2=lnxi-\nx2,根据对数平均值不等式：

'>―-~——=1>Jx1X2・・・玉+工2>2,而1>，中2，・・二%2<1，B正确，C

2InX)-Inx2-

错误，而⑴+(2)得玉+入2=21n〃+ln玉&<21na,即D成立.

2.设函数/(x)=Inx-a?+Q-a八的两个零点是玉,马,求证:/[文|三)<。

证明：

,ln\以；+(2。)玉°二此百_inx2_a(X1+々)(王一工2)+(2—。)(不一工2)=°

In%-+(2-a)/=0

xax

=>lnxj-lnx2=Q(X]+%2)(玉-x2)-(2-tz)(x,_/)=(芭~2)\_(\+々)一(2—

X.-X,1c1x,+x,

————=-=—7-----7------>0=>-------r-----<———-

InA：1-lnx2&(%+%2)+&-2a^xt+x2)+a-l2

2r~/-i，

=>〃(玉+/)+(々-2)(工1+x2)-2>0=>=>[。(为+%2)-2|(%1+x2+1)>0=>%)+x2>—=>/

胃》。

3.已知函数/(x)=lnx和g(x)=ax，若存在两个实数xt,x2且玉7々,满足

/(%)=8(%)，/(々)=8(*2)，求证：％+x2>-

证明：由In%一叫=ln%2—。尤2得一'———=—|0<4Z<-|,贝IJ—<X'+'Y?,得

In%1-Inx2QIeJa2

Xj+x>—>—;x^x>e2<=>InXj+Inx>2<=>a[x+x)>2<=>Xj+x>—.

2ae22[2a2

4.已知函数/(x)=ln(l+x)-："V

1+x

⑴若x..0时,/(x),,0,求/l的最小值；

(2)设数列｛4｝的通项%=1+；+:++L证明：a2“—a“+；>ln2.

解析：⑴易得/(0)=0,/'(x)=",令/'(x)=0,则x=O,x=E/,

(1+x)-2

若2<0,则当x>Q时，/(x)>O,/(x)是增函数，/(x)>/(0)=0不符合题意；若

11_