19.5 角的平分线（原卷版）

19.5角的平分线会作一个角的平分线,能区别角的平分线与三角形的角平分线的异同点.掌握角的平分线的性质和判定,会应用角的平分线的性质和判定解决相关问题.通过作三角形的角平分线，了解三条角平分线交于一点的事实.知识点一作已知角的平分线用尺规作已知角的平分线已知:∠AOB.求:∠AOB的平分线.作法:如图所示(1)以点0为圆心,适当长为半径画弧,交OA于点M,交OB于点N(2)分别以点M,N为圆心,大于的长为半径画弧,两弧∠AOB的内部相交于点C(3)画射线OC,射线OC即为所求.作图依据构造，根据全等三角形的对应角相等,找到角的平分线.注意：(1)画“射线OC”不能叙述为“连接OC”因为角的平分线是一条射线，而不是线段(2)两弧的交点应在角的内部找,因为要作的是角的平分线即学即练阅读并填空．已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分线．作法：如图所示，

①以点_________为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；②分别以点_________，_________为圆心，大于_________的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；③画射线_________．射线OC即为所求．上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是_________．知识点二角的平分线的性质角的平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等书写格式提示:(1)该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据,不需要再通过证全等三角形得到相等线段;(2)已知角的平分线及其上一点到角一边的垂线段,常添加辅助线由角平分线上的已知点向另一边作垂线段，即构造“角的平分线性质”的基本图形,得到相等的两条垂线段.即学即练1如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD=BD，BF=AC，有下列结论：①△ADC≌△BDF；②BE⊥AC；③连接DE，则∠AED=135°．其中正确的结论有

即学即练2如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO:S

A．1:1:1 B．1:2:3 C．2:3:4 D．3:4:5知识点三角平分线性质定理的逆定理1.逆定理在一个角的内部(包括顶点)且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上2.书写格式如图所示,即学即练1如图，点B、C分别在∠A的两边上，点D是∠A内一点，DE⊥AB,DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BE=CF,BD=CD．求证：点D在∠BAC的平分线上．知识点四三角形角平分线的性质三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等即学即练（2018秋·上海浦东新·八年级校联考期末）已知：如图，BP、CP分别是△ABC的外角平分线，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N．求证：PA平分∠MAN．题型一利用角平分线的性质解决线段问题例1如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，若AB=12cm，则△DBE的周长等于

举一反三1在△ABC中，点D在边AB的延长线上，∠BAC的平分线与∠CBD的平分线交于点E，AE与BC交于点H．

(1)如图1，当∠C=80°时，求∠E的度数．(2)如图2，连接CE，延长AC至点G，过点E作EF⊥AD，垂足为F，过点E作EM⊥AG，垂足为M，求证：BC=CM+BF；举一反三2（2023春·上海浦东新区校考期末）如图1，AD是∠BAC的角平分线，P为AD上任意一点，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N．

(1)垂线段PM、PN是否相等？请说明理由；(2)如图2，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若AB=5，AC=3，求BDDC(3)如图3，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，AD交BC的延长于点D，当AB=5，AC=3时，求BC与CD的数量关系．题型二利用角平分线的性质证明角之间的关系例2（2023秋·北京海淀·八年级北京市师达中学校考开学考试）点O在△ABC内，且到三边的距离相等，若∠A=56°，则∠BOC=．举一反三1如图，已知DB⊥AE于点B,DC⊥AF于点C，且DB=DC,∠BAC=40°,∠ADG=130°，则∠DGF=．

举一反三2在“图形与几何”的学习中，我们遇到这样一个题目：“如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD，求证：∠B+∠ADC=180°．”结合学过的知识，可以分析如下：首先根据角平分线的性质构造相等线段，将其转化为证明三角形全等，然后结合补角的知识使问题得到解决．请根据上述的思路，完成题目的证明

题型三角平分线性质的实际应用例3如图，三条公路两两交叉，现计划修建一个油库，若要求油库到三条公路的距离都相等，则满足条件的油库的位置有（

）

A．1处 B．2处 C．3处 D．4处举一反三1（2023春·四川成都·八年级校考期中）一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（）A．三角形三条边的垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点C．三角形三条高所在直线的交点 D．三角形三条中线的交点举一反三2如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，现决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（

）

A．三角形三个内角的角平分线的交点 B．三角形三条边的垂直平分线的交点C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点题型四角平分线的判定的应用例4已知在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∠A=α．(1)如图①，若∠A=50°，求∠BOC的度数．

图①(2)如图②，连接OA，求证：OA平分∠BAC.

图②(3)如图③，若射线BO与∠ACB的外角平分线交于点P，求证：OC⊥PC．

图③举一反三1如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB=100°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且

(1)求∠ACE的度数；(2)求证：AE平分∠CAF；(3)若AC+CD=14，AB=10，且S△ACD举一反三2如图，已知∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP相交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为M、N．现有四个结论：①CP平分∠ACF；②∠BPC=1③∠APC=90°-1④S△APM其中结论正确的是（填写结论的编号）（

）A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④题型五角平分线的性质在开放探究题型中的应用例5已知△ABC中，BE平分∠ABC，BE交AC于点E，CD平分∠ACB，交AB于点D，BE与CD交于点O．(1)如图1，求证：∠BOC=90°+1

(2)如图2，连接OA，求证：OA平分∠BAC．

(3)如图3，若∠BAC=60°，BD=4，CE=2，求ODOC

举一反三1如图（1），点C、点D在直线l1上，点A、点B在直线l2上，且l1∥l2，连接AC、

(1)请在图（1）中，找出三对面积相等的三角形：；(2)利用（1）中的结论解决下面两个问题：①将图（1）中的△ABC、△ABD进行以下操作：第一步，分别复制△ABC、△ABD，粘贴，如图（2）所示的△A1B第二步，先将图（2）中的△A1B1C、△A2B2D的顶点若直线A2B2与A1B1相交于点E，连接②如图（4），折线型小路P﹣M﹣Q，将四边形ABCD苗圃分成甲、乙两块，为了方便管理，要将折线型小路P﹣M﹣Q改为经过点P的直线型小路，使得甲、乙的面积前后不发生改变．请你在图（4）中画出直线型小路PN（不需要尺规作图，但要规范，并简单说明作图的关键步骤）．举一反三2在△ABC和△DEC中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=90°．(1)如图1，当点A，C，D在同一条直线上时，求证：AE=BD，AE⊥BD；(2)如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，（1）中结论是否仍然成立，为什么；(3)如图3，在（2）的条件下，连接CF并延长CF交AD于点G，∠AFG的大小固定吗？若是，求出∠AFG的度数；若不是，请说明理由．一、单选题1．（2022秋·上海·八年级上海市民办上宝中学校考期中）①到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等；③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等；④线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等．其中正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2022秋·上海·八年级上海市民办立达中学校考阶段练习）如图所示，点是内一点，要使点到、的距离相等，且，点是（

）A．的角平分线与边上中线的交点B．的角平分线与边上中线的交点C．的角平分线与边上中线的交点D．的角平分线与边上中线的交点3．（2022秋·上海长宁·八年级上海市西延安中学校考期中）如图，已知，按照以下步骤作图：①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于、两点，连接；②分别以点、为圆心，以大于线段的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接、；③连接交于点．下列结论中错误的是（

）A． B．C． D．．二、填空题4．（2021秋·上海青浦·八年级统考期中）如图所示，在中，，是的角平分线，若，，则点到的距离为．

5．（2022秋·上海·八年级专题练习）如图，已知：中，平分交于D，，则D点到的距离是．6．（2022秋·上海·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，，M为边BC上的点，连接AM，如果将△ABM沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点处，那么点M到AC的距离是．7．（2022秋·上海闵行·八年级上海市实验学校西校校考期中）如图，已知△ABC，的平分线交于点，，且，如果点是边的中点，那么的长为．三、解答题8．（2022秋·上海·八年级专题练习）如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC．求证：AE是∠DAB的平分线．9．（2022秋·上海闵行·八年级统考期中）已知：如图，在中，，的平分线交于点E，交于点F，，垂足为点D．(1)求证：；(2)过点E作交于点G，过点F作，垂足为点H．①请判断与的数量关系，并说明理由；②当时，设，试用含有x的式子表示的长．10．（2022秋·上海·八年级上海市民办立达中学校考阶段练习）已知，是一条角平分线．(1)【探究发现】如图1所示，若是的角平分线，可得到结论：．小红的解法如下：过点作于点，于点，过点作于点，是的角平分线，且，，_________________，（_________________________________________）______________，，(2)【类比探究】如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点．求证：【拓展应用】如图3所示，在中，，、分别是、的角平分线且相交于点，若，直接写出的值是__________．11．（2020秋·上海松江·八年级校考阶段练习）如图，已知∠AOB及点E、F，在∠AOB的内