一般的一元二次方程的解法配方法八年级数学上册尖子生培优题典2

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【沪教版】专题17.3一般的一元二次方程的解法：配方法姓名：__________________班级：______________得分：_________________考前须知：本试卷总分值100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题〔本大题共10小题，每题3分，共30分〕在每题所给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．〔2021秋•浦东新区期末〕用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣7＝0，那么方程变形为〔〕A．〔x﹣2〕2＝11B．〔x+2〕2＝11C．〔x﹣1〕2＝8D．〔x+1〕2＝8【分析】方程移项后，配方得到结果，即可作出判断．【解析】方程x2﹣2x﹣7＝0，移项得：x2﹣2x＝7，配方得：x2﹣2x+1＝8，即〔x﹣1〕2＝8．应选：C．2．〔2021秋•梁溪区期中〕用配方法解一元二次方程x2﹣3＝4x，以下配方正确的选项是〔〕A．〔x+2〕2＝2B．〔x﹣2〕2＝7C．〔x+2〕2＝7D．〔x﹣2〕2＝1【分析】将方程常数项移到右边，未知项移到左边，然后两边都加上4，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．【解析】x2﹣3＝4x，整理得：x2﹣4x＝3，配方得：x2﹣4x+4＝4+3，即〔x﹣2〕2＝7．应选：B．3．〔2021春•东阳市期末〕用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣9＝0，可变形为〔〕A．〔x﹣2〕2＝9B．〔x﹣2〕2＝13C．〔x+2〕2＝9D．〔x+2〕2＝13【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．【解析】∵x2﹣4x﹣9＝0，∴x2﹣4x＝9，那么x2﹣4x+4＝9+4，即〔x﹣2〕2＝13，应选：B．4．〔2021秋•浦东新区期中〕将一元二次方程x2+4x+1＝0变形为〔x+m〕2＝k的形式，正确的选项是〔〕A．〔x+2〕2＝1B．〔x+2〕2＝3C．〔x+2〕2＝4D．〔x+2〕2＝5【分析】方程配方得到结果，即可作出判断．【解析】方程整理得：x2+4x+4＝3，即〔x+2〕2＝3．应选：B．5．〔2021•青浦区二模〕用配方法解方程x2﹣4x+1＝0，配方后所得的方程是〔〕A．〔x﹣2〕2＝3B．〔x+2〕2＝3C．〔x﹣2〕2＝﹣3D．〔x+2〕2＝﹣3【分析】根据配方法可以解答此题．【解析】x2﹣4x+1＝0，〔x﹣2〕2﹣4+1＝0〔x﹣2〕2＝3，应选：A．6．〔2021秋•浦东新区校级月考〕用配方法解方程x2+5x+2＝0时，四个学生在变形时，得到四种不同的结果，其中配方正确的选项是〔〕A．〔x+52〕2=334B．〔xC．〔x+52〕2=254D．〔x【分析】根据配方法可以将题目中的方程进行变形，从而可以解答此题．【解析】x2+5x+2＝0x2+5x＝﹣2〔x+52〕2应选：D．7．〔2021秋•浦东新区期末〕以下方程配方正确的选项是〔〕A．x2﹣2x﹣1＝〔x+1〕2﹣1B．x2﹣4x+1＝〔x﹣2〕2﹣4C．x2﹣4x+1＝〔x﹣2〕2﹣3D．x2﹣2x﹣2＝〔x﹣1〕2+1【分析】配上一次项系数一半的平方，然后再整理即可得．【解析】A．x2﹣2x﹣1＝〔x+1〕2﹣2，此选项配方错误；B．x2﹣4x+1＝〔x﹣2〕2﹣3，此选项配方错误；C．x2﹣4x+1＝〔x﹣2〕2﹣3，此选项配方正确；D．x2﹣2x﹣2＝〔x﹣1〕2﹣3，此选项配方错误；应选：C．8．〔2021秋•闵行区期末〕用配方法解方程2x2﹣8x﹣3＝0时，原方程可变形为〔〕A．〔x﹣2〕2=-52B．〔x﹣2〕2=112C．〔x+2〕2＝7D．〔x﹣2【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得．【解析】∵2x2﹣8x﹣3＝0，∴2x2﹣8x＝3，那么x2﹣4x=3∴x2﹣4x+4=32+4，即〔x﹣2〕应选：B．9．〔2021春•西湖区校级月考〕假设P=13m﹣2，Q＝2m2-23m+1，那么A．P＞QB．P＜QC．P＝QD．不能确定【分析】利用求差法比拟大小，计算Q﹣P＝2m2-23m+1﹣〔13m﹣2〕，利用配方法得到Q﹣P＝2〔m-12〕2+【解析】Q﹣P＝2m2-23m+1﹣〔13m＝2m2﹣m+3＝2〔m2-12m+＝2〔m-12〕2∵2〔m-12〕2≥∴2〔m-12〕2+∴Q﹣P＞0，即Q＞P．应选：B．10．〔2021•眉山〕a2+14b2＝2a﹣b﹣2，那么3a-A．4B．2C．﹣2D．﹣4【分析】先将原方程化成非负数和为0的形式，再根据非负数的性质求得a、b，进而代入代数式求得结果．【解析】∵a2+14b2＝2a﹣b﹣∴a2﹣2a+1+14b2+b+1＝∴(a∴a﹣1＝0，12b+1＝0∴a＝1，b＝﹣2，∴3a-12b＝3+1＝应选：A．二、填空题〔本大题共8小题，每题3分，共24分〕请把答案直接填写在横线上11．〔2021秋•青浦区校级期中〕将方程x2﹣4x﹣3＝0用配方法化成〔x+a〕2＝b的形式，所得方程是〔x﹣2〕2＝7．【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤依次计算可得．【解析】∵x2﹣4x﹣3＝0，∴x2﹣4x＝3，那么x2﹣4x+4＝3+4，即〔x﹣2〕2＝7，故答案为：〔x﹣2〕2＝7．12．〔2021秋•浦东新区期中〕把方程x2﹣2＝4x用配方法化为〔x+m〕2＝n的形式，那么mn的值是﹣12．【分析】根据配方法即可求出答案．【解析】∵x2﹣2＝4x，∴x2﹣4x＝2，∴x2﹣4x+4＝2+4，∴〔x﹣2〕2＝6，∴m＝﹣2，n＝6，∴mn＝﹣12，故答案为：﹣1213．〔2021秋•龙湖区期末〕假设关于x的方程〔ax﹣1〕2﹣16＝0的一个根为2，那么a的值为52或-【分析】将x＝2代入原方程即可求出a的值．【解析】将x＝2代入〔ax﹣1〕2﹣16＝0，∴〔2a﹣1〕2﹣16＝0，∴2a﹣1＝±4，∴a1=52或a2故答案为：52或-14．〔2021春•如皋市期末〕方程x2﹣6x﹣2＝0，用配方法化为a〔x+b〕2＝c的形式为〔x﹣3〕2＝11．【分析】方程移项后，两边加上一次项系数一半的平方，变形得到结果，即可作出判断．【解析】方程x2﹣6x﹣2＝0，移项得：x2﹣6x＝2，配方得：x2﹣6x+9＝11，即〔x﹣3〕2＝11．故答案为：〔x﹣3〕2＝11．15．〔2021秋•大同区校级期中〕x2+y2﹣4x+6y+13＝0，求xy＝﹣6．【分析】先利用配方法对含x的式子和含有y的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出x和y的值，二者相乘可得答案．【解析】∵x2+y2﹣4x+6y+13＝0，∴〔x2﹣4x+4〕+〔y2+6y+9〕＝0，∴〔x﹣2〕2+〔y+3〕2＝0，∵〔x﹣2〕2≥0，〔y+3〕2≥0，∴〔x﹣2〕2＝0，〔y+3〕2＝0，∴x﹣2＝0，y+3＝0，∴x＝2，y＝﹣3．∴xy＝2×〔﹣3〕＝﹣6．故答案为：﹣6．16．〔2021秋•渭滨区期末〕如果方程x2+4x+n＝0可以配方成〔x+m〕2＝3，那么〔n﹣m〕2021＝1．【分析】先根据配方法求出m、n的值，再代入计算可得．【解析】∵x2+4x＝﹣n，∴x2+4x+4＝4﹣n，即〔x+2〕2＝4﹣n，又〔x+m〕2＝3，∴m＝2，n＝1，那么〔n﹣m〕2021＝〔1﹣2〕2021＝1，故答案为：1．17．〔2021秋•宁河县月考〕假设n＞0，且x取任意实数时，9x2+mx+36＝〔3x+n〕2恒成立，那么m﹣n＝30．【分析】将9x2+mx+36＝〔3x+n〕2右边展开，然后两边比拟系数，即可求得m和n的值，那么其差易求．【解析】将9x2+mx+36＝〔3x+n〕2右边展开得：9x2+mx+36＝9x2+6nx+n2∴m＝6n，n2＝36∵n＞0∴n＝6，m＝36∴m﹣n＝30故答案为：30．18．〔2021•日照二模〕对于实数p、q．我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，因此min{﹣π+2，-3〕＝-3；假设min{〔x+1〕2，x2}＝4，那么x＝2或﹣3【分析】根据新定义运算即可求出答案．【解析】∵﹣π+2＞-∴min{﹣π+2，-3}=-由于〔x+1〕2﹣x2＝x2+2x+1﹣x2＝2x+1，当2x+1＞0时，即x＞-∴min{〔x+1〕2，x2}＝x2，∴x2＝4，∴x＝2或x＝﹣2〔舍去〕，当2x+1＜0时，∴x＜-∴min{〔x+1〕2，x2}＝〔x+1〕2，∴〔x+1〕2＝4，∴x+1＝±2，∴x＝1〔舍去〕或x＝﹣3，当2x+1＝0时，此时x=-1∴min{〔x+1〕2，x2}＝〔x+1〕2＝x2，此时x2≠4，不符合题意，综上所述，x＝2或x＝﹣3．故答案为：-3，2或﹣3三、解答题〔本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤〕19．〔2021秋•浦东新区期末〕解方程：2x2+4x﹣7＝0．【分析】根据配方法的步骤依次计算可得．【解析】2x2+4x﹣7＝0，2x2+4x＝7，x2+2x=7x2+2x+1=72+1，即〔x+1〕∴x+1＝±32∴x1=-2+322，20．〔2021秋•潢川县期末〕解方程：2x2﹣5x+1＝0〔用配方法〕【分析】将常数项移到右边后把二次项系数化为1，再两边配上一次项系数一半的平方求解可得．【解析】∵2x2﹣5x＝﹣1，∴x2-52x∴x2-52x+2516=-12那么x-54=∴x=5±21．〔2021秋•惠山区校级月考〕解方程：〔1〕〔x﹣2〕2﹣9＝0；〔2〕x2﹣2x﹣5＝0．【分析】〔1〕首先移项，把﹣9移到方程的右边，再两边直接开平方即可；〔2〕方程移项后，利用配方法求出解即可．【解析】〔1〕移项得：〔x﹣2〕2＝9，两边直接开平方得：x﹣2＝±3，那么x﹣2＝3，x﹣2＝﹣3，解得：x1＝5，x2＝﹣1；〔2〕〔2〕方程移项得：x2﹣2x＝5，配方得：x2﹣2x+1＝6，即〔x﹣1〕2＝6，开方得：x﹣1＝±6，解得：x1＝1+6，x2＝1-22．〔2021春•成都期末〕〔1〕：a〔a+1〕﹣〔a2+b〕＝3，a〔a+b〕+b〔b﹣a〕＝13，求代数式ab的值．〔2〕等腰△ABC的两边分别为a、b，且a、b满足a2+b2﹣6a﹣14b+58＝0，求△ABC的周长．【分析】〔1〕首先将条件化简，进而得出a2﹣2ab+b2＝9①，a2+b2＝13②，把②代入①可得结论；〔2〕首先将等式配方后，根据非负性可得a和b的值，根据三角形三边关系和等腰三角形的定义可得结论．【解析】〔1〕a〔a+1〕﹣〔a2+b〕＝3，a2+a﹣a2﹣b＝3，a﹣b＝3，两边同时平方得：a2﹣2ab+b2＝9①，a〔a+b〕+b〔b﹣a〕＝13，a2+ab+b2﹣ab＝13，a2+b2＝13②，把②代入①得：13﹣2ab＝9，13﹣9＝2ab，∴ab＝2；〔2〕a2+b2﹣6a﹣14b+58＝0，a2﹣6a+9+b2﹣14b+49＝0，〔a﹣3〕2+〔b﹣7〕2＝0，∴a﹣3＝0，b﹣7＝0，∴a＝3，b＝7，当3为腰时，三边为3，3，7，因为3+3＜7，不能构成三角形，此种情况不成立，当7为腰时，三边为7，7，3，能构成三角形，此时△ABC的周长＝7+7+3＝17．23．〔2021春•正定县期末〕“a2≥0〞这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝〔x+2〕2+1，∵〔x+2〕2≥0，∴〔x+2〕2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法〞解决以下问题：〔1〕填空：x2﹣4x+5＝〔x﹣2〕2+1；〔2〕x2﹣4x+y2+2y+5＝0，求x+y的值；〔3〕比拟代数式：x2﹣1与2x﹣3的大小．【分析】〔1〕根据配方法的方法配方即可；〔2〕先配方得到非负数和的形式，再根据非负数的性质得到x、y的值，再代入得到x+y的值；〔3〕将两式相减，再配方即可作出判断．【解析】〔1〕x2﹣4x+5＝〔x﹣2〕2+1；〔2〕x2﹣4x+y2+2y+5＝0，〔x﹣2〕2+〔y+1〕2＝0，那么x﹣2＝0，y+1＝0，解得x＝2，y＝﹣1，那么x+y＝2﹣1＝1；〔3〕x2﹣1﹣〔2x﹣3〕＝x2﹣2x+2＝〔x﹣1〕2+1，∵〔x﹣1〕2≥0，∴〔x﹣1〕2+1＞0，∴x2﹣1＞2x﹣3．故答案为：﹣2，1．24．〔2021春•仪征市期末〕阅读理解：m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0∴〔m2﹣2mn+n2〕+〔n2﹣8n+16〕＝0．∴〔m﹣n〕2+〔n﹣4〕2＝0．∴〔m﹣n〕2＝0，〔n﹣4〕2＝0∴n＝4，m＝4．方法应用：〔1〕a2+b2﹣10a+4b+29＝0，求a、b的值；〔2〕x+4y＝4．①用含y的式子表示x：x＝4﹣4y；②假设xy﹣z2﹣6z＝10，求yx+z的值．【分析】〔1〕利用完全平方公式以及非负数的性质求解