2022年江西省九江市高考数学一模试卷（文科）附答案详解

2022年江西省九江市高考数学一模试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.若复数z满足z(l-i)=l+3i,则£=()

A.-l+2iB.1+2iC.-1-2iD.1-2i

2.已知集合4={可氏-1|<1},8={引工2—3%+2^0},则/11)8=()

A.{x|0<x<2)B.{x|l<%<2}C.{x|0<x<2]D.{x|l<x<2}

3.已知cos(2-a)=1,贝!Is讥2a的值为()

A.YB.gC.1D.2

9933

4.抛物线y=2/的焦点坐标为()

A.(1,0)B.(i,0)C.(0,J)

5.如图，在A力BC中，D,E为线段BC上两点，现从4

B,C,D,E这五个点中任取三个点，则这三个点

能构成一个三角形的概率为()

6.将函数y=cos（4x+》的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移?个单

OO

位长度，得到的图像的一个对称中心为（）

A.篇0）B.%。）C.（g,0）D.（p0）

7.2021年全国普通高考共有1078万人报名，为“史上人数最多的高考”,如图为2008

年-2021年江西省普通高考报名人数统计表.则下列结论中一定错误的是（）

单位:万人

50

45

40

35

30加川川|加

25I

20

卢^赤e护e姬1®

A.自2008年起，江西省普通高考报名人数连续4年下降后连续9年上升

B.2008年至2021年，江西省普通高考报名人数的中位数约为35.8万人

C.2012年至2021年，江西省普通高考报名人数增长大于75%

D.江西省普通高考报名人数较上一年增长幅度最大的是2020年

8.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等与亮度来描述.古希腊天文学家、数学家

喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.两颗星的星等与亮度满足普森

公式：m2-mi=2.51g星等为西的星，其亮度为a（k=1,2）,已知织女星的星

c2

等为0.04,牛郎星的星等为0.77,则织女星与牛郎星的亮度之比（）（参考数据:

IO029x1.9498,10。-3»1.9953)

A.0.5248B.0.5105C.1.9055D.1.9588

u

9.已知数列5｝满足即=1,an+1=kan+k,则“数列5｝为等差数列”是k=1"

的（）

A.充要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

10.某三棱锥的三视图如图所示，其中网格山边长为1的小

正方形组成，则该几何体的表面积为（）

A.8V3

B.6V3

C.4V3

D.2V3

11.已知双曲线E：[—l（a>0,b>0）的右焦点为F,直线y=与双曲线E相交

a"/

于4B两点，|AB|=5,\\AF\-\BF\\=4,则双曲线E的离心率为（）

A-TB.V3C.2D1

12.已知函数/。）=。'一%（。>0且。#1）有两个不同的零点，则实数a的取值范围是

()

A.(l.ee)B.(e"e)C.(l.V?)D.(ee,yfe')

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二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知向量。=(一1,2),b=(x,4).且五〃方，则向三____.

14.若a,b为正实数,直线x+(b-2)y+l=0与直线ax+y-2=0互相垂直，则ab

的最大值为.

15.AABC中，三内角所对的边分别为a,b'c,已知总+康=焉'则tanZtanC

的值为.

16.已知正方体48CD-的棱长为1,E为线段［上的点，过点E作垂直于

Bi。的平面截正方体，则截面图形的周长为.

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)

17.已知数列口工的前限项和为无，且满足2即=Sn-2n+l,数列｛S"的前71项和为7；.

(I)求证：数列｛斯―2｝为等比数列；

(口)求

18.已知四棱锥P-4BCD的底面ABCD为矩形，AB=

V2,AD=2,E为BC中点,AE1PB.

(I)求证：力£1平面。8£(；

(11)若8。L平面PAE,P4=2,求四棱锥P-4BCD

的体积.

19.COMS温度传感器（集成温度传感器）是一种采用大规模数字集成电路技术的温度传

感器，集成了温度传感电路和信号处理电路，可检测芯片温度和环境温度，具有低

成本、低功耗、高精度和线性度强的优点，广泛用于环境、医疗、制造业、化工、

能源、气象、仓储、冷藏、冰柜、恒温恒湿生产车间、办工场所等领域.如表是通

过对某型号COMS高精度温度传感器/C的芯片温度与输出电压进行初步统计得出

的相关数据:

芯片温度t（°C）-20204080100

输出电压测量值U（V）2.492.071.881.451.31

（I）已知输出电压U与芯片温度t之间存在线性相关关系，求出其线性回归方程；（精

确到小数点后两位）

（H）已知输出电压实际观察值为u”估计值（拟合值）为q，以上述数据和（I）中的

线性回归方程为依据，°=4）2.若满足四一Ut\<3a'则可判断该

COMS高精度温度传感器/C工作正常；若不满足，则可判断工作不正常•现某该型

号温度传感器在芯片温度为60冤时，其输出电压为1.6心判断该温度传感器工作是

否正常.

参考数据：£乙。"=313.8,£?=国=18800.

附：对于一组数据（凡名），（t2,[/2），…，（%,%），其回归直线〃=a+bt的斜率和

截距的最小二乘估计分别为b=疆回上亚，

年汨-nt2a-U-OC

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20.已知函数/1(x)=(%2-2%+2)ex-ax+b(a>0,beR),曲线y=/(x)在x=1处

的切线过原点.

(1)求也

(II)若/(x)>0,求a的取值范围.

21.在直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=2Px(p>0)的焦

点为F,过点F的直线交C于A,B两点，|4B|的最小值为4.

(I)求抛物线C的标准方程；

(11)若加=；1瓦？一(1+；1)而，求4PAB面积的最小值.

22.在平面直角坐标系xOy中，曲线的的普通方程为y2=2x,曲线的参数方程为

1+

--V2c。

22一

1@为参数).以坐标原点。为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标

V-2.X

--+Sn

22

(1)求曲线6,的极坐标方程;

(n)已知直线/的极坐标方程为e=a(0<a<》，直线/与曲线G，C2分别交于异于

极点的4B两点,且|0川・|。8|=4,求用.

23.已知函数/(%)=|%+1|—|2%—租|(7n＞。)，9(%)=6％—1].

(1)当根=2时，解关于%的不等式/(%)20；

(D)若函数/(%)与g(x)的图象可以围成一个四边形，求小的取值范围.

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答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：•••z(l-i)=1+33

l+3i(l+3i)(l+i)-2+4i1।》

1-i(l-i)(l+i)2'

:.z=-1—2i.

故选：c.

根据已知条件，结合共扼复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解.

本题考查了共轨复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式,

属于基础题.

2.【答案】C

【解析】解:集合4={刈/一1|<1}={制0<x<2},

B=(x\x2—3x+2<0}={x|1<x<2},

则4UB={x|0<%<2}.

故选：C.

求出集合Z,B,利用并集定义能求出AUB.

本题考查集合的运算，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

3.【答案】A

[解析]解：已知cos《-a)=P

则s讥2a=sin[^—2(^—a)]=cos2(^—a)=2cos2—a)-l=2xi—1=—

故选：A.

由诱导公式，结合余弦的二倍角公式求解即可.

本题考查了诱导公式，重点考查了余弦的二倍角公式，属基础题.

4.【答案】D

【解析】解：整理抛物线方程得

・•焦•点在y轴，p=；

二焦点坐标为(0,》

故选：D.

先把抛物线整理标准方程，进而可判断出焦点所在的坐标轴和p,进而求得焦点坐标.

本题主要考查了抛物线的简单性质.求抛物线的焦点时，注意抛物线焦点所在的位置,

以及抛物线的开口方向.

5.【答案】B

【解析】解：从A,B,C,D,E这五个点中任取三个点，

共有4BC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共10彳、基本事

件，

其中可构成三角形的有：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,共6个基本事件，

•••这三个点能构成一个三角形的概率为P=。=|・

故选:B.

利用古典概型、列举法能求出结果.

本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础

题.

6.【答案】D

【解析】解：依题意，将函数y=cos(4x+g)的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，

O

得到y=cos(2x+?)的图像，

O

再向右平移胃个单位长度，得到y=C0S(2x—59=cos(2x-9的图象，

OOOO

令2x-g=kTc+^,keZ,

oN

可得％=筝+^k£Z,

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所以得到的图像的一个对称中心为(一+T0),kez,

当k=0时，对称中心是C，o),其它选项没有满足条件的整数k.

故选：D.

把原函数的图像变换后得到函数y=cos(2x-名的图像，进而根据余弦函数的对称性即

可求解.

本题主要考查函数y=击讥3x+⑴)的图像变换规律，正弦函数的对称性，考查了函数

思想，属于中档题.

7.【答案】D

【解析】解：对于4,2008年-2012年连续4年下降，2012年-2021年连续9年上升，故

A正确；

对于B,2008年-2021年，江西省普通高考报名人数的中位数为2015年和2016年的平

均数，约为35.8万人，故8正确；

对于C,2021年江西省普通高考报名人数约为49万，2012年约为27万，增长大于80%,

故C正确；

对于D,由图中的数据可知较上一年增长幅度最大的是2014年，故O错误.

故选：D.

根据图中的数据对每一个选项分别判断即可.

本题考查命题真假的判断，考查条形图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础

题.

8.【答案】D

【解析】解：织女星的星等为61=0.04,亮度为牛郎星的星等为62=077,亮度

为E2,则有0.77—0.04=2.5团今，

七2

即£=10°-2926(10°-29,10°-3),

即||=10。292G(1.9498,1.9953),

故选：D.

根据题意直接利用题中的公式计算即可.

本题考查了对数的运算公式，理解普森公式是关键，属于基础题.

9【答案】B

【解析】解：当k=l时，an+1=an+l,则｛a“｝为等差数列，必要必成立;

2

若｛时｝为等差数列,由%=l,a2=2k,a3=2k+k,

有2/+/0+1=4上

解得k=1或*当k=泄，an+1=|«n+1>

此时即=1,充分性不成立.

故选：B.

先根据等差数列定义证明充分性成立，再举反例说明必要性不成立.

本题考查数列的递推式，考查学生的运算能力，属于中档题.

10.【答案】A

【解析】解：由三视图还原原几何体如图,

该几何体为正四面体力-BCD,正四面体的棱长为2夜，

其表面积S=4xgx2V2x2V2Xy=873.

故选:A.

由三视图还原原几何体，可知该几何体为正四面体4-BCD,正四面体的棱长为2VL

再由三角形面积公式求解.

本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题.

11.【答案】D

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【解析】解：如图，设双曲线E的左焦点为F',由对称性|BF|=|4F'|,

/.\\AF\-\AFr\\=\\AF\-\BF\=4,即2a=4,a=2,

设点4(%0弓%0)(%0>0),则有［04|=JXQ+%解得与=V5,

则力(迎马，J：一言=1，解得力=遮，c=3,e=-=f.

\2J4a2

故选：D.

设双曲线E的左焦点为F',由对称性|8F|=|4F'|,|0*=J瑞+；褶=|,可求a,c,

从而求离心率.

本题考查求双曲线的离心率，以及运算能力，属基础题.

12.【答案】4

【解析】解：f(x)有两个不同的零点，即产=x有两个不同的实根,

由a*=不可得x/na=Inx,即"a=处有两个不同的实根,

X

令g(x)=W，则g'(x)=呼竺

所以0<%<e时g'(%)>0,当%>e时g'(%)<0,

・•・g(x)在(0,e)上单调递增，在®+8)上单调递减,

则

g(x)7nax=9(e)=p

又%>1时，g(x)=警>0,且g(l)=0,

可知贝

0<Ina<i,iJi<a<ee-

故选：A.

依题意可得标=%有两个不同的实根，两边同时取对数可得"Q=等，令g(x)=哼

利用导数说明函数的单调性与最值，即可得到0</na<；即可求出参数的取值范围.

本题考查了函数的零点，也考查了利用导数求函数的最值，属于中档题.

13.【答案】2>/5

【解析】解：根据题意，向量五=(—1,2),B=(X,4)，

若Z//B，则2x=(—1)x4=—4,则x=-2,

故|石|=V4+16=2V5;

故答案为：2遍.

根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得x的值，进而计算可得答案.

本题考查向量模的计算的性质，涉及向量平行的坐标表示，属于基础题.

14.【答案】1

【解析】解：依题意得a+6-2=0,即2=a+b>2V^F，abW1，当且仅当a=b=1

时，等号成立，

故ab的最大值为1.

故答案为：1.

根据已知条件，结合两直线垂直的性质，以及基本不等式的公式，即可求解.

本题主要考查两直线垂直的性质，以及基本不等式的公式，属于基础题.

15.【答案】2

【解析】解：由正弦定理可得，翳+黑=器

则+tanC=tanB=-tan(A+C),

・•・tanA+tanC=—tanA+tanC

1-tanAtanC1

V0<i4+C<7T,

••・tanA+tanCH0,

・•・1—tanAtanC=-1,

:.tanAtanC=2.

故答案为：2.

根据已知条件，结合正弦定理，以及正切函数的两角和公式，即可求解.

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本题主要考查正弦定理，以及正切函数的两角和公式，属于基础题.

16.【答案】3V2

【解析】解：由正方体的性质可得，ACA.BD,ACB〔BCBD=B,

AC_L平面BiBD,B]Du平面

.-.AClBiD,同理B1DICD1，又CD、nCA=C,

B]D，平面C£>i4故截面与平面平行或在平面内，

当点E与4或A重合时，截面为正。418cl或正△AC4,周长为3e；

一般地，设。送=t(0<t<1),则E&=1-3

•••EJ=y/2t,EF=V2(l-t),

EF+EJ=V2(l-t)+V2t=V2>

同理可得：FG+GH=+/J=V2,

故截面图形的周长为定值3立.

故答案为：3式.

由题可得以D1平面CDi4故截面与平面CD】Z平行或在平面内，然后分类讨论，作出

截面计算周长即得.

本题考查了根据平面的基本性质判断正方体的截面形状，属于中档题.

17.【答案】解：(I)当n二1时，2%=%一1,a1=一1,

当九22时,2an=Sn-2n4-1,①2an_i=Sn_i—2九+3,(2)

①—②得%=2an-i—2,即即—2=2(an_i-2).

又的一2=-3・・.｛4-2｝是首项为一3公比为2的等比数列.

n

(11)由(I)知即-2=-3•2f0n=2—3・2*

n

v2an=Sn—2n+1,・•・Sn=2n+3—3•2,

1°n2(1-2n)

.・・7；=[5+7+…+(2n+3)]-3-(21+22+…+2n)=彳(2n+8)—3•——

Z1—2

=n2+4n+6—6-2n

1

【解析】(/)利用a“=氏:"n>?)即证数列｛斯一2｝为等比数列.

l»nJn-l，几三乙

(〃)先求得而，然后求得无,Tn,利用分组求和法即得.

本题考查数列求和，考查学生的运算能力，属于中档题.

18.【答案】(I)证明：设4E与BD的交点为M,

••,E为BC中点，BE=1,

又*AB=戊,AD=2,

BEAB

：.一=一,

ABAD

则NBAE=Z.ADB=乙MBE,

在△4EB和ABEM中，

又；Z.AEB=乙BEM,

二4BME=N力BE=90°,即4EJ.BD.

又4E_LPB,BDCPB=B,BD,PBu平面PBD,

•••AEJ"平面PBD.

(H)解：连接PM,

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VBD1平面PAE,PMu平面PAE,二BD1PM,

又•；4EJ"平面PBC,PMu平面PBD,•••AE1PM,

又7>^08。=",二「时_1平面48(?。，

又AMu平面ABC。，••.PM1AM,

在RtAABE中，AE1.BD,AB=V2,BE=1,AE=同

在RtAABD中，BD=瓜,AM==窄=速，

BDv63

•••PM=>JPA2-AM2=—，

3

••・四棱锥P-ABCD的体积1/pYBCD=A矩形ABCD-PM=5X2X或X^=W.

【解析】(I)证4E1BD,结合条件，根据线面垂直的定理进行证明即可；

(II)设4E与BD的交点为M,证明PM1平面4BCD,所以PM即为四棱锥的高，计算其长

度，代入锥体体积公式计算.

本题考查了线面垂直的证明以及四棱锥体积的计算，属于中档题.

19.【答案】解:(I)由表得:t=-2。+2。+；。+8。+1。。=44,1=2.49+2.07+l.；8+1.45+L31=

.SF-1tiUi-StU313.8-5X44X1.84八2…

b=克滴三1=-,7.5x442x-001,a=1.84-(-0.01)X44=2.28，

二输出电压U与芯片温度t之间线性回归方程为U=_001t+228.

(n)由(I)可得：t=-2(rc时，Ui_Ui=o.or

t=2(rc时,y2_y2=一0.01,

t=40久时，g_U3=0,

,

t=80℃Bt，u4_y4=-0.03

t=100℃时，U5_4=0.03,

a=三2；=1(弘一&)2=x(0.0001+0.0001+0+0.0009+0.0009)=0.02'

y5N5

•・・t=60℃时'u=_().oix60+2.28=1.68'

\U-U\=|1.60-1.68|=0.08>3x0.02=0.06'

.••该温度传感器工作不正常.

【解析】(/)根据已知条件，结合最小二乘法公式和线性方程公式，即可求解.

(〃)根据已知条件，结合线性回归方程，以及a=，工2发式二_")2,公

式，即可求解.

本题主要考查了线性回归方程的求解，需要学生熟练掌握最小二乘法公式，属于基础题.

20.【答案】解：(I)因为=(x2-2x+2)ex-ax+b,

则/'⑴=e-Q+b,

又f'(x)=/e"—a,所以f'(l)=e—a,

曲线y=f(%)在％=1处的切线方程为y-(e-a+&)=(e-a)(x-1),

代入原点可得0-(e-a+b)=-(e一a),即b=0；

(II)解法一：①当a=0时，/(x)=(%2-2%+2)ex>0,满足题意；

②当a>0时，若f(x)>0,则*2-2%+2-黑>0,

令r(x)=x2-2x+2-^,则/(%)=2x-2-=(x-1)(2+劫，

当x<l时，r'(x)<0；当x>1时，r'(x)>0,

所以r(x)在(-8,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

所以r(乃机讪=r(l)=1-1>0,

可得0<a<e,故a的取值范围是［0,e).

解法二：①当％SO时，

由a20得/1(x)=(x2-2x+2)ex-ax>0,不合题意；

②当x>0时，由/'(%)>0得a<(x+：—2)e”,

令m(x)=(%+1-2)ex,则nf(无)=

当0<x<1时，mz(x)<0；当久>1时，m'(x)>0,

所以?n(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

所以m(x)2m(1)=e,0Sa<e,故a的取值范围是［0,e).

解法三：①当a=0时，f(x)=(x2—2x+2)ex>0,满足题意；

②当a>0时，若/'(x)>0,贝拉2-2x+2>黑，

令g(X)=/-2X+2,h(X)=则g(X)min=。⑴=1，

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因为h'(x)="祥，当x<1时，h'(x)>0；当x>1时，h'(x)<0.

所以八。)在(-8,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

所以九(X)max=九(1)=；>即有g(*)mE>Kx)max>

所以0<a<e,故a的取值范围是［0,e).

【解析】(I)求得f(x)的导数，可得切线的斜率和方程，代入原点解方程可得b的值；

(H)解法一、分别讨论a=0,a>0,通过构造函数求得导数和单调性、最值，可得所

求范围：

解法二、分别讨论“<0,x>0,结合参数分离和构造函数求得最值，可得所求取值范

围；

解法三、分别讨论a=0,a>0,通过构造两个函数，分别求得最值，可得所求取值范

围.

本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性、最值，以及不等式恒成立问题解法，考

查方程思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题.

21.【答案】解：(I)当48垂直于x轴时，最小,

其最小值为2P=4,；y=2,

••・抛物线C的标准方程为V=4x.

(II)解法一：取两=-丽=一；I市+(1+4)南,

则点M在直线4B上，且点。为线段MP的中点.

则点。到直线48的距离d=号，

vl+fcz

联立方程匕2二，一1)，消去y整理得//一(2/+4)x+k2=0,

AB

则Xi+x2=4F=2+表，\\=X1+超+P=4+卷，

•・•S.B=2SA°4B=2X^1阴,d=(4+表)'得=^^=4^17^>4，

综上可得，△P4B面积的最小值为4.

解法二：当4B垂直于%轴时，A,B的坐标分别为(1,2),(1,-2),

由诃=AOA-(1+A)OB，得点P的坐标为(一1,44+2),

则点P到直线AB的距离为2,

又|AB|=4,所以APAB的面积为：X2X4=4,

当AB不垂直于x轴时，设其斜率为k(/c力0),

则直线4B的方程为y=k(x-1),

设P,A,8的坐标分别为(x(),%)，(%i，yi).(上而，

则%-Kxi-1)，”=卜(%2-1)>

由。P=AOA—(1+2)OB>得％o—4刀1—(1+A)%2,VO=4yl—(1+”)丫2=4卜(修—

1)—(1+A)/C(%2—1)=—(1+A)%2+1]»

即yo=fc(x0+1)，故点P在直线y=fc(x4-1)上，且此直线平行于直线48.

则点P到直线4B的距离d=兽，

vl+fcz

联立方程已2]?!：一1)，消去y整理得//一(21+4)x+炉=0,

则石+x2=4F=2+第\AB\=+*2+P=4+第

；•SAP.B=加切.d=3x(4+给x悬==4小+>>4,

综上可得，△P4B面积的最小值为4.

解法三：取而=一丽=一46？+(1+2)而，

则点M在直线4B上，且点0为线段MP的中点.

S^PAB=S&048>

设直线48的方程为尤=ty+l,则点。到直线48的距离d=高.

联立方程A消去工整理得y2-4ty-4=0,

2

则%+%=4t,\AB\=4-x2+P=£(%+、2)+4=4(1+t),

•••S“AB=25皿8=2x1\AB\-d=4(1+t2)X-^==4V1+t2>4,

综上可得，△P4B面积的最小值为4.

【解析】(I)当力B垂直于％轴时，|48|最小，求出p,即可点的抛物线方程.

(□)解法一：取而=一加=一4+(1+4)话，点M在直线4B上，且点0为线段MP

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的中点,推出SAPAB=2SAOAB•设直线4B的方程为丫=k(x-l)(kK0).求出点。到直线

4B的距离d=段，联立直线与抛物线方程，通过弦长公式，求解三角形的面积.

vl+k2

解法二：设直线4B的方程为y=k(x-1),设P,A,B的坐标分别为(沏,丫0),(xpyj,

。2，为)，OP=AOA-(1+A)OB，得Xo=-(1+A)X2-yo=H&i-(1+A)x2+1]>

利用点到直线的距离，联立直线与抛物线方程结合弦长公式，转化求解三角形的面积的

最小值.

解法三：取而=—诃=—465+(1+4)丽，推出SAP.=SAOAB，设直线48的方程

为》=ty+1,则点。到直线4B的距离d=焉,联立方程，I消去工整理得y2-

4ty-4=0,利用弦长公式，通过三角形的面积求解最小值即可.

本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题.

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22.【答案】解：(I)二,曲线G的普通方程为必=2%,・•.psin0=2pcos0f

即曲线G的极坐标方程为ps出2。=2COS6,

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