15.2 分式的运算（解析版）

15.2分式的运算1.理解和掌握分式的乘法法则和除法法则以及分式的乘方运算；2.理解和掌握同分母分母分式和异分母分式的加减法运算；3.理解和掌握整数指数幂的概念和性质，科学记数法表示绝对值小于1的数。一、分式的乘除1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。用式子表示：a【理解和拓展】①分式乘法运算的结果需通过约分化为最简分式或整式。②当分式与整式相乘时，要把整式与分式的分子相乘作为积的分子，分母不变。③分式的分子或分母的系数是负数时，一般把负号提到分式前面。④分式与分式相乘，若分子、分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式，化为最简分式；若分子、分母是多项式，先把分子、分母分解因式看能否约分，然后相乘。2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。用式子表示：a【理解和拓展】①分式的除法运算结果要通过约分化为最简分式或整式的形式。②当除式(或被除式)是整式时，可以看作分母是1的式子，然后按分式除法法则计算。③乘除混合运算，一般按由左到右的顺序进行；也可以将除法转化为乘法后，根据乘法交换律、结合律简化运算。3.分式的乘方(1)法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。(2)用式子表示：a【理解和拓展】①分式乘方时，分子、分母要乘相同次方。②其结果的符号与有理数乘方结果的符号确定方法一样。题型一分式乘法计算的结果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据分式的乘法进行计算即可求解．【详解】解：，故选：C．1．计算的结果是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接根据幂的乘方运算及分式的乘法进行计算即可．【详解】解：原式，故选：B．2．计算的结果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据分式乘法运算法则计算即可获得答案．【详解】解：．故选：C．题型二分式除法化简，正确结果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据分式乘除法的运算法则计算即可．【详解】解：，故选：D．1．化简的结果是（

）A．m B． C． D．【答案】A【分析】根据分式的除法进行计算即可求解．【详解】解：，故选：A．2．化简下列各式，结果不为整式的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据分式的乘法和除法计算法则分别计算出四个选项中的结果，再根据整式的定义判断即可．【详解】解：A、，是整式，不符合题意；B、，是整式，不符合题意；C、，不是整式，符合题意；D、，是整式，不符合题意；故选C．题型三分式的乘除混合运算计算的结果为（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】先将分式的分子分母分别因式分解，将除法转化成乘法运算，然后分子与分母进行约分化简，即可得出答案．【详解】解：原式，故选：D．1．计算的结果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用分式的乘除混合运算计算即可．【详解】解：；故选：D2．计算的结果为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】原式先计算乘方运算，再计算乘除运算即可求出值．【详解】解：原式，故选：B．题型四分式乘方下列各式：①；②；③；④．其中计算结果相等的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．③④【答案】B【分析】先根据分式的运算法则计算各式，然后可得答案．【详解】解：①，②，③，④；所以，计算结果相等的是①③；故选：B．1．下列分式运算，结果正确的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据分式的乘除法和分式的乘方计算法则求解即可．【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意；B、，原式计算错误，不符合题意；C、，原式计算错误，不符合题意；D、，原式计算错误，不符合题意；故选A．2．下列分式运算，结果正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分式的乘除混合运算一般是统一为乘法运算，如果有乘方，还应根据分式乘方法则先乘方，即把分子、分母分别乘方，然后再进行乘除运算．同样要注意的地方有：一是要确定好结果的符号；二是运算顺序不能颠倒．【详解】A．，故A正确；B．，故B错误；C．，故C错误；D．，故D错误．故选：A．二、分式的加减1.同分母分式相加减①法则：分母不变，把分子相加减。②用式子表示：a2.异分母分式相加减①法则：先通分，变为同分母的分式，再加减。②用式子表示：a【理解和拓展】.同分母分式的加减运算的关键是分子的加减运算，分子加减时要将其作为一个整体进行加减，当分子是多项式时，要添加括号。.异分母分式加减运算的关键是先通分，转化为同分母的分式相加减，再根据同分母分式加减法进行运算，通分时要注意最简公分母的确定。分式加减运算的结果要化为最简分式或整式。3.分式的混合运算分式的四则混合运算与有理数的混合运算相同，必须按照运算顺序，先乘方，再乘除，后加减，有括号时先去小括号再去中括号，最后结果要化为最简分式或整式。【理解和拓展】分式四则混合运算要注意：(1)按照运算顺序进行，确定合理的运算顺序是解题的关键。(2)灵活运用交换律、结合律、分配律，可以使运算简捷，而且还可以提高运算速度和准确率。(3)将结果化为最简分式或整式。(4)运算过程中要注意符号的确定。题型五同分母分式的加减法计算的结果为（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】根据同分母分式的减法进行计算即可求解．【详解】解：，故选：C．1．计算的结果为（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】先将分母化为同分母，再进行同分母分式的加减运算即可得到答案．【详解】解：，故选：D．2．化简：（

）A． B．1 C．0 D．【答案】A【分析】根据同分母分式的减法进行计算即可求解．【详解】解：，故选：A．题型六异分母分式加减法已知，则的值为（

）A． B． C．4 D．【答案】C【分析】已知等式左边两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，变形后即可得到结果．【详解】解：∵，∴，∴，∴．故选：C．1．计算的结果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据异分母分式加法计算法则求解即可．【详解】解：，故选D．2．下列分式运算中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据分式的基本性质变形判断．【详解】A．，原运算错误，本选项不合题意；B．，不符合分式基本性质，本选项不合题意；C．，运算正确，本选项符合题意；D．，不能进一步化简，原运算错误，本选项不合题意．故选：C．题型七分式加减混合运算已知分式，，当a大于5时，P与Q的大小关系是（

）A． B． C． D．无法确定【答案】A【分析】计算分式加法可得，当a大于5时，，从而可得P与Q的大小关系．【详解】解：当a大于5时，故选：A1．已知：，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】已知等式两边除以，求出的值，再代入即可得到结果．【详解】解：∵，∴，∴，∴．故选：B．2．下列各式计算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平方，同底数幂的除法，分式的加减计算法则进行计算判断即可得到答案.【详解】解：A、，故此选项错误；B、，故此选项正确；C、，故此选项错误；D、，故此选项错误；故选B.题型八分式加减乘除运算计算：的结果为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据分式加减及乘除的运算法则计算即可．【详解】原式．故选：B．1．试卷上一个正确的式子被莹莹不小心滴上墨汁．被墨汁遮住的部分的代数式是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知分式得出被墨汁遮住部分的代数式是，再根据分式的运算法则进行计算即可．【详解】解：由题意可得：被墨汁遮住部分的代数式是，；故选D．2．代数式化简结果正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先通分化简，再根据分式乘除约分即可得到答案.【详解】解：原式，故选A；三、整数指数幂1.整数指数幂一般地，当是正整数时，a-n=1ana≠0.这就是说，(a⁻ⁿ根据整数指数幂的运算性质，当，为整数时，aᵐ÷aⁿ=aᵐ⁻ⁿ,aᵐ⋅a⁻ⁿ=aᵐ⁺⁽⁻ⁿ⁾=aᵐ⁻ⁿ,因此aᵐ÷aⁿ=aᵐ⋅a⁻ⁿ.特别地，ab=a÷b=a⋅b-1,所以abn=这样，整数指数幂的运算性质可以归纳如下：1aᵐ⋅aⁿ=aᵐ⁺ⁿ(，是整数)2aᵐⁿ=aᵐⁿ(，是整数3abⁿ=aⁿbⁿ(是整数2.科学记数法用科学记数法表示绝对值小于1的数时，可以表示为×10⁻ⁿ的形式，其中1≤||<10，为原数左起第1个不为零的数字前面所有零的总个数(包括小数点前面的那个零)。【理解和拓展】用科学记数法的形式表示数更方便比较数的大小。题型九零指数幂计算有意义，那么的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据零次幂有意义的条件：底数不等于，列不等式求解即可【详解】解：∵有意义，∴，解得．故选D．1．下列运算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据开方运算，负整数指数幂和零指数幂的法则，逐一计算判断即可．【详解】解：A、，计算错误，不符合题意；B、，计算错误，不符合题意；C、，计算正确，符合题意；D、，计算错误，不符合题意；故选C．2．下列式子：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的式子有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】C【分析】根据负整数指数幂的计算法则即可判断①③；根据零指数幂的定义即可判断②；根据科学记数法的表示方法即可判断④．【详解】解：①，计算正确，符合题意；②当时，不成立，不符合题意；③，计算错误，不符合题意；④，计算正确，符合题意；∴正确的式子有2个，故选：C．题型十负整数指数幂的值是（

）A．2023 B． C． D．【答案】A【分析】根据负整数指数幂的意义进行计算即可求解．【详解】解：，故选：A．1．计算（）A． B．2 C． D．4【答案】A【分析】根据负整数指数幂的计算方法计算即可．【详解】解：．故选：A．2．（）A．3 B． C． D．【答案】A【分析】根据，代入即可求出答案．【详解】，故选：A．题型十一科学记数法经测算，一个水分子的直径约为0.4纳米，1纳米米，数据0.4纳米用科学记数法表示为（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】由题意知，0.4纳米米，表示成的形式，其中，的值为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数，进而可得结果．【详解】解：由题意知，0.4纳米米，∴用科学记数法表示为，故选：B．1．根据纸张的质量不同，厚度也不尽相同，张打印纸（）约厚，因此，一张纸的厚度大约是，数据“”用科学记数法可表示为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数．【详解】解：．故选：B．2．据研究，一种病毒直径为30纳米（1纳米米）．下列用科学记数法表示这个病毒直径的大小，正确的是（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．【详解】解：由题意可得：．故选：B．一、单选题1．下列各式计算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据分式乘除运算法则计算即可．【详解】解：A、，故此选项不符合题意；B、，故此选项不符合题意；C、，故此选项符合题意；D、，故此选项不符合题意；故选：C．2．若分式的值为整数，则正整数x的个数为（）A．4 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】先根据分式的混合运算化简，然后再根据其值为整数确定x的值即可解答．【详解】解：＝＝，∵分式的值为整数，∴或或或且，∴正整数或2或5或1或6或9，共6个．故选：B．3．计算：，结果为（）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】根据分式乘除运算法则计算即可．【详解】解：．故选：B．4．化简的结果是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据负整数指数幂的性质计算括号里面的减法，再计算即可．【详解】解；原式，故选：A．5．下列叙述中，正确的有（

）①若等腰三角形的两边分别为和，则周长为或；②满足条件的不存在；③任意一个三角形的三条高所在的直线相交于一点，且这点一定在三角形的内部；④中，若，，则这个为钝角三角形．A．个 B．个 C．个 D．个【答案】B【分析】①根据等腰三角形的边长需要满足三角形的三边关系进行判断；②根据幂的运算法则以及负整数指数幂的定义进行判断；③根据三角形的高线的概念进行判断；④根据三角形内角和定理以及钝角三角形的定义进行判断．【详解】解：①若等腰三角形的两边分别为4和10，等腰三角形的三边长为4，10，10，则周长为24，故①错误；②当时，成立，故而错误；③锐角三角形的三条高所在的直线相交于一点，且这点一定在三角形的内部，而钝角三角形的三条高所在的直线相交于三角形外部一点，故③错误；④根据，，∴，∴，即为钝角三角形，故④正确．故选：B．6．已知与互为相反数，则式子的值为（

）A．1 B．6 C．2 D．【答案】D【分析】先根据相反数的定义和非负数的性质求出a和b，再代入求值即可．【详解】解：与互为相反数，，，又，，，，，，，，，故选D．7．已知，，则，的关系为（）A． B． C． D．不能确定【答案】C【分析】利用分式的加减运算判断即可．【详解】解：由,,比较可知：故选：．8．当分别取值时，求出代数式的值，然后将所求得的这些结果相加，其和等于（）A．1 B．2020 C． D．0【答案】C【分析】先把和代入代数式，并对代数式化简，得到它们的和为1，然后把代入代数式求出代数式的值，再把所得的结果相加求出所有结果的和．【详解】因为将一对倒数代入代数求和得，即当x分别取值，为正整数时，计算所得的代数式的值之和为1；而当时，．所以，当x分别取值、、，…，、1、2，…，2019、2020、2021时，计算所得各代数式的值之和为2020个1的和再加上即是．故选择：C二、填空题9．已知，则的值．【答案】【分析】先将两边平方，再通过完全平方式变形，最后再开方即可求值．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为：10．化简的结果是．【答案】【分析】将原式小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的乘法即可．【详解】解：故答案为：11．已知，则代数式的值为．【答案】【分析】由可得、、，然后对进行变形再将、、代入计算即可．【详解】解：∵，∴，即、、∴．故答案为．12．已知a为整数，且为正整数，求所有符合条件的a的值的和．【答案】16【分析】先根据分式混合运算法则将已知分式化简，再根据题意求得a值，进而求和即可．【详解】解：，∵a为整数，为正整数，∴符合条件的a的值为6，10，则符合条件的a的值的和为，故答案为：16．13．对于代数式m，n，定义运算“※”：，例如：，若，则．【答案】1【分析】由※、可得答案．【详解】解：※，，由题意，得：，解得：∴故答案为：1．14．如图，将形状大小完全相同的“○”按照一定的规律（如下图所示）摆放，其中图①的“○”的个数为，图②中的“○”的个数为，图③中的“○”的个数为，……以此类推，则的值是．（为正整数）【答案】【分析】根据题意找到规律：，则，然后裂项相消求解即可．【详解】解：根据题意可得：，∴；故答案为：．三、解答题15．计算：(1)(2)(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）先把分子分母因式分解和除法运算化为乘法运算，然后约分即可；（2）先把分子分母因式分解和除法运算化为乘法运算，然后约分即可；（3）先除法运算化为乘法运算，然后约分即可．（4）先除法运算化为乘法运算，然后约分即可．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式．16．计算．(1)(2)(3)【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）分母不变，分子相减，再约分；（2）先通分，再根据同分母分式加减法计算；（3）先通分，计算括号内的，再约分计算．【详解】（1）解：；（2）；（3）17．先化简：，再从的范围内选择一个合适的整数作为a的值代入求值．【答案】，2【分析】先化简，后选择适当的数值计算．【详解】，∵，，且a为整数，∴，故原式．18．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”.(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是_______（填序号）；①；②；③；④．(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；(3)应用：先化简，并回答：a取什么整数时，该式的值为整数？【答案】(1)①③④(2)(3)时，该式的值为整数．【分析】（1）根据“和谐分式”的定义，对各式进行变形计算，即可解答；（2）根据完全平方公式，进行变形计算，即可解答；（3）将原式化简为，再变形为，从而可得当或时，分式的值为整数，进而可得，，或1，然后根据分式有意义时，，，，，即可解答．【详解】（1）解：①；②；③；④；上列分式中，属于“和谐分式”的是①③④，故答案为：①③④；（2）解：．（3）解：，当或时，分式的值为整数，，0，或，分式有意义时，，，，，，时，该式的值为整数．19．回答下列问题：(1)已知m、n满足，，求的值．(2)已知，求的值．【答案】(1)8(2)2【分析】（1）现将代数式化简，再将已知整体代入计算即可；（2）想根据分式的运算法则找出、之间的关系式，建立关于、的方程组，求出、，代入计算即可．【详解】（1）解：，将，，代入，得：；（2）解：，即，，解得：，．20．下面是小新同学进行分式化简的过程，请认真阅读．第一步第二步第三步第四步第五步第六步(1)第__________步开始出现错误，正确的化简结果是__________；(2)请从不等式组的整数解中选择一个合适的值作为x的值代入，求出的值．【答案】(1)五，(2)取1，2分别对应的值为，【分析】（1）根据去括号法则可知第五步分子去括号过程中出现了错误；（2）先解不等式组，求出不等式组的整数解，再根据分式有意义的条件选项一个合适的值代入求解．【详解】（1）解：第五步开始出现错误，改正后为：第一步第二步