2023届广安市重点高考数学四模试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若复数2满足|z|=l,则|z-i|（其中i为虚数单位）的最大值为（）

A.1B.2C.3D.4

2.设全集庐R,集合A={x|/_3冗一4>0},则8uA=（）

A.{x|-l<x<4}B.{x|-4<x<l}C.{x|-l<x<4}D.{x\-4<x<l}

3.函数y=/（x）,xeR,贝=w（犬）|的图象关于轴对称”是“y=/（x）是奇函数”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.五名志愿者到三个不同的单位去进行帮扶，每个单位至少一人，则甲、乙两人不在同一个单位的概率为（）

213319

A.-B.—C.—D.—

525525

5.已知双曲线C的两条渐近线的夹角为60。，则双曲线C的方程不可能为（）

22222）22

A.二-二=1B.二一二=1C.匕-土=1D.二-三=1

155515312217

6.如图，圆。的半径为1,A,3是圆上的定点，OB1OA,P是圆上的动点，点P关于直线QB的对称点为P',

角x的始边为射线终边为射线OP,将|OP—。尸［表示为x的函数/（x）,则y=/（x）在［0,句上的图像大致

为（）

(rr\jr57r

8.如图是函数y=Asin(啰x+0)为e氐人＞0,。＞0,0＜。＜彳在区间-丁，丁上的图象，为了得到这个函数的

V2)[_oo

图象，只需将y=sinx(xeR)的图象上的所有的点()

B.向左平移?个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变

C.向左平移个个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的不，纵坐标不变

D.向左平移7个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变

O

9.下列四个结论中正确的个数是

（1）对于命题，：*）eR使得片一1<0,则都有了2-1>0;

（2）已知XNQ,/）,则P（X>2）=0.5

（3）已知回归直线的斜率的估计值是2,样本点的中心为（4,5）,则回归直线方程为#=2x-3；

（4）“x21”是22”的充分不必要条件.

x

A.1B.2C.3D.4

x-j+l>0

10.已知实数x、y满足约束条件<3x—y-3WO,则z=2x+y的最大值为（）

y>0

A.-1B.2C.7D.8

/（X）是定义在（O,+8）上的增函数，且满足：/（X）的导函数存在，且，^<%,则下列不等式成立的是（）

11.

A./(2)<2,/(1)B.3/（3）<4/（4）

C.2〃3）<3〃4）D.3〃2）<2〃3）

12.已知集合4=｛-2,0,1,3｝,B=｛R-6<x<G｝,则集合8子集的个数为（）

A.4B.8C.16D.32

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设平面向量。与匕的夹角为夕，且『+囚=1,卜一目=6,则。的取值范围为.

22

14.已知等差数列依｝满足4+弓+%+%+%=1°，«8-«2=36,则为的值为.

15.六位同学坐在一排，现让六位同学重新坐，恰有两位同学坐自己原来的位置，则不同的坐法有种（用数

字回答）.

16.函数/（幻的定义域为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知数列｛%｝的各项均为正数，S”为其前〃项和，对于任意的〃eN*满足关系式2s,=34-3.

（1）求数列｛%｝的通项公式;

3

（2）设数列｛4｝的通项公式是2=；---------j-----------,前”项和为T“，求证：对于任意的正数〃,总有y・

10g3an,10g3an+2

18.（12分）某公司打算引进一台设备使用一年，现有甲、乙两种设备可供选择.甲设备每台10（）00元，乙设备每台9000

元.此外设备使用期间还需维修，对于每台设备，一年间三次及三次以内免费维修，三次以外的维修费用均为每次1000

元.该公司统计了曾使用过的甲、乙各50台设备在一年间的维修次数，得到下面的频数分布表，以这两种设备分别在

50台中的维修次数频率代替维修次数发生的概率.

维修次数23456

甲设备5103050

乙设备05151515

（1）设甲、乙两种设备每台购买和一年间维修的花费总额分别为x和丫，求x和丫的分布列；

（2）若以数学期望为决策依据，希望设备购买和一年间维修的花费总额尽量低，且维修次数尽量少，则需要购买哪种

设备？请说明理由.

19.（12分）如图，。。的直径的延长线与弦C。的延长线相交于点尸，E为。。上一点，AE^AC,DE交AB

于点尸.求证：\PDF~\POC.

,5

20.（12分）已知椭圆C:5+y2=i的左、右焦点分别为耳,耳，直线/垂直于x轴，垂足为T,与抛物线y2=4x交于

不同的两点P,Q,且耳~£。=一5,过户2的直线〃?与椭圆（7交于4,8两点，设64=46氏且.

（1）求点T的坐标；

（2）求惘+词的取值范围.

21.（12分）随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活.网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的

普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而

得到表（单位：人）

经常网购偶尔或不用网购合计

男性50100

女性70100

合计

（1）完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关？

（2）①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3

人中至少有2人经常网购的概率；

②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常网购的人数为X,求随机变

量X的数学期望和方差.

n(ad-be)"

参考公式：K2=

(a+/j)(c+d)(a+c)(Z2+d)

P(K2>K^

0.150.100.050.0250.0100.0050.001

K。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

22.(10分)已知函数分(x)=(x+2)ln(x+l)-ox(aGR)

(I)若。=1,求曲线y=/(x)在点(0,7(0))处的切线方程；

(D)若Ax)NO在［0,+8)上恒成立，求实数。的取值范围；

4

(皿)若数列｛q｝的前〃项和S,=〃2+3〃一1,bn=—,求证：数列也｝的前〃项和7；＜ln(〃+l)(〃+2).

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

根据复数的几何意义可知复数z对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，再根据复数的几何意义即可确定|z-z|,

即可得|z-i|的最大值.

【详解】

由以|=1知，复数z对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，

|z-i|表示复数工对应的点与点(0,1)间的距离，

又复数-对应的点所在圆的圆心到(0,1)的距离为1,

所以|z-/L=1+1=2.

故选：B

【点睛】

本题考查了复数模的定义及其几何意义应用，属于基础题.

2.C

【解析】

解一元二次不等式求得集合A，由此求得qA

【详解】

由％2—3x—4=(x-4)(x+l)>0,解得x<-l或x>4.

因为A={x[x<-1或x>4},所以gA={x|-l<x<4}.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合补集的概念和运算，属于基础题.

3.B

【解析】

根据函数奇偶性的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【详解】

设g(x)=w(x)i，若函数y=〃x)是/?上的奇函数，贝所以，函数

y=W(x)|的图象关于)'轴对称.

所以，"y="X)是奇函数”="y=M(x)的图象关于y轴对称”；

若函数y=/(x)是R上的偶函数，则g(-x)=k4■(-x)|=卜0>(x)|=|v(x)|=g(x),所以，函数y=W(x)|的图

象关于)'轴对称.

所以，“y=凶㈤的图象关于y轴对称"N“y="X)是奇函数”.

因此，“y=W(x)的图象关于y轴对称”是“y=/(X)是奇函数”的必要不充分条件.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数奇偶性的性质判断是解决本题的关键，考查推理能力，属于中等

题.

4.D

【解析】

三个单位的人数可能为2,2,1或3,1,1,求出甲、乙两人在同一个单位的概率，利用互为对立事件的概率和为1

即可解决.

【详解】

由题意，三个单位的人数可能为2,2,1或3,1,1；基本事件总数有室室■用

=150种，若为第一种情况，且甲、乙两人在同一个单位，共有可种情况；若为第二

种情况，且甲、乙两人在同一个单位，共有种，故甲、乙两人在同一个单位的概率

为至=3,故甲、乙两人不在同一个单位的概率为P=1-二=里.

150252525

故选：D.

【点睛】

本题考查古典概型的概率公式的计算，涉及到排列与组合的应用，在正面情况较多时，可以先求其对立事件，即甲、

乙两人在同一个单位的概率，本题有一定难度.

5.C

【解析】

判断出已知条件中双曲线C的渐近线方程，求得四个选项中双曲线的渐近线方程，由此确定选项.

【详解】

两条渐近线的夹角转化为双曲渐近线与x轴的夹角时要分为两种情况.依题意，双曲渐近线与X轴的夹角为30。或60。,

双曲线C的渐近线方程为y=±个犬或丁=土百犬工选项渐近线为^二土个8，B选项渐近线为y=±Gx,C选项

1L2V-2

渐近线为y=±-x,D选项渐近线为y=土瓜.所以双曲线C的方程不可能为gV一春=I.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查双曲线的渐近线方程，属于基础题.

6.B

【解析】

根据图象分析变化过程中在关键位置及部分区域，即可排除错误选项，得到函数图象，即可求解.

【详解】

由题意，当x=0时，P与A重合，则尸'与B重合，

所以|。尸一。尸[=[8A|=2,故排除C,D选项；

当0<%<立时，|OP—OP'|=|尸'P|=2sin（三一x）=2cosx,由图象可知选B.

2II2

故选：B

【点睛】

本题主要考查三角函数的图像与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键,属于中档题.

7.C

【解析】

先化简复数z=i（3-2i）,再求W，最后求z。即可.

【详解】

解:z=i（3-2i）=2+3i,Z=2-3Z

Z-Z=22+32=13>

故选:C

【点睛】

考查复数的运算，是基础题.

8.A

【解析】

由函数的最大值求出A,根据周期求出。，由五点画法中的点坐标求出。，进而求出丁=Asin（的+。）的解析式，与

y=sinx（xeR）对比结合坐标变换关系，即可求出结论.

【详解】

由图可知4=1,7=4，/.。=2,

7171

又---co+(p=2k兀*GZ),:.(p=2k兀+—(%£z),

63

X0<^<—,:.(p=—?.y=sinl2x+y

239

・..为了得到这个函数的图象,

只需将y=sinx(xeR)的图象上的所有向左平移三个长度单位，

得到y=sin(x+gj的图象，

再将y=sin+的图象上各点的横坐标变为原来的;(纵坐标不变)即可.

故选:A

【点睛】

本题考查函数的图象求解析式，考查函数图象间的变换关系，属于中档题.

9.C

【解析】

由题意，(1)中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；(2)中，根据正态分布曲线的性质，即可

判定是正确的；(3)中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；(4)中，基本不等式和充要

条件的判定方法，即可判定.

【详解】

由题意，(1)中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题pT/e/?使得其-140,则「〃：VxeA都有

x2-l>0,是错误的；

(2)中，已知X〜N(2,CT2),正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为x=2,所以P(X>2)=0.5是正确的;

(3)中，回归直线的斜率的估计值是2,样本点的中心为(4,5),由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，可得

回归直线方程为y=2x—3是正确；

(4)中，当时，可得x+=2成立，当“时，只需满足龙>(),所以是“x+，N2”

x\xxx

成立的充分不必要条件.

【点睛】

本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性

质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于

基础题.

10.C

【解析】

作出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图象知当直线过点C时，Z取得最大值.

【详解】

解：作出约束条件表示的可行域是以（-1,0）,（1,0）,（2,3）为顶点的三角形及其内部，如下图表示：

当目标函数经过点。（2,3）时，z取得最大值，最大值为7.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识,属于中档题.

11.D

【解析】

根据/（X）是定义在（（）,+“）上的增函数及有意义可得ra）＞o,构建新函数,式力=/区，利用导数可得

g（x）为（0,+8）上的增函数，从而可得正确的选项.

【详解】

因为“X）是定义在（0,+。）上的增函数，故/'（x）NO.

又吃H有意义，故r（x）。。，故ra）＞o,所以“力＜才（兀）.

令g（x）="x），贝（lg〈x）=~~^.2'~~〉°，

故g（x）在（0,+。）上为增函数，所以g⑶〉g（2）即牛＞《！，

整理得到2/（3）＞3/（2）.

故选：D.

【点睛】

本题考查导数在函数单调性中的应用，一般地，数的大小比较，可根据数的特点和题设中给出的原函数与导数的关系

构建新函数，本题属于中档题.

12.B

【解析】

首先求出4B,再根据含有"个元素的集合有2"个子集，计算可得.

【详解】

解：A={-2,0,1,3},B={x|—75<x<\/3},

.■.AB={-2,0,1),

・•.A8子集的个数为23=8.

故选：B.

【点睛】

考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算，集合子集个数的计算公式，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.兀

【解析】

根据已知条件计算出向之+时=2,结合,+司=1得出小。=-；，利用基本不等式可得出回•网的取值范围，利用

平面向量的数量积公式可求得cos。的取值范围，进而可得出。的取值范围.

【详解】

由卜+同=1得蓝+2。/+//=1，."〃=一；,

由基本不等式可得2=，+时22同似，.•.0<同似41,

a

,.--1<COS0<L：.COS0=.\=?|G-1,--»

\a\-\b\\a\]b\L2」

Q0W6W%,因此，。的取值范围为

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用向量的模求解平面向量夹角的取值范围，考查计算能力，属于中等题.

14.11

【解析】

由等差数列的下标和性质可得。5=2,由始一/2=（出+生乂氏-。2）即可求出公差4,即可求解;

【详解】

解：设等差数列的公差为d,

%+%+火+%+为=10,4+佝=q+%=2a5

..=2

3

又因为42—々J=(%+4)(4-4)=2%x6d=36，解得d

2

«),=a5+6d=11

故答案为：11

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式及等差数列的性质的应用，属于基础题.

15.135

【解析】

根据题意先确定2个人位置不变，共有C；=15种选择，再确定4个人坐4个位置，但是不能坐原来的位置，计算得

到答案.

【详解】

根据题意先确定2个人位置不变，共有C：=15种选择.

再确定4个人坐4个位置，但是不能坐原来的位置，共有3x3xlxl=9种选择，

故不同的坐法有15x9=135.

故答案为：135.

【点睛】

本题考查了分步乘法原理，意在考查学生的计算能力和应用能力.

16.卜

【解析】

由题意可得，，，解不等式可求.

Zg--l..O

x

【详解】

->0

解：由题意可得，\x,

Zg--l..O

.X

解可得，o<%,g,

故答案为卜10<%,

【点睛】

本题主要考查了函数的定义域的求解，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)a“=3"(2)证明见解析

【解析】

(1)根据公式*=s.一S"T得到an=3^(/1>2),计算得到答案.

(2)一一二］,根据裂项求和法计算得到［+：--［-一二］,得到证明.

2\nn+2)2〃+1n+2)

【详解】

(1)由己知得(〃？2)时，2(5.一5“_1)=3。“一3凡_1,故an=3%(心2).

故数列｛4｝为等比数列，且公比4=3.

又当”=1时，2al=36-3,%=3.:.=3".

,111y

(2)“=--------------=--------=----------.

"log3«„-log3a„+2〃(“+2)21”n+2)'

2|_l3)124J(35)\nn+2)

If.111)3

212鹿+1n+2)4

【点睛】

本题考查了数列通项公式和证明数列不等式，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.

18.(1)X分布列见解析，丫分布列见解析；(2)甲设备，理由见解析

【解析】

(1)X的可能取值为10000,11000,12000,y的可能取值为9000,10000,11000,12000,计算概率得到分布列;

(2)计算期望，得到E(X)=E(Y)=10800,设甲、乙两设备一年内的维修次数分别为g,n,计算分布列，计算

数学期望得到答案.

【详解】

(1)X的可能取值为10000,11000,12000

P(X=10000)=^^=—,P(X=11000)=-=-,P(X=12000)=—=—

50105055010

因此X的分布如下

X100001100012000

331

P

To5io

y的可能取值为9000,10000,11000,12000

51153153153

p(y=9ooo)=—=—,p(y=ioooo)=—,p(y=11000)=—p(r=12000)=—=—

5010501050105010

因此y的分布列为如下

Y9000100001100012000

1333

p

ToTo10To

331

(2)E(X)=10000X—+11000X-+12000x—=10800

10510

1333

E(y)=9000X—+10000X—+11000X—+12000x—=10800

10101010

设甲、乙两设备一年内的维修次数分别为J,7

J的可能取值为2,3,4,5

P(^=2)=—=—,P(^=3)=—=P(^=4)=—=~,P(^=5)=—=—

50105055055010

则J的分布列为

J2345

1231

P

1055K)

1131

E(^)=2x—+3x-+4x-+5x—=3.7

105510

〃的可能取值为3,4,5,6

51153153153

尸"(〃=3)=—=—,。(〃=4)='=二，P(〃=5='=二，，(〃=6)='=二

5010501050105010

则〃的分布列为

n3456

1333

P

10101010

1333

E(n)=3x—+4x—+5x—+6x—=4.8

10101010

由于成X)=E(y),E您)<E⑺,因此需购买甲设备

【点睛】

本题考查了数学期望和分布列，意在考查学生的计算能力和应用能力.

19.证明见解析

【解析】

根据相似三角形的判定定理，已知两个三角形有公共角NP,题中未给出线段比例关系，故可根据判定定理一需找到另外

一组相等角，结合平面几何的知识证得ZPFD=ZOCP即可.

【详解】

证明：•••/1£=AC,所以N8E=ZAOC,

又因为NCDE=ZP+ZPFD,ZAOC=ZP+ZPCO,

所以NPFD=NOCP.

在尸与APOC中，ZP=ZP,ZPFD=ZOCP,

故l\PDF〜bPOC.

【点睛】

本题考查平面几何中同弧所对的圆心角与圆周角的关系、相似三角形的判定定理;考查逻辑推理能力和数形结合思想;

分析图形，找出角与角之间的关系是证明本题的关键;属于基础题.

"［此一

20.(1)7(2,0)；(2)2,-^-.

【解析】

（1）设出P,。的坐标，代入耳产・月。=一5,结合P,Q在抛物线V=4x上，求得P,Q两点的横坐标，进而求得T

点的坐标.

（2）设出直线〃，的方程，联立直线团的方程和椭圆方程，写出韦达定理，结合6A=求得|力4+"『的表达

式，结合二次函数的性质求得|m+丁可的取值范围.

【详解】

（1）可知耳（—1,0）,月（1,0）,

设尸（如％），。（%-%）

则耳P书Q=—5=（无0+1，%）•（%T，-％）=婕一1一年，

又）2=©,

所以—5=XQ—1—4x0

解得%=2,

所以T（2,0）.

（2）据题意，直线加的斜率必不为0,

所以设机：x=）+1,将直线，〃方程代入椭圆C的方程中，

整理得（『+2）/+2）一1=0,

设A（玉,凹）,3（々,%）,

r.,2f

则x+%=-产石①z

x%=-A②

因为6A=2耳氏

所以y=/%，且X<°，

将①式平方除以②式得乂+M+2=-4二

月%厂+2

14/

所以九+'+2=-

2r+2

2

4W—2,-1],又解得0«/4亍

+]]

又7X+TB=(w+&_4,y+%)，4+/_4=/(凶+%)—2=--——-

L4r6%+x4

所以|+[=(i2-)-+(y,+y2)'=16--^1-+—

1+ZU+

(7丫17，169

所以惘+卿=8/-28n+16=8n——-----e4,——

I4j232

UHuirc13及

TA+TBe

，8

【点睛】

本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线和椭圆的位置关系，考查向量数量积的坐标运算，考查向量模的

坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.

49

21.(I)详见解析；(II)①三；②数学期望为6,方差为2.4.

6()

【解析】

(1)完成列联表，由列联表，得K?=1=8.333>6.635,由此能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民

网购与性别有关.

7030

(2)①由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有10x前=7人，偶尔或不用网购的有10x而=3人，由此

能选取的3人中至少有2人经常网购的概率.

②由2x2列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：黑=。6,由题意X8(10,0.6),由此能求出随机变量X的

数学期望七(X)和方差O(X).

【详解】

解：(D完成列联表(单位：人):

经常网购偶尔或不用网购合计

男性5050100

女性7030100

合计12080200

由列联表，得:

200x(50x30-50x70/_25

K28.333>6,635

120x80x100x100-3

二能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关.

70

(2)①由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有10x益=7人，

偶尔或不用网购的有10X温30=3人，

.••选取的3人中至少有2人经常网购的概率为：

+d_49

4=60

②由2x2列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：标=°6,

将频率视为概率，

...从我市市民中任意抽取一人，恰好抽到经常网购市民的概率为0.6,

由题意X8(10,0.6),

.•.随机变量X的数学期望E(X)=10X0.6=6,