高考数学一轮复习 第七章 立体几何初步 课时分层作业 四十四 7.6 平行、垂直的综合问题 文-人教版高三数学试题

课时分层作业四十四平行、垂直的综合问题一、选择题(每小题5分,共25分)1.如图所示,O为正方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的中心,则下列直线中与B1O垂直的是A.A1D B.AA1 C.A1D1 D.A1【解析】选D.易知AC⊥平面BB1D1D.因为A1C1∥AC,所以A1C1⊥平面BB1D又B1O⊂平面BB1D1D,所以A1C1⊥B12.如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别为边AB,AD上的点,且AE∶EB=AF∶FD=1∶4,又H,G分别为BC,CD的中点,则 ()A.BD∥平面EFGH,且四边形EFGH是矩形B.EF∥平面BCD,且四边形EFGH是梯形C.HG∥平面ABD,且四边形EFGH是菱形D.EH∥平面ADC,且四边形EFGH是平行四边形【解析】选B.由AE∶EB=AF∶FD=1∶4知EF=BD,所以EF∥面BCD.又H,G分别为BC,CD的中点,所以HG=BD,所以EF∥HG且EF≠HG,所以四边形EFGH是梯形.3.设α,β是两个不同的平面,l,m为两条不同的直线.命题p:若平面α∥β,l⊂α,m⊂β,则l∥m;命题q:l∥α,m⊥l,m⊂β,则β⊥α,则下列命题为真命题的是 ()A.p或q B.p且qC.﹁p或q D.p且﹁q【解析】选C.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,命题p:平面AC为平面α,平面A1C1为平面β,直线A1D1和直线AB分别是直线m,l,显然满足α∥β,l⊂α,m⊂β,而m与l异面,故命题p是假命题,﹁p是真命题;命题q:平面AC为平面α,平面A1C1为平面β,直线A1D1和直线A1B1分别是直线m,l,显然满足l∥α,m⊥l,m⊂β,而α∥β4.(2018·杭州模拟)空间四边形ABCD中,AB=CD=2,AD=BC=3,M,N分别是对角线AC与BD的中点,则MN与 ()A.AC,BD之一垂直B.AC,BD不一定垂直C.AC,BD都不垂直D.AC,BD都垂直【解析】选D.连接BM,DM,AN,CN,在△ABC和△ACD中,AB=CD,AD=BC,AC=CA,故△ABC≌△CDA.又M为AC中点,所以BM=DM.因为N为BD的中点,所以MN⊥BD.同理可证MN⊥AC.5.如图所示,三棱锥A-BCD的底面是等腰直角三角形,AB⊥平面BCD,AB=BC=BD=2,E是棱CD上的任意一点,F,G分别是AC,BC的中点,则在下面命题中:①平面ABE⊥平面BCD;②平面EFG∥平面ABD;③四面体FECG体积的最大值是.真命题的个数是 ()A.0 B.1 C.2 【解析】选C.①正确,因为AB⊥平面BCD,且AB⊂平面ABE,由面面垂直的判定定理可知平面ABE⊥平面BCD;②错,若两平面平行,则必有AD∥EF,而点E是棱CD上任意一点,故该命题为假命题;③正确,由已知易得GF⊥平面GCE,且GF=AB=1,而S△GCE=GC·CE·sin45°=CE≤1,故VF-GCE=S△GCE·FG≤.故正确的命题为①③.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知平面α,β和直线m.给出条件:①m∥α;②m⊥α;③m⊂α;④α⊥β;⑤α∥β.(1)当满足条件________时,有m∥β.

(2)当满足条件________时,有m⊥β.

【解析】(1)当m⊂α,且α∥β时,有m∥β,故填③⑤.(2)当m⊥α,且α∥β时,有m⊥β,故填②⑤.答案:(1)③⑤(2)②⑤7.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足______________时,平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可).

【解析】连接AC,因为四边形ABCD各边相等,所以BD⊥AC,又PA⊥底面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD,又PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC,而PC⊂平面PAC,所以BD⊥PC.所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD,而PC⊂平面PCD,所以平面MBD⊥平面PCD.答案:DM⊥PC(或BM⊥PC)8.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M满足条件______________时,有MN∥平面B1BDD1【解析】如图,连接FH,HN,FN,由题意知HN∥面B1BDD1,FH∥面B1BDD1.且HN∩FH=H,所以面NHF∥面B1BDD1.所以当M在线段HF上运动时,有MN∥面B1BDD1.答案:M∈线段HF三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影为BC的中点,D是B1C1的中点.证明:A1D⊥平面【证明】设E为BC的中点,连接A1E,AE,DE,由题意得A1E⊥平面ABC,因为AE⊂平面ABC,所以A1E⊥AE.因为AB=AC,所以AE⊥BC.又BC∩A1E=E,所以AE⊥平面A1BC.由D,E分别为B1C1DE∥B1B且DE=B1B,从而DE∥A1A且DE=A1所以AA1DE为平行四边形.所以A1D∥AE.又因为AE⊥平面A1BC,所以A1D⊥平面A1BC.10.(2017·全国卷Ⅰ)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)证明:平面PAB⊥平面PAD.(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,且四棱锥P-ABCD的体积为,求该四棱锥的侧面积.【解析】(1)因为∠BAP=90°,所以AB⊥PA,因为∠CDP=90°,所以CD⊥PD,因为AB∥CD,所以AB⊥PD,又PA∩PD=P,所以AB⊥平面PAD,因为AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.(2)在平面PAD内作PE⊥AD,垂足为点E.由(1)知,AB⊥平面PAD,故AB⊥PE,可得PE⊥平面ABCD.设AB=x,则由已知可得AD=x,PE=x.故四棱锥P-ABCD的体积VPABCD=AB·AD·PE=x3.由题设得x3=,故x=2.从而PA=PD=2,AD=BC=2,PB=PC=2.可得四棱锥P-ABCD的侧面积为PA·PD+PA·AB+PD·DC+BC2sin60°=6+2.1.(5分)设平面α与平面β相交于直线m,直线a在平面α内,直线b在平面β内,且b⊥m,则“α⊥β”是“a⊥b”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.若α⊥β,因为α∩β=m,b⊂β,b⊥m,所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α,又a⊂α,所以a⊥b;反过来,当a∥m时,因为b⊥m,且a,m共面,一定有b⊥a,但不能保证b⊥α,所以不能推出α⊥β.2.(5分)在三棱锥P-ABC中,PB=6,AC=3,G为△PAC的重心,过点G作三棱锥的一个截面,使截面平行于直线PB和AC.则截面的周长为______________.

【解析】过点G作EF∥AC交PA,PC于点E,F,过E,F分别作EN∥PB,FM∥PB分别交AB,BC于点N,M,连接MN,所以四边形EFMN是平行四边形,所以=,即EF=MN=2,==,即FM=EN=2,所以截面的周长为2×4=8.答案:83.(5分)在三棱锥P-ABC中,点P在平面ABC中的射影为点O, (1)若PA=PB=PC,则点O是△ABC的________心.

(2)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点O是△ABC的______________心.

【解析】(1)如图1,连接OA,OB,OC,OP,在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中,PA=PC=PB,所以OA=OB=OC,即O为△ABC的外心.(2)如图2,因为PC⊥PA,PB⊥PC,PA∩PB=P,所以PC⊥平面PAB,AB⊂平面PAB,所以PC⊥AB.又AB⊥PO,PO∩PC=P,所以AB⊥平面PGC,又CG⊂平面PGC,所以AB⊥CG,即CG为△ABC边AB的高.同理可证BD,AH为△ABC底边上的高,即O为△ABC的垂心.答案:(1)外(2)垂4.(12分)如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥平面BCD,CD⊥BD.(1)求证:CD⊥平面ABD.(2)若AB=BD=CD=1,M为AD中点,求三棱锥A-MBC的体积.【解析】(1)因为AB⊥平面BCD,CD⊂平面BCD,所以AB⊥CD.又因为CD⊥BD,AB∩BD=B,AB⊂平面ABD,BD⊂平面ABD,所以CD⊥平面ABD.(2)方法一:由AB⊥平面BCD,BD⊂平面BCD,得AB⊥BD,因为AB=BD=1,所以S△ABD=.因为M是AD的中点,所以S△ABM=S△ABD=.由(1)知,CD⊥平面ABD,所以三棱锥C-ABM的高h=CD=1,因此三棱锥A-MBC的体积VA-MBC=VC-ABM=S△ABM·h=.方法二:由AB⊥平面BCD且AB⊂平面ABD知,平面ABD⊥平面BCD,又平面ABD∩平面BCD=BD,如图,过点M作MN⊥BD交BD于点N,则MN⊥平面BCD,且MN=AB=,又CD⊥BD,BD=CD=1,所以S△BCD=.所以三棱锥A-MBC的体积VA-MBC=VA-BCD-VM-BCD=AB·S△BCD-MN·S△BCD=.5.(13分)如图,已知三棱柱ABC-A′B′C′的侧棱垂直于底面,AB=AC,∠BAC=90°,点M,N分别为A′B和B′C′的中点.(1)证明:MN∥平面AA′C′C.(2)设AB=λA′A,当λ为何值时,CN⊥平面A′MN?试证明你的结论.【解析】(1)取A′B′的中点E,连接ME,NE,因为M,N分别为A′B和B′C′的中点,所以NE∥A′C′,ME∥AA′.因为A′C′⊂平面AA′C′C,A′A⊂平面AA′C′C,所以ME∥平面AA′C′C,NE∥平面AA′C′C,又ME∩NE=E,所以平面MNE∥平面AA′C′C,因为MN⊂平面MNE,所以MN