高中数学函数解题技巧方法总结(高考)

高中数学函数知识点总结一、.函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致(两点必须同时具备)二、.求函数的定义域有哪些常见类型？函数定义域求法： 分式中的分母不为零；偶次方根下的数（或式）大于或等于零；指数式的底数大于零且不等于一；对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。正切函数当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。三、.如何求复合函数的定义域？义域是_____________。复合函数定义域的求法：已知的定义域为，求的定义域，可由解出x的范围，即为的定义域。例若函数的定义域为，则的定义域为。四、函数值域的求法1、直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例求函数y=的值域2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例、求函数y=-2x+5，x[-1，2]的值域。3、判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面4、反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例求函数y=值域。5、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例求函数y=，，的值域。6、函数单调性法通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容例求函数y=（2≤x≤10）的值域7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例求函数y=x+的值域。增增增增增增减减//减增减//减减增减减六、.如何利用导数判断函数的单调性？值是（）七、函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（f(x)定义域关于原点对称）注意如下结论：（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。 八.判断函数奇偶性的方法1、定义域法一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.奇偶函数定义法在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.复合函数奇偶性f(g)g(x)f[g(x)]f(x)+g(x)f(x)*g(x)奇奇奇奇偶奇偶偶非奇非偶奇偶奇偶非奇非偶奇偶偶偶偶偶九、.你熟悉周期函数的定义吗？函数，T是一个周期。）我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来，这时说这个函数周期2t.推导：，同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思：函数f(x)关于直线对称，对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。如：十.你掌握常用的图象变换了吗？联想点（x,y）,(-x,y)联想点（x,y）,(x,-y)联想点（x,y）,(-x,-y)联想点（x,y）,(y,x)联想点（x,y）,(2a-x,y)联想点（x,y）,(2a-x,0)注意如下“翻折”变换： 十一、你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？ (k为斜率，b为直线与y轴的交点)的双曲线。 应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程②求闭区间［m，n］上的最值。 ③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。④一元二次方程根的分布问题。 由图象记性质！（注意底数的限定！）利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？（均值不等式一定要注意等号成立的条件）15.你在基本运算上常出现错误吗？16.如何解抽象函数问题？（赋值法、结构变换法） （对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了代y=x，令x=0或1来求出f(0)或f(1)求奇偶性，令y=—x；求单调性：令x+y=x1几类常见的抽象函数正比例函数型的抽象函数f（x）＝kx（k≠0）f（x±y）＝f（x）±f（y）幂函数型的抽象函数f（x）＝xaf（xy）＝f（x）f（y）；f（）＝指数函数型的抽象函数f（x）＝axf（x＋y）＝f（x）f（y）；f（x－y）＝对数函数型的抽象函数f（x）＝logax（a>0且a≠1）f（x·y）＝f（x）＋f（y）；f（）＝f（x）－f（y）三角函数型的抽象函数f（x）＝tgxf（x＋y）＝f（x）＝cotxf（x＋y）＝例1已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>0，f(－1)＝－2求f(x)在区间[－2,1]上的值域.分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（注意到f（x2）＝f[（x2－x1）＋x1]＝f（x2－x1）＋f（x1））；再根据区间求其值域.例2已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>2，f(3)＝5，求不等式f（a2－2a－2）<3的解.分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（仿例1）；再求出f（1）＝3；最后脱去函数符号.例3已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当0≤x＜1时，f（x）∈[0，1].（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在[0，＋∞]上的单调性，并给出证明；（3）若a≥0且f（a＋1）≤，求a的取值范围.分析：（1）令y＝－1；（2）利用f（x1）＝f（·x2）＝f（）f（x2）；（3）0≤a≤2.例4设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在x1≠x2，使得f（x1）≠f（x2）；对任何x和y，f（x＋y）＝f（x）f（y）成立.求：（1）f（0）；(2)对任意值x，判断f（x）值的符号.分析：（1）令x=y＝0；（2）令y＝x≠0.例5是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）>0,x∈N；②f（a＋b）＝f（a）f（b），a、b∈N；③f（2）＝4.同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，说明理由.分析：先猜出f（x）＝2x；再用数学归纳法证明.例6设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足f（x·y）＝f（x）＋f（y），f（3）＝1，求：f（1）；若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围.分析：（1）利用3＝1×3；（2）利用函数的单调性和已知关系式.例7设函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x）.如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正确，试说明理由.分析：设f（a）＝m，f（b）＝n，则g（m）＝a，g（n）＝b，进而m＋n＝f（a）＋f（b）＝f（ab）＝f[g（m）g（n）]….

例8已知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：x1、x2是定义域中的数时，有f（x1－x2）＝；f（a）＝－1（a＞0，a是定义域中的一个数）；当0＜x＜2a时，f（x）＜0.试问：f（x）的奇偶性如何？说明理由；在（0，4a）上，f（x）的单调性如何？说明理由.分析：（1）利用f[－（x1－x2）]＝－f[（x1－x2）]，判定f（x）是奇函数；先证明f（x）在（0，2a）上是增函数，再证明其在（2a，4a）上也是增函数.对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题.例9已知函数f（x）（x≠0）满足f（xy）＝f（x）＋f（y），求证：f（1）＝f（－1）＝0；求证：f（x）为偶函数；若f（x）在（0，＋∞）上是增函数，解不等式f（x）＋f（x－）≤0.分析：函数模型为：f（x）＝loga|x|（a＞0）先令x＝y＝1，再令x＝y＝－1；令y＝－1；由f（x）为偶函数，则f（x）＝f（|x|）.例10已知函数f（x）对一切实数x、y满足f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）·f（y），且当x＜0时，f（x）＞1，求证：当x＞0时，0＜f（x）＜1；f（x）在x∈R上是减函数.分析：（1）先令x＝y＝0得f（0）＝1，再令y＝－x；受指数函数单调性的启发：由f（x＋y）＝f（x）f（y）可得f（x－y）＝，进而由x1＜x2，有＝f（x1－x2）＞1.练习题：1.已知：f（x＋y）＝f（x）＋f（y）对任意实数x、y都成立，则（）（A）f（0）＝0（B）f（0）＝1（C）f（0）＝0或1（D）以上都不对2.若对任意实数x、y总有f（xy）＝f（x）＋f（y），则下列各式中错误的是（）（A）f（1）＝0（B）f（）＝f（x）（C）f（）＝f（x）－f（y）（D）f（xn）＝nf（x）（n∈N）3.已知函数f（x）对一切实数x、y满足：f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）f（y），且当x＜0时，f（x）＞1，则当x＞0时，f（x）的取值范围是（）（A）（1，＋∞）（B）（－∞，1）（C）（0，1）（D）（－1，＋∞）4.函数f（x）定义域关于原点对称，且对定义域内不同的x1、x2都有f（x1－x2）＝，则f（x）为（）（A）奇函数非偶函数（B）偶函数非奇函数（C）既是奇函数又是偶函数（D）非奇非偶函数5.已知不恒为零的函数f（x）对任意实数x、y满足f（x＋y）＋f（x－y）＝2[f（x）＋f（y）]，则函数f（x）是（）（A）奇函数非偶函数（B）偶函数非奇函数（C）既是奇函数又是偶函数（D）非奇非偶函数函数典型考题1.若函数为偶函数，则的值是（）A.B.C.D.2．已知函数是定义域在上的偶函数，且在区间上单调递减，求满足的的集合．．3.若f(x)是偶函数，它在上是减函数,且f（lgx）>f(1),则x的取值范围是（）A.(，1)B.(0，)(1，)C.(，10)D.(0，1)(10，)4.若a、b是任意实数，且a>b,则（）A.a2>b2B.<1C.>0D.<5.设a,b,c都是正数，且，则下列正确的是（）(A)(B)(C)(D)6．对于函数（）．（Ⅰ）当时，求函数的零点；（Ⅱ）若对任意实数，函数恒有两个相异的零点，求实数的取值范围．二次函数中，，则函数的零点个数是（）A0个B1个C2个D无法确定8．若函数的两个零点是2和3,则函数的零点是（）A．和B．和C．和D．和9．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；