2023年中考数学高频考点训练-锐角三角函数(有答案)

(1)求证：CD是0。的切线；

2023年中考数学高频考点训练——锐角三角函数

(2)若CD=4,CE=6,求°。的半径及tanNOCB的值：

一、综合题

1.如图，AB是OO的直径，点C、G为圆上的两点，当点C是弧BG的中点时，CD垂直直线4.如图，四边形ABCD内接于。O,AB是。。的直径，点D是4c的中点，连接OD,交AC于点E,作

AG,垂足为D,直线DC与AB的延长线相交于点P,弦CE平分ZACB,交AB于点F,连接BFCD,交DO的延长线于点F.

BE.

(1)求证：OC与。O相切：(1)求证：四边形BCDF是平行四边形.

(2)求证：PC=PF；(2)若AC=8,连接BD,ianNDBF=2,求直径AB的长及四边形ABCD的周长.

4

(3)若tan£=1,BE=y[5,求线段PF的长.

5.如图，已知AB是0O的直径，弦CDA.AB于点E,AC=4历，BC=2.

2.如图，AB是OO的直径，AC交。O于点D,点E时弧AD的中点，BE交AC于点F,BC=FC.

(1)求sinZABC；

(2)求CD的长.

6.如图，点。在AABC的BC边上，0。经过点A、C,且与8c相交于点D.点E是下

(2)若BF=3EF,求tanNACE的值.半圆弧的中点，连接AE交BC于点尸，已知AB=BF.

3.如图，^ABC内接于OO,D是。。的直径AB的延长线上一点，/DCB=，OAC.过圆心。

作BC的平行线交DC的延长线于点E.

A(OD

(1)求证：AB是0。的切线；

C(2)若OC=3.0尸=1,求cosB的值.

7.如图，在RiAABC中，ZC=90°,AC=6,3C=8,AO平分5c的外角NBAM,于点

E

D,过D点作DE平行3c交AM于点E.点P在线段AB上，点Q在直线AC上，且CQ=28P=2r,连接9.如图，点F是正方形ABCD边AB上一点，过F作FG〃BC,交CD于G,连接FC,H是FC的中点，过

H作EH_LFC交BD于点E.

PQ，作P点关于直线DE的对称点户，连接尸P'，P'Q.

(1)连接EF,EA,求证：EF=AE.

(2)若竺7%,

BA

①若CD=2,2=；，求HE的长：

(I)当P在AB中点时，t=；连接DP,则此时。。与EC位置关系为

(2)①求线段AO的长：②连接CE,求tan/DCE的值.(用含k的代数式表示)

②将线段绕着平面上某个点旋转180。后，使的两个对应点/V、。'落在RLA8C的边上，求点A10.如图，在RXABC中，ZACB=90°,BC=6,AC=8,0是边A3的中点，动点P在线段84上且不

到对应点A'的距离；

与点A,B,。重合，以尸。为边构造RJPDQ,使NPDQ=ZA,ZDP0=9O°,且点。与点C在直

(3)如图，当一PP'Q的一边与的人。或8。边平行时，求所有满足条件的t的值.

线同侧，设BP=x,JPDQ与ABC重叠部分图形的面积为S.

8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax?+bx・3过点A(・3,0),B(l,0),与y轴交于点C,顶点为点

D,连接AC,BC.

(1)当点。在边5C上时，求B尸的长；

(2)当X47时，求S关于;i的函数关系式.

11.如图，在△ABC中，ZABC=90°,过点B作BD_LAC于点D.

(1)求抛物线的解析式；

(2)在直线CD上是否存在点P,使NPBC=NBCO?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理

(3)若点M为抛物线对称轴1上一点，点N为抛物线上一点，当直线AC垂直平分线段MN时，请直接

写出点M和点N的坐标.BC

(I)尺规作图，作边BC的垂直平分线，交边AC于点E.(3)联结FG,当AHFG与△ADN相似时，求AD的长.

(2)若AD：BD=3：4,求sinC的值.

(3)已知BC=10,BD=6.若点P为平面内任意•动点，且保持NBPC=90。，求线段AP的最大值.

12.【学习概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线.

(1)【理解运用】

如图1,对余四边形中，AB=5,BC=6,CD=4,连接AC,若AC二AB,则cos/ABC=,

sinZCAD=.

(1)【问题提出】如图1,在四边形ABCD中，ZA=60°,ZABC=ZAZX?=90°.点E为AB延长线上

一点，连接EC并延长，交AD的延长线于点F,则N8CE+NDC/的度数为°；

(2)【问题探究】如图2,在RsABC中，NA5C=90。，点D、E在直线BC上，连接AD、AE,若

ZDAE=60°,AB=6,求△ADE面积的最小值；

图1

(3)【问题解决】近日，教育部印发了《义务教育课程方案和课程标准(2022年版)》，此次修订中增加的跨

(2)如图2,凸四边形中，AD=BD,AD1BD,当2CD?+CB?二CA?时，判断四边形ABCD是否为对余

学科主题学习活动，突破学科边界，鼓励教师开展跨学科教研，设计出主题鲜明、问题真实的跨学科学习活

四边形，证明你的结论.

动.为此，某校欲将校园内一片三角形空地ABC(如图3所示)进行扩建后作为跨学科主题学习活动中心，在

AB的延长线上取一点D,连接DC并延长到点E,连接AE,已知AE।BC,4?=BC=40米，

ZABC=90°,为节约修建成本，需使修建后AADE的面积尽可能小，问AADE的面积是否存在最小值？若

存在，求出其最小面积；若不存在，请说明理由.

图215.抛物线y=-x?+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,且B(-l,0),C(0,3).

(3)【拓展提升】

在平面直角坐标中，A(-1,0),B(3,0),C(1,2),四边形ABCD是对余四边形，点E在对余线BD

AC

上，且位于AABC内部，/AEC=90o+/ABC/&—=u，点D的纵坐标为t,请在下方横线上直接写出u

BE

与t的函数表达，并注明t的取值范围.

13.如图，在梯形ABCD中，AD/7BC,BC=18,DB=DC=15,点E、F分别在线段BD、CD上，DE=DF

=5.AE的延长线交边BC于点G,AF交BD于点N、其延长线交BC的延长线于点H.

(2)如图1,点P是抛物线上位于直线AC上方的•点，BP与AC相交于点E,求点P的坐标;

(2)设AD=x,AADN的面积为y,求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域;(3)如图2,点D是抛物线的顶点，将抛物线沿CD方向平移，且DD，=2CD,点M是平移后所得抛物线

上位于D,左侧的一点，连结CN.当叵DN+CN的值最小时(3)P为第一象限内抛物线上一点，连接BP交AC于点Q,请判断：C是否有最大值，如有请求出

5

这个最大值，如没有请说明理由.

18.如图1,已知Rt^ABC中，/ACB=90，AC=2,BC=2y/3,它在平面直角坐标系中位置如

16.在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=3,8c=4.将Rt^ABC绕点B顺时针旋转

图所示，点AC在*轴的负半轴上(点C在点A的右侧)，顶点B在第二象限，将沿

a(00<a<60°)得到RtaDEB,直线DE,AC交于点P.

(1)如图1,当BD1.BC

①求BDP的面积；

②求tanZCBP的值:

(2)若点B和点D在同一个反比例函数的图象上，求点C坐标；

(2)如图2,连接AD,若F为AD中点，求证；C,E,F三点共线.

(3)如图2,将四边形BCAD向左平移，平移后的四边形记作四边形4GAA，过点R的反比例

17.如图，抛物线与x轴交于A(5,0),B(-I,0),与y轴的正半轴交于点C,连接BC,AC,已知

函数),=或优工0)的图象与CB的延长线交于点E,则在平移过程中，是否存在这样的k,使得以点

夜x

sinABAC

VE中,D为顶点的三角形是直角三角形且点D「B「E在同一条直线上？若存在，求出k的值：若不存

在，请说明理由

(1)求抛物线的解析式:

(2)直线y=kxk>0)交线段AC于点M,当以A、0、M为顶点的三角形与△ABC相似时，求

k的值，并求出此时点M的坐标:

答案解析部分D

1.【答案】(1)证明：CD.LAD，

/.ZD=90°,

JZDAC+ZDCA=90°,

点c是弧BG的中点，

CE平分ZACB,

：•CG=BC

AE=BE，

ZDAC=ZBAC，

AE=BE，

OA=OC，

AB是O。的直径，

/.ZOCA=ZBAC,

.•.ZAEB=90。，

:.ZOCA=^DAC,

.•.AAEB为等腰直角三角形,

..ADIIOC,

VAB=y/2BE=V10,

:.ZD=ZOCP=90°,

叵

oc是圆o的半径，AOB=OC=

2

DC与oo相切，

(2)证明：A3是OO的直径，VtanE=—

3

AZACB=90°,AtanZC4B=—=-,

AC3

:.^PCB+^ACD=90°,

VZPCB=ZBAC,ZP=ZP,

由(1)得：N〃C+ZDC4=90。，

・•・△PCBs/XPAC,

/.ZPCB=ZDAC,,BCPB\

,.------------=—,

ZDAC=^BAC,ACPC3

设PB=x，PC=3x，

:.NPCB=NBAC，

CE平分ZACB,在RtAOCP中，OC2+PC2=OP2

:&CF=/BCF,

*/ZPFC=ZBAC+ZACF,NPCF=/PCB+/BCF,

:"PFC=4PCF,

Ax=—或x=0(舍去),

:.PC=PF：8

(3)解：连接AE,3V10

8

3x/10

・・・PF=

8

2.【答案】（1）证明：连接AE,如图,AOHIAD.AH=HD=-AD.

2

VAB是。O的直径，

ABDIAD.

ABD/ZOE.

.EHEF

VBF=3EF,

.EHI

**fiD-3'

/.ZAEB=90°.设EH=2a,则BD=6a.

，NEAF+NAFE=ZEAB+ZABE=90°.VOE/7BD,OA=OB,

•・•点E是弧AD的中点，.\OF=-BD=3a.

2

•*-AE=DE•.,.OA=OE=OH+HE=5a.

AZEAD=ZABE.AB=2OA=10a.

，NAFE+NABE=90。.，AD=dAB2-BD2=8a•

VZAFE=ZBFC,

/.HD=—AD=4a.

.\ZABE+ZCFB=90°.2

VZABC=90°,BD±AC,

VBC=FC,

・•・△ABD^ABCD.

AZCFB=ZCBE

.ADBD

:.ZCBF+ZABE=900.,9~BD~~CD1

AZABC=90°,,fBD19

.・CD=------=-a.

VAB是。O的直径，AD2

17

・・・BC是OO的切线.，CH=HD+CD=­a.

2

EH2a4

在RsEHC中，tan/ACE=~CHU~

aV7.

2

3.【答案】（1）证明：如图，OA=OC.

•・•点E是弧AD的中点,

:.ZC=90°,

丁点D是AC的中点，

，DO垂直平分AC,且AD二DC,

ACAIDF,AE=EC,

:.ZAEO=90°,

BCDF,

ZDCB=^OAC，

VBF\CD,

ZOCA=ZDCB,

・・・四边形BCDE是平行四边形；

AB是OO的直径，

/.ZACB=90°,(2)IBC\DF,

.•.NOC4+NOC3=90。，.*.ZDBF=ZCDB,

:.ZDCB+ZOCB=90°,即NOCD=90。,又•・•根据圆周角定理有NCDB=NBAC,

:.OC1DC，AZDBF=ZBAC,

又,oc是。。的半径，即tanZBAC=—,

4

:.CD是0。的切线.

VAC=8,

(2)解：BC\OE,.'.CB=6,

BDCDBD42

一.----=-----即n----=—=—,则在RSACB中，利用勾股定理可得AB=10,即AO=5=OD,

OBCEtOB63

VAE=EC=-AC,

设BD-2x，贝ijOB=OC=3x,OD=OB+BD=5x,2

AAE=EC=4,

OC1DC,

在RSAEO中，利用勾股定理得OE=3,

222

OC+CD=ODADE=OD-OE=5-3=2,

・•.(3x)2+42=(5x)2，解得，x=i,在RlAAED中，利用勾股定理，得AD=2百，则有CD=26,

■.OC=3x=3.即OO的半径为3,，四边形ABCD的周长:AB+BC+CD+ADW0+6+2石+26=16+4乔.

BC\OE,

5.【答案】(1)解：・・・A8是OO的直径，AC=4y[2，BC=2,

:"OCB=/EOC，

AZACfi=90°,AB2=AC2-^BC2=36，

PC6

在RjOCE中，tanZEOC=—=-=2，

OC3

.'.tanZ.OCB=tanZ£OC=2：•AB=6,sinZ.ABC=

3

4.【答案】(1〉证明：TAB是。O的直径，

(2)解：-CDA.AB,

:・CE=DE,(2)解：①P在A8中点时，连接OP并延长交8c于点F,

由三角形的面积公式得：-xACxBC=-xABxCE,

22

・e4近

3

•rnazr8五

・・CD=2CE=------

3

6.【答案】（1）证明：连接OAs0E,

由（1）：DP\CE,

BFBP,

..==1,

FCAP

・•・BF=FC=-BC=4,

2

：.PF=-AC=3,DF=DP+PF=-AB+-AC=S,

•:点E是下半圆弧的中点，0E过0,222

AOE1DC,VNDEA=Z.BCE=NPDE=90°,

/.ZFOE=90°,・•・四边形OEC尸是矩形，

/.ZE+ZO/?E=90°,:・CE=DF=8,DE=CF=4,

OA=OE,AB=BF,AE=CE-AC=2,

：.ZBAF=ZBFA,ZE=ZOAE,六AD=>]AE2+DE2=V22+42=2后：

VZAFB=ZOFE,

②将线段4。绕着平面上某个点旋转180。后，使AO的两个对应点A，、。落在Rt_/WC的边上,

/.Z01E+ZR4F=900,

・•・AA与。。垂直平分，两条线段的交点O即为旋转中心，如图所示：

即OA±AB,

,：0A为半径，

・•・AB是OO的切线

（2）解：设AB=x,则BF=x,OB=x+\,

-：OA=OC=3,

由勾股定理得：OB2=AB2+OA2，

A（14-X）2=32+X2,

解得：x=4,•・ZDB=90。，AD=2底AB=10,

nA842222

cosB==—:.BD=\IAB-AD=^10-（2>/5）=4石，

OB5

7.【答案】（1）5；平行

・P>T=2TQ,

Sa^noBlDJ=2-ADBD=2-ABDOt

，2卡x4下=TODO,即：8——/=2^16——,

：.OD=4,

解得：/卷；

•二AO=>IAD2-OD2=2»

・•・AAf=2OA=4；当PQ8。时，延长3。交CQ于点K,

(3)解：当PQlAD时：

如图：延长PP交BC于点G,过点产，〃分别作尸”_LAC,PTLCQ,垂足为：H,T,则：四边形

CGP7为矩形,

♦:PQBD,

AZAPQ=ZABD,/AQP=AAKB,

...AC3.ncBC4

VsmZABC==—»cosZA,BC==—,

AB5AB5ZADB=ZADK=90°,ZDAB=ZKAD(角平分线),

3