北师数学八上第一章回顾与思考

第一章勾股定理回顾与思考

勾股定理，我们把它称为世界第一定理．第一，勾股定理是数形结合的最典型的代表.第二，正是由于勾股定理的发现，导致无理数的发现，引发了数学的第一次危机，这一点，我们将在《实数》一章里讲到.第三，勾股定理中的公式是第一个不定方程，有许许多多的数满足这个方程，也是有完整解答的最早的不定方程，最为著名的就是费马大定理，直到1995年，数学家怀尔斯才将它证明．情境引入1.勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a，b，

斜边长为c，那么__________.2.勾股定理各种表达式：在Rt△ABC中，∠C=90°，

∠A，∠B，∠C的对边也分别为a，b，c，则c=_________，b=_________，a=_________.知识梳理3.勾股定理的逆定理：在△ABC中，若a，b，c三边满足___________，

则△ABC为___________.4.勾股数：满足________的三个________，称为勾股数.5.几何体上的最短路程是将立体图形的________展开，转化为________

上的路程问题，再利用___________两点之间，___________，解决最

短线路问题.知识梳理1.直角三角形的边、角之间分别存在着什么关系？2.举例说明，如何判断一个三角形是直角三角形．议一议3.通过回顾与思考中的问题的交流，由同学们自

己建立本章的知识结构图．

探究一：利用勾股定理求边长

已知直角三角形的两边长分别为3，4，求第三边长的平方.解：（1）当两直角边分别为3和4时，第三边长

的平方为25.（2）当斜边为4，一直角边为3时，第三边长的平方为7．新知探究探究二：利用勾股定理求图形面积1.求出下列各图中阴影部分的面积.21（3）18150.360.64（1）（2）2251442.已知Rt△ABC中，∠C=90°，若

a+b=14cm，c=10cm，

求Rt△ABC的面积．探究二：利用勾股定理求图形面积探究三：利用勾股定理逆定理判定△ABC的形状或求角度在△ABC中，∠A，∠B，∠C

的对边分别为

a，b，c，且

，则（

）A.∠A

为直角B.∠C为直角

C.∠B为直角D.不是直角三角形A2.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，有下列各组条件，判

定△ABC的形状．（1）

（2）

解：（1）因为412=402+92，所以a2=b2+c2，所以是△ABC是直角三角形.（2）因为a2=(m2-n2)2=m4-2m2n2+n4，b2=(m2+n2)2=m4+2m2n2+n4，c2=4m2n2，

所以b2-a2=c2，即b2=a2+c2，所以△ABC是直角三角形.探究四：勾股定理及逆定理的综合应用

B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8nmile的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15nmile的速度前进，2h后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34nmile，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？解：甲船航行的距离为BM=16（nmile），乙船航行的距离为BP=30（nmile）．∵

,∴,∴△MBP为直角三角形，∴

∴乙船是沿着南偏东30°方向航行的．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由“弦图”变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积