高中数学各种强公式

[例题1]已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且向量BF=2向量FD，求C的离心率_____。[解析]：利用爆强公式：ecosA＝（x－1）/（x＋1）A为直线与焦点所在轴夹角，是锐角

。x为分离比

（就是指AF＝xBF），必须大于1。

注上述公式适合一切圆锥曲线。如果焦点内分，

用该公式；如果外分，将公式中正负号对调。综上：本题中cosA＝c/a＝e，所以代入公式易得e=√3/3[例题2]已知O三角形ABC的外心，AB＝2，AC＝5，向量AO※向量BC（数量积）＝__[解析]：根据爆强公式：向量AO※向量BC＝(AC^2－AB^2)/2易得。[公式的来源：过O作BC垂线，垂足为D，转化到三角形]综上：答案为：21/2[例题3]已知正三棱锥S-ABC，若点P是底面ABC内一点，且点P到三棱锥的三个侧面的三个距离依次成等差数列，则点P的轨迹是（）A.一条直线的一部分B，椭圆的一部分，C，圆的一部分D，抛物线的一部分[解析]：根据等体积易得d1＋d2＋d3＝定值。又因为这三个数成等差，所以d2为定值。故选A[答案]:A[例题4]已知椭圆x^2/4＋y^2/3＝1，直线AB过椭圆右焦点，交于椭圆A.B两点，AB的中点为（1/2，1/2），求直线AB的方程。[解析]：根据爆强公式k椭＝-b^2xo/（a^2yo）＝-3/4根据点斜易得直线方程。[答案]3x＋4y-3＝0[例题5]已知点(x，y)满足x^2/4+y^2＜=1，求x＋2y的取值范围。[解析]：根据参数方程求解。x=2cosc，y=sinc所以x+2y＝2cosc＋2sinc＝2√2sin(c+派/4)[答案]：[-2√2，2√2][例题6]已知a(n+1)＝3a(n)＋2，a1＝2，求an。[解析]：根据爆强公式特征根方程得到x=q/(1-p)＝2/(1-3)＝-1，所以an=(a1-x)p^(n-1)＋x＝3^(n-1）-1[答案]：an＝3^(n-1)-1[例题7]空间给定不共面的A、B、C、D四个点，其中任意两点的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面α：A、B、C、D中有三个点到α的距离相同，另外一个点到α的距离是前三个点到α的距离的2倍，这样的平面的个数是A．15B．23C．26D．32[解析]：无论如何算，答案必是4的倍数。因为C41＝4[答案]:D如果要真正做也可以自己想一下：4×（2＋6）＝32[例题8]三角形ABC的两顶点A(-5,0),B(5,0)，三角形内心在直线x=3上，求顶点C的轨迹方程。[解析]：根据双曲线性质，c是双曲线上一点，三角形f1cf2的内切圆的圆心必在x=a上，所以易得a＝3，c＝5注意定义域[答案]：x^2/9

-y^2/16＝1（x＞0）[例题9]已知P点在圆c：x^2＋(y-4)^2＝1上移动，Q点在椭圆x^2/4＋y^2＝1上移动，求∣PQ∣的最大值。[解析]：抓住圆的圆心不动，以静制动。设点C(0，4）与点Q(x，y)的距离为d，则d^2＝x^2＋(y-4)^2=4-4y^2＋(y-4)^2又因为y属于[-1，1]所以d^2最大为25所以d+1最大为6。[答案]：6[例题10](a+b+c)^6的展开式中合并同类项后共有__项。[解析]:根据常用结论(a+b+c)^n的展开项有C(n+2)2项。所以本题C82＝28[答案]：28[拓展]：上述公式可以推广成(x1＋x2＋…＋xm）^n展开合并后共有：C(n+m-1)(m-1)项[例题11]已知y^2＝4x，过焦点的两弦AB垂直CD，AB＋CD最小=__解析：根据常用结论：对于y^2＝2px，有过焦点的两互相垂直弦，则两弦长和最小为8p。代入易得。[答案]：16[例题13]已知等差数列S15＝S10，a1＋ak＝0，则k=__[解析]：注意S15-S10＝0，即a13＝0，即a13＋a13＝a1＋a25＝0，所以k=25，[答案]25[例题14]设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>=0时，f(x)=x^2，若对任意的x属于[t，t+2]，不等式f(x+t)>=2f(x)恒成立，则实数t的取值范围：__[解析]注意到2f(x)＝f(√2x)，再考虑恒成立，分离参变量即可。[答案]{t∣t>=√2}[例题15]存在x属于R，使得ax^2－ax－2＞0，求实数a的取值范围。[解析]：分类讨论思想。1，当a=0时，不符合题意。2，当a＞0时，恒成立，3，当a＜0时，考虑▲＞0，易得a＜-8[答案]：(-无穷，-8）U(0，+无穷)[例题16]△ABC中，

向量AB(2，3)

，向量BC(4，－7)

则△ABC的面积为__。[解析]：根据爆强公式：△ABC中，

向AB=（x1

，y1）

BC=（x2

y2）

，那三角形ABC面积=1/2|x1y2-x2y1|易得答案13。[答案]：13[例题18]△ABC的三个顶点在椭圆4x^2+5y^2=6上，其中A、B两点关于原点O对称，设直线AC的斜率k1，直线BC的斜率k2，则k1k2的值为A.-5/4B.-4/5C.4/5D.2√5/5[解析]：特殊点考虑。不妨令A、B分别为椭圆的长轴上的两个顶点，C为椭圆短轴上的一个顶点，这样直接确认交点，由此可得，故选B[答案]：B[例题19]等比数列{an}的前10项和为48，前20项和为60，则这个数列的前30项和为()A、75B、68C、63D、54[解析]：根据性质：[公比不为-1]在等比数列{an}中，前n项和为sn，则sn,s2n-sn,s3n-s2n仍成等比数列。易得63[答案]：C[例题20]已知f(x)定义域为R，且f‘(x)＜f(x)恒成立，判断[e^2012]f(0)

与f(2012)哪个更大？[解析]关键在于构造函数：F(x)=[e^(-x)]f(x),则F'(x)=e^(-x)[f'(x)-f(x)]＜0，所以F(0)＞F(2012)。答案：前者大[例题21]已知分段函数f(x)＝｛a^x(x＞1）[4-(a/2)]x＋2（x<=1)｝在R上递增，则实数a的取值范围为（）A.(1，正无穷)B(4，8)C[4，8)D（1，8）[解析]：此类题目首先直接排除范围大的两个选项A，D，另外至少必有一个闭区间，故免算选B。[答案]：B[本题考点]：关键在于是否考虑到临界点处。[例题22]在三角形ABC中，边长a，b，c成等差数列，则（cosA＋cosC）/(1＋cosAcosC)＝__[解析]特殊值法，令该三角形为等边三角形。易得答案。[答案]4/5[例题23]方程∣x-1∣＋∣x-3∣＜a在R上无解，则a的取值范围：__[解析]根据图像“\_/”易得a的范围。[答案]｛a|a<=2｝[例题24]已知(1+x)^16=a0＋(a1)x＋(a2)x^2+…+a(16)x^16，求a1＋2(a2)＋3(a3)＋…+16(a16)=__[解析]根据爆强公式：C(n)1＋2C(n)2＋3C(n)3＋…＋nC(n)n=n×[2^(n-1)][拓展]■[定理38]：√[（a^2＋b^2）/2]≥（a＋b）/2≥√ab≥2ab/（a＋b）（a、b为正数，是统一定义域）[说明：这个很基础，但是可以推广成多项]■[定理39]：椭圆中焦点三角形面积公式：S=b^2tan(A/2)在双曲线中：S＝b^2/tan(A/2)说明：适用于焦点在x轴，且标准的圆锥曲线。A为两焦半径夹角。[计算时可以加快速度，证明方法：s＝1/2absinC加上向量]■[定理40]：适用于标准方程(焦点在x轴)爆强公式：k椭＝-｛（b^2）xo｝/｛（a^2）yo｝k双＝｛（b^2）xo｝/｛（a^2）yo｝k抛＝p/yo注：（xo，yo）均为直线过圆锥曲线所截段的中点。[证明方法：点差法]■[定理41]：常用数列bn＝n×(2^n)求和Sn＝（n－1）×（2^(n＋1)）＋2记忆方法：前面减去一个1，后面加一个，再整体加一个2.[这个不能推广，但是方法可以推广：错位相减]■[定理42]：1^2+2^2＋3^2＋…＋n^2＝n(n+1)[(2n+1)/6；1^3＋2^3＋3^3＋…＋n^3＝=(n+1)^2*n^2/4■[定理43]：空间向量三公式解决所有立体几何题目：cosA＝|｛向量a.向量b｝/[向量a的模×向量b的模]|一：A为线线夹角，二：A为线面夹角（但是公式中cos换成sin）三：A为面面夹角■注：以上角范围均为[0，派/2]。[说明：立体几何的建立空间直角坐标系非常重要]■[定理44]：切线长l＝√（d^2-r^2）d表示圆外一点到圆心得距离，r为圆半径，而d最小为圆心到直线的距离。■[定理45]：（a＋b＋c）^n的展开式[合并之后]的项数为：C(n+2)(2)，n+2在下，2在上■[定理46]：■，关于解决证明含ln的不等式的一种思路：爆强■■■：举例说明：证明1＋1/2＋1/3＋…＋1/n＞ln（n+1）把左边看成是1/n求和，右边看成是Sn。解：令an＝1/n，令Sn＝ln（n+1），则bn＝ln（n＋1）－lnn，那么只需证an＞bn即可，根据定积分知识画出y＝1/x的图。an＝1×1/n＝矩形面积＞曲线下面积＝bn。当然前面要证明1＞ln2。[■注：仅供有能力的童鞋参考！！另外对于这种方法可以推广，就是把左边、右边看成是数列求和，证面积大小即可。说明：前提是含ln。]说明：这类题目还有构造函数的方法。有时■[定理47]：关于一个重要绝对值不等式：∣|a|－|b|∣≤∣a±b∣≤∣a∣＋∣b∣■[定理48]：对于y^2＝2px，过焦点的互相垂直的两弦AB、CD，它们的和最小为8p。[爆强定理的证明：对于y^2＝2px，设过焦点的弦倾斜角为A.那么弦长可表示为2p/〔（sinA）^2〕，所以与之垂直的弦长为2p/[（cosA）^2]，所以求和再据三角知识可知。]■[定理50]：已知三角形中AB＝a，AC＝b，O为三角形的外心，则向量AO×向量BC（即数量积）＝(1/2)[b^2-a^2]强烈推荐！[★证明方法：过O作BC垂线，转化到已知边上]■[定理53]：常用结论：过(2p，0)的直线交抛物线y^2＝2px于A、B两点。O为原点，连接AO.BO。必有角AOB=90度。[证明方法：可以利用向量积为零证明垂直]■[定理54]：对于抽象函数的处理方法如下：柯西函数方程：若f（x）连续或单调（1）若f(xy)=f(x)＋f(y)

(x＞0,y＞0),则f(x)=㏒ax（2）若f(xy)=f(x)f(y)

(x＞0,y＞0),则f(x)=x^u(u由初值给出)

（3）f(x＋y)=f(x)f(y)

则f（x）=a^x（4）若f(x＋y)=f(x)＋f(y)＋kxy,则f(x)=ax²＋bx

（5）若f(x＋y)＋f(x－y)=2f(x),则f(x)=ax＋b特别的若f（x）+f（y）=f（x+y），则f（x）=kx.[对于抽象函数，基本思路是赋值，但不乏赋字母]■[定理58]：关于积化和差的推导：举例说明：要求将sinasinb化成和差形式，首先想一下在和角差角公式中出现的sinasinb[两个同名三角函数相乘必定是由于cos(a+b)与cos(a-b)引起]，请看式子：cos(a+b)＝cosacosb-sinasinb★，cos(a-b)＝cosacosb+sinasinb◆，要求出sinasinb，用◆-★即可，得到cos(a-b)-cos(a+b)＝2sinasinb，所以sinasinb＝-1/2[cos(a+b)-cos(a-b)]推导完毕。[其他同理：cosacosb＝1/2[cos(a+b)＋cos(a-b)]，sinacosb=1/2[sin(a+b)＋sin(a-b)]▲，cosasinb与▲其实是一样的b换成a，a换成b即可]这就是和差化积的所有内容！掌握原理很重要！■[定理59]和差化积的思想是角的演变：a=(a+b)/2＋(a-b)/2★，b=(a+b)/2－(a-b)/2▲，比如求sina-sinb只需把★、▲代入即可化简有sina－sinb＝2cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]其他同理。[说明：和差化积只可以求同名三角函数的和差化积，意思是不存在sina-cosb的化积。敬请注意]1的代换：例如万能公式的推导利用到这个：sin2a＝2sinacosa＝2sinacosa/1＝2sinacosa/[(sina)^2＋(cosa)^2]＝2tana/[1+(tana)^2]■[定理60]：万能公式的全部内容：sin2a＝2tana/[1＋(tana)^2]，cos2a＝[1-(tana)^2]/[1＋(tana)^2]，tan2a＝2tana/[1-(tana)^2][证明方法：前面两个用代换1，最后一个其实就是正切2倍角展开]■[定理61]：y=asin(bx＋m)为奇函数的充分必要条件是：m=kπ(k为整数)；为偶函数的充分必要条件是m=kπ+π/2。y=acos(bx＋m)为奇函数的充分必要条件是m=kπ＋π/2；为偶函数的充分必要条件是m=kπ.■[定理62]：从n个元素里取出m个互不相邻的元素的取法总数：C(n-m+1)(m)[注：n-m+1在下]■[定理64]：最有价值的恒等式：若f(x)的图像关于(a,b)成中心对称等价于f(x＋a)＋f(-x+a)＝2b，或者f(x)＋f(-x＋2a)＝2b。◆◆◆关于这个恒等式的利用价值如下：如果已知f(x)图像与g(x)图像关于(a，b)成中心对称，且f(x)的解析式已知，求g(x)的解析式。做法：写出恒等式即可，g(x)＋f(-x+2a)＝2b，所以g(x)＝2b-f(-x+2a)■[定理68]：关于辅助角公式：asint＋bcost＝[√(a^2+b^2)]sin(t+m)其中tanm＝b/a[条件：a>0]说明：一些的同学习惯去考虑sinm或者cosm来确定m，个人觉得这样太容易出错最好的方法是根据tanm确定m.(见上)。举例说明：sinx＋√3cosx＝2sin(x+m)，因为tanm＝√3，所以m=60度，所以原式＝2sin(x+60度)■[定理69]：对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证明如下:因为A+B=π-C，所以tan(A+B)=tan(π-C)即：(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证■[定理70]y=logaxy'=1/xlna；y=a^xy'=(a^x)lna[解题说明：这两个式子的求导比较冷门，但是并不代表不考，它是课本中明确给出的。而且对于这2个公式，我们必须会正反逆用，意思是会求定积分。举例说明：＄(1-2)(2^x)dx=？，解：2^x的原函数是2^x/ln2，所以原式=2^2/ln2-2/ln2＝2/ln2]■[定理73]：关于正方体被一个平面所截形成的图形问题：■[定理81]：■[定理82]：■[定理83]：■[定理87]：直线AB过原点，交椭圆(或者双曲线)于A、B两点P为椭圆(或双曲线)上异于A、B的任意一点，设直线PA，直线PB的斜率分别为k1，k2，则k1k2=e^2-1。(注：e表示曲线的离心率)[证明：假设A(x1，y1)，则B(-x1，-y1)，设P(x，y)，因为点A，P在曲线(以椭圆为例)上，所以符合x^2/a^2＋y^2/b^2=1★，x1^2/a^2＋y1^2/b^2=1◆，k1k2=[(y1-y)(-y1-y)]/[(x1-x)(-x1-x)]▲，用★-◆代入▲化简得k1k2=e^2-1。]■[定理91][转]：关于证明不等式的几种方法：◆1，导数论证函数单调性，极值；◆2，积分证明不等式：主要利用积分的2个性质（i）设x∈[a,b]，f（x），g（x）连续，f（x）≠g（x）.若f（x）≥（≤）g（x），则∫（b，a）f（x)dx＞（＜）∫（b,a）g（x)dx（ii）若an≤∫（n，n-1）f（x)dx≤bn，则∑ak≤∫（n，0）f（x）dx≤∑bk（PS：∫（b，a）f（x)dx表示从a积到b）例题：设a＞0，k∈N+证明：n^a/a+1＜∑k^a＜n^a+1/a+1证明：当x∈[k,k+1]时，k^a≤x^a两边从k积到k+1得k^a=∫（k+1,k)k^adx＜∫（k+1，k）x