理学第六节独立性

概率论与数理统计1精选ppt一、事件的相互独立性二、几个重要定理三、例题讲解四、小结第六节独立性2精选ppt一、事件的相互独立性那么有1.引例3精选ppt2.定义设A，B为两事件，如果具有等式

P〔AB〕=P〔A〕P〔B〕

那么称A,B为相互独立的事件,又称A,B相互独立。

事件A与事件B相互独立,是指事件A的发生与事件B发生的概率无关.说明

4精选ppt两事件相互独立两事件互斥例如由此可见两事件相互独立，但两事件不互斥.(1)两事件相互独立与两事件互斥的关系.注意：5精选ppt由此可见两事件互斥但不独立.结论：假设P(A)>0，P(B)>0，那么A，B相互独立，与A，B互不相容不能同时成立。因为假设它们同时成立，那么P(AB)=P()=P(A)P(B)=0，与P(A)>0，P(B)>0矛盾。6精选ppt定理设A，B是两事件，且P(A)>0(P(B)>0)，那么A，B相互独立的充要条件是P(B|A)=P(B)(P(A|B)=P(A))。(2)在实际应用中,对于事件的独立性,我们常常不是根据定义来判断,而是根据一事件的发生是否影响另一事件的发生来判断.7精选ppt举例甲、乙两射手在同样条件下进行射击,他们击中目标的概率分别是0.9和0.8.如果两个射手同时发射,问击中目标的概率是多少？解：设A={甲击中目标},B={乙击中目标},

又C=A∪B,且A,B相互独立,故

P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.9+0.8-0.9×0.8=0.98.8精选ppt3.三事件两两相互独立的概念一般的，当事件A，B，C两两独立时，等式P〔ABC〕=P(A)P(B)P(C)不一定成立，例如：例1:假设我们掷两次骰子,并定义事件A,B,C如下A=“第一次掷得偶数〞，B=“第二次掷得奇数〞，

C=“两次都掷得奇数或偶数〞。证明A,B,C两两独立,但不满足等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)9精选ppt证明:容易算出

P(A)=1/2,P(B)=1/2,P(C)=1/2,

P(AB)=1/4,P(AC)=1/4,P(BC)=1/4,P(ABC)=0.

从而具有等式

P(AB)=P(A)P(B);P(AC)=P(A)P(C);

P(BC)=P(B)P(C)所以A,B,C两两独立.容易看出P(ABC)=0≠P(A)P(B)P(C)10精选ppt注意三个事件相互独立三个事件两两相互独立4.三事件相互独立的概念11精选pptn个事件相互独立n个事件两两相互独立推广注意，在上式中包含的等式总数为12精选ppt证明二、几个重要定理13精选ppt证明14精选ppt又因为A、B相互独立,所以有15精选ppt

〔1〕假设A1,A2,…,An相互独立,那么其中任意m个事件

Ai1,Ai2,…,Aim相互独立〔2≤m≤n〕。〔2〕假设A1，A2，…，An相互独立，那么把其中任意m个事

件换成各自的对立事件后构成的n个事件也相互

独立〔1≤m≤n〕。注：假设事件是独立的，那么许多概率的计算可以大为简化，例如假设A1，…，An相互独立，那么A1，A2，…，An同时发生的概率为P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)。

性质16精选ppt例2:假设A1，A2，…，An相互独立，且P〔Ai〕=Pi，i=1,2,…,n,求A1,…,An这n个事件至少有一个发生的概率。解:所求的概率17精选ppt例1设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是0.2,若10名机枪射击手同时向一架飞机射击,问击落飞机的概率是多少?射击问题解事件B为“击落飞机〞,三、例题讲解18精选ppt19精选ppt例2甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4,0.5,0.7,飞机被一人击中而被击落的概率为0.2,被两人击中而被击落的概率为0.6,假设三人都击中飞机必定被击落,求飞机被击落的概率.解A,B,C

分别表示甲、乙、丙击中飞机,20精选ppt21精选ppt因而,由全概率公式得飞机被击落的概率为22精选ppt例3设某型号的高射炮,每门炮发射一发炮弹击中飞机的概率为0.6.现假设干门炮同时发射一发炮弹,问欲以99%的把握击中来犯的一架敌机,至少需配置几门高射炮？解：设n是以99%的概率击中敌机需配置的高射炮门数,

记Ai

={第i门炮击中敌机}(i=1,2,…,n),A={敌机被击中}.注意到A=A

1∪A

2∪…∪An

,

A1,A2,…,An

相互独立,于是要求n,使得

P(A)=P(A1∪A2∪…∪An

)≥99%.23精选ppt例4设某型号的高射炮,每门炮发射一发炮弹击中飞机的概率为0.6.现假设干门炮同时发射一发炮弹,问欲以99%的把握击中来犯的一架敌机,至少需配置几门高射炮？24精选ppt注意：这是关于系统可靠性的问题,其特点是确定元器件的个数,常用公式：25精选ppt例4：电路系统的可靠性。如图，两个系统各有2n个元件，其中系统Ⅰ先串联后并联，系统Ⅱ先并联后串联。求两个系统的可靠性大小并加以比较。A1B1A2B2BnAn系统Ⅰ

A1B1A2B2AnBn系统Ⅱ

解：Ⅰ.设Ai表示第i个元件正常工作。

P(A)：Ⅰ中第一条支路的可靠性，

P(B)：Ⅰ中第二条支路的可靠性。

所以A∪B表示Ⅰ正常工作〔并联〕26精选ppt同理

P(B)=rn

所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)

=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=rn+rn-r2n=RⅠⅡ

第一对元件可靠性

P(A1∪B1)=P(A1)+P(B1)-P(A1)P(B1)=2r-r2，第二对元件的可靠性

P(A2∪B2)=P(A2)+P(B2)-P(A2)P(B2)=2r-r2,

……

27精选ppt第n对元件的可靠性

P(An∪Bn)=P(An)+P(Bn)-P(An)P(Bn)=2r-r2于是RⅡ=[r(2-r)]n=rn(2-r)nⅢ比较大小.比较2-rn与(2-r)n的大小。

显然:2-rn<(2-r)n.28精选ppt例5要验收一批〔100件〕乐器，验收方案如下：自该乐器中随机地取3件测试〔设3件乐器的测试是相互独立的〕，如果3件中至少有一件在测试中被认为音色不纯，那么这批乐器就被拒绝接收，设一件音色不纯的乐器经测试查出为音色不纯的概率为0.95；而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为0.01，如果这100件乐器中恰有4件是音乐不纯的，试问这批乐器被接收的概率是多少？29精选ppt解:设以Hi〔i=0,1,2,3〕表示事件“随机地取出3件乐器，其中恰有i件音色不纯〞，H0,H1,H2,H3是的一个划分，以A表示事件“这批乐器被接收〞。一件音色纯的乐器，经测试被认为音色纯的概率为0.99，而一件音色不纯的乐器，经测试被误认为音色纯的概率为0.05，并且3件乐器的测试是相互独立的，于是有30精选ppt31精选ppt伯恩斯坦反例例6

一个均匀的正四面体，其第一面染成红色，第二面染成白色，第三面染成黑色，而第四面同时染上红、白、黑三种颜色.现以A，B，C分别记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件，问A，B，C是否相互独立?解由于在四面体中红、白、黑分别出现两面，

因此又由题意知32精选ppt故有因此A，B，C不相互独立.那么三事件A,B,C两两独立.由于33精选ppt例7同时抛掷一对骰子,共抛两次,求两次所得点数分别为7与11的概率.解事件A为两次所得点数分别为7与11.那么有34精选ppt解“甲甲〞,“乙甲甲〞,“甲乙甲〞;35精选ppt“甲乙甲甲〞,“乙甲甲甲〞,“甲甲乙甲〞;36精选ppt37精选ppt四、小结38精选ppt第六节贝努利概型考虑一个简单的试验，它只出现〔或只考虑〕两种结果，如某产品抽样检查得合格或不合格，射击命中或不命中，试验成功或失败，发报机发出信号0或1。掷一次骰子点数“6〞是否出现。一般地，试验E只有两种结果A和A,而P(A)=p〔0<p<1〕,那么称E为贝努利试验或贝努利概型。39精选ppt设E为贝努利试验，将E独立地重复进行n次，〔这里的“重复〞是指试验E在相同条件下进行〕而且每次试验中结果A出现的概率保持不变。我们把这n次独立重复贝努利试验总起来看成一个试验，称这种试验叫n重贝努利试验。总之，n重贝努利试验有下面四个约定：〔1〕每次试验的结果只能是两个可能的结果A和A之一,〔2〕A在每次试验中出现的概率p保持不变,〔3〕各次试验相互独立,〔4〕共进行了n次.40精选ppt定理

对于n重贝努利试验，事件A在n次试验中出现k次的概率为证明：由n重贝努利试验，事件A在某指定的k次试

验中出现，而在其余n-k次试中不出现的概率为

pk(1-p)n-k=pkqn-k

由于恰好是展开式(p+q)n中的第k项，

所以常称为二项概率公式。

而在n次试验中事件A发生k次共有Cnk种不同情况，对应的事件为互不相容的，由概率的可加性41精选ppt例1:对某种药物的疗效进行研究，假定这药对某种疾病的治愈率0.8，现有10个人患此病的病人同时服用此药，求其中至少有6个病人治愈的概率。解:假定“病人服用此药后治愈〞为事件A，按题意

P(A)=0.8，

10人同时服用此药可视为10重贝努利试验，因

而由公式所求的概率为

42精选ppt例2:某厂生产的过程中出现次品的概率为0.003，求在该厂生产