有关线段垂直平分线大题专练八年级数学上册尖子生培优题典22

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题有关线段垂直平分线大题专练〔重难点培优〕姓名：__________________班级：______________得分：_________________考前须知：本试卷总分值试题共24题．解答24道..答卷前，考生务必用毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、解答题〔本大题共24题．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤〕1．〔2021春•吴中区月考〕如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线．〔1〕假设AC＝6，△ABD的周长是13，那么△ABC的周长是19；〔2〕假设△ABC中，∠B＝62°，∠C＝36°，求∠BAD的度数．【分析】〔1〕根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案；〔2〕根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据等腰三角形的性质求出∠DAC，计算即可．【详解】解：〔1〕∵DE是AC的垂直平分线，∴DA＝DC，∵△ABD的周长是13，∴AB+AD+BD＝AB+DC+BD＝AB+BC＝13，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝13+6＝19，故答案为：19；〔2〕在△ABC中，∠B＝62°，∠C＝36°，那么∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝82°，∵DA＝DC，∴∠DAC＝∠C＝36°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝82°﹣36°＝46°．2．如图，△ABC中，∠ABC＝25°，∠ACB＝55°，DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，E，G分别为垂足．〔1〕直接写出∠BAC的度数；〔2〕求∠DAF的度数；〔3〕假设BC的长为30，求△DAF的周长．【分析】〔1〕根据三角形内角和定理计算即可；〔2〕根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，FA＝FC，根据等腰三角形的性质得到∠DAB＝∠ABC＝25°，∠FAC＝∠ACB＝55°，结合图形计算，得到答案；〔3〕根据三角形的周长公式计算．【详解】解：〔1〕∵∠ABC＝25°，∠ACB＝55°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝100°；〔2〕∵DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，∴DA＝DB，FA＝FC，∴∠DAB＝∠ABC＝25°，∠FAC＝∠ACB＝55°，∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC＝20°；〔3〕△DAF的周长＝DA+DF+FA＝DB+DF+FC＝BC＝30．3．〔2021秋•兴化市期末〕如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点M、D，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点N、E，△ADE的周长是7．〔1〕求BC的长度；〔2〕假设∠B+∠C＝60°，那么∠DAE度数是多少？请说明理由．【分析】〔1〕根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，根据三角形的周长公式计算，得到答案；〔2〕根据等腰三角形的性质得到∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，根据三角形的外角性质、三角形内角和定理计算即可．【详解】解：〔1〕∵DM是线段AB的垂直平分线，∴DA＝DB，同理，EA＝EC，∵△ADE的周长为7，∴DA+DE+EA＝7，∴BC＝DA+DE+EC＝7；〔2〕∠DAE度数是60°，理由如下：∵DA＝DB，EA＝EC，∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，∵∠B+∠C＝60°，∴∠ADE+∠AED＝2∠B+2∠C＝120°，∴∠DAE＝180°﹣120°＝60°．4．〔2021秋•锡山区期中〕如图，△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，假设∠B＝25°，求∠CAE的度数．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B＝25°，根据直角三角形的性质计算，得到答案．【详解】解：∵DE垂直平分AB，∴EA＝EB，∵∠B＝25°，∴∠EAB＝∠B＝25°，∵∠C＝90°，∴∠CAB＝65°，∴∠CAE＝65°﹣25°＝40°．5．〔2021秋•宁德期末〕如图，在△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于点E，且AE=12BD，求证：BD是∠【分析】延长AE、BC交于点F．根据同角的余角相等，得∠DBC＝∠FAC；在△BCD和△ACF中，根据ASA证明全等，得AF＝BD，从而AE＝EF，根据线段垂直平分线的性质，得AB＝BF，再根据等腰三角形的三线合一即可证明．【详解】证明：延长AE、BC交于点F．∵AE⊥BE，∴∠BEF＝90°，又∠ACF＝∠ACB＝90°，∴∠DBC+∠AFC＝∠FAC+∠AFC＝90°，∴∠DBC＝∠FAC，在△ACF和△BCD中，∠∴△ACF≌△BCD〔ASA〕，∴AF＝BD．又AE=12∴AE=12AF＝EF，即点E是∵BE⊥AF∴DE是AF的垂直平分线∴AB＝BF，根据等腰三角形三线合一的性质可知：BD是∠ABC的角平分线．6．〔2021秋•余杭区月考〕如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B＝72°，∠FAE＝18°，求∠C的度数．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EC，根据等腰三角形的性质得到∠EAC＝∠C，根据角平分线的定义、三角形内角和定理列式计算，得到答案．【详解】解：∵DE是线段AC的垂直平分线，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠C，∴FAC＝∠EAC+∠EAF＝∠EAC+18°，∵AF平分∠BAC，∴BAC＝2∠FAC＝2∠EAC+36°＝2∠C+36°，∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∴72°+2∠C+36°+∠C＝180°，解得，∠C＝24°．7．〔2021春•滨州期末〕如图，在△ABC中，AB＝AC，作AB边的垂直平分线交直线BC于M，交AB于点N．〔1〕如图〔1〕，假设∠A＝40°，那么∠NMB＝20度；〔2〕如图〔2〕，假设∠A＝70°，那么∠NMB＝35度；〔3〕如图〔3〕，假设∠A＝120，那么∠NMB＝60度；〔4〕由〔1〕〔2〕〔3〕问，你能发现∠NMB与∠A有什么关系？写出猜测，并证明．【分析】〔1〕利用等腰三角形的性质求出∠B，再利用三角形内角和定理解决问题即可．〔2〕〔3〕〔4〕方法类似．【详解】解：〔1〕如图1中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB=12〔180°﹣40°〕＝∵MN⊥AB，∴∠MNB＝90°，∴∠NMB＝20°，故答案为20．〔2〕如图2中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB=12〔180°﹣70°〕＝∵MN⊥AB，∴∠MNB＝90°，∴∠NMB＝35°，故答案为35．〔3〕如图3中，如图1中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB=12〔180°﹣120°〕＝∵MN⊥AB，∴∠MNB＝90°，∴∠NMB＝60°，故答案为60．〔4〕结论：∠NMB=12∠理由：如图1中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB=12〔180°﹣∠∵MN⊥AB，∴∠MNB＝90°，∴∠NMB＝90°﹣〔90°-12∠A〕=18．〔2021秋•鄞州区期中〕如图，△ABC中，∠C＝45°，假设MP和NQ分别垂直平分AB和AC，CQ＝4，PQ＝3，求BC的长．【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AP＝BP，AQ＝CQ，求出∠AQP＝90°，根据勾股定理求出AP，即可得出BP，求出即可．【详解】解：∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，∴AP＝BP，AQ＝CQ，又∵∠C＝45°，∴∠AQC＝90°，∵PQ＝3，由勾股定理得BP＝5，∴BC＝BP+PQ+CQ＝12．9．〔2021秋•鄂托克旗期中〕如图，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，交AB于E、交AC于D，连接BD．〔1〕假设∠ABC＝∠C，∠A＝40°，求∠DBC的度数；〔2〕假设AB＝AC，且△BCD的周长为18cm，△ABC的周长为30cm，求BE的长．【分析】〔1〕首先计算出∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得AD＝BD，进而可得∠ABD＝∠A＝40°，然后可得答案；〔2〕根据线段垂直平分线的性质可得AD＝DB，AE＝BE，然后再计算出AC+BC的长，再利用△ABC的周长为30cm可得AB长，进而可得答案．【详解】解：〔1〕∵∠ABC＝∠C，∠A＝40°，∴∠ABC＝〔180°﹣40°〕÷2＝70°．∵DE是边AB的垂直平分线，∴AD＝DB，∴∠ABD＝∠A＝40°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°．〔2〕∵DE是边AB的垂直平分线，∴AD＝DB，AE＝BE，∵△BCD的周长为18cm，∴AC+BC＝AD+DC+BC＝DB+DC+BC＝18cm．∵△ABC的周长为30cm，∴AB＝30﹣〔AC+BC〕＝30﹣18＝12cm，∴BE＝12÷2＝6cm．10．〔2021春•中原区校级月考〕如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，交边AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．〔1〕假设AB＝3cm，求△CMN的周长．〔2〕假设∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．【分析】〔1〕根据线段垂直平分线的性质得到AM＝CM，BN＝CN，根据三角形的周长公式计算，得到答案；〔2〕根据三角形内角和定理求出∠MNF+∠NMF，进而求出∠A+∠B，结合图形计算即可．【详解】解：〔1〕∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，∴AM＝CM，BN＝CN，∴△CMN的周长＝CM+MN+CN＝AM+MN+BN＝AB＝3〔cm〕；〔2〕∵∠MFN＝70°，∴∠MNF+∠NMF＝180°﹣70°＝110°，∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，∴∠AMD+∠BNE＝∠MNF+∠NMF＝110°，∴∠A+∠B＝90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE＝180°﹣110°＝70°，∵AM＝CM，BN＝CN，∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，∴∠MCN＝180°﹣2〔∠A+∠B〕＝180°﹣2×70°＝40°．11．〔2021秋•溧水区期末〕如下图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D，DE垂直平分AC，垂足为点E．〔1〕证明∠BAD＝∠C；〔2〕∠BAD＝29°，求∠B的度数．【分析】〔1〕根据角平分线即可得到∠BAD＝∠DAE，依据DE垂直平分AC，即可得出∠DAE＝∠C，进而得到∠BAD＝∠C；〔2〕根据角平分线的定义求出∠BAC＝58°，根据线段的垂直平分线的性质得到AD＝DC，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．【详解】解：〔1〕∵AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠DAE，∵DE垂直平分AC，∴DA＝DC，∴∠DAE＝∠C，∴∠BAD＝∠C；〔2〕∵AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠DAE，∵∠BAD＝29°，∴∠DAE＝29°，∴∠BAC＝58°，∵DE垂直平分AC，∴AD＝DC，∴∠DAE＝∠DCA＝29°，∵∠BAC+∠DCA+∠B＝180°，∴∠B＝93°．12．〔2021秋•阜宁县校级月考〕如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．〔1〕假设BC＝10，求△ADE的周长；〔2〕设直线DM、EN交于点O．①试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由；②假设∠BAC＝100°，求∠BOC的度数．【分析】〔1〕根据垂直平分线性质得AD＝BD，AE＝EC．所以△ADE周长＝BC；〔2〕①如图，连接AO，BO，CO，根据线段垂直平分线的性质即可得到结论；②根据四边形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】解：〔1〕∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，∴AD＝BD，AE＝CE，C△ADE＝AD+DE+AE＝BD+DE+CE＝BC＝10；〔2〕①如图，点O在BC的垂直平分线上，理由：连接AO，BO，CO，∵DM，EN分别是AB，AC的垂直平分线，∴AO＝BO，OA＝OC，∴OB＝OC，∴点O在BC的垂直平分线上；②∵OM⊥AB，ON⊥AC，∴∠AMO＝∠ANO＝90°，∵∠BAC＝100°，∴∠MON＝360°﹣90°﹣90°﹣100°＝80°，∴∠BOC＝2∠MON＝160°．13．〔2021秋•台州期中〕如图，在△ABC中，线段BC的垂直平分线DE交AC于点D．〔1〕假设AB＝3，AC＝8，求△ABD的周长．〔2〕假设△ABD的周长为13，△ABC的周长为20，求BC的长．【分析】〔1〕根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，根据三角形的中周长公式计算即可；〔2〕根据三角形的周长公式和〔1〕中结论解答．【详解】解：〔1〕∵DE是线段BC的垂直平分线，∴DB＝DC，∴△ABD的周长＝AB+AD+DB＝AB+AD+DC＝AB+AC＝11；〔2〕∵△ABC的周长为20，∴AB+BC+AC＝20，∵△ABD的周长＝13，∴AB+AC＝13，∴BC＝20﹣13＝7．14．〔2021•瑞安市一模〕如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．〔1〕假设BC＝5，求△ADE的周长．〔2〕假设∠BAD+∠CAE＝60°，求∠BAC的度数．【分析】〔1〕直接利用线段垂直平分线的性质得出答案；〔2〕利用∠BAD+∠CAE＝60°，得出∠B+∠C＝∠DAB+∠EAC＝60°，进而得出答案．【详解】解：〔1〕∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，∴DA＝DB，EA＝EC，∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝DB+DE+EC＝BC＝5；〔2〕∵DA＝DB，EA＝EC，∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，∴∠B+∠C＝∠DAB+∠EAC＝60°，∴∠BAC＝120°．15．〔2021秋•卢龙县期末〕如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E．〔1〕假设AB＝10，那么△CDE的周长是多少？为什么？〔2〕假设∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．【分析】〔1〕依据线段垂直平分线的性质，即可得到△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB；〔2〕依据AD＝CD，BE＝CE，即可得到∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，再根据三角形内角和定理，即可得到∠A+∠B＝55°，进而得到∠ACD+∠BCE＝55°，再根据∠DCE＝∠ACB﹣〔∠ACD+∠BCE〕进行计算即可．【详解】解：〔1〕△CDE的周长为10．∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，∴AD＝CD，BE＝CE，∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10；〔2〕∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，∴AD＝CD，BE＝CE，∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，又∵∠ACB＝125°，∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°，∴∠ACD+∠BCE＝55°，∴∠DCE＝∠ACB﹣〔∠ACD+∠BCE〕＝125°﹣55°＝70°．16．〔2021秋•江夏区校级月考〕如图，∠BAC＝132°，假设DM、EN分别垂直平分AB、AC．〔1〕求∠DAE的度数；〔2〕假设BC＝6．求△ADE的周长．【分析】〔1〕根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，根据等腰三角形的性质、结合图形计算即可；〔2〕根据三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：〔1〕∵∠BAC＝132°，∴∠B+∠C＝180°﹣132°＝48°，∵DM、EN分别垂直平分AB、AC，∴DA＝DB，EA＝EC，∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，∴∠DAB+∠EAC＝48°，∴∠DAE＝∠BAC﹣〔∠DAB+∠EAC〕＝84°；〔2〕∵DA＝DB，EA＝EC，BC＝6．∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝BD+DE+EC＝BC＝6．17．〔2021秋•晋江市期末〕如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，BD垂直平分AE，垂足为F，交AC于点D，连接DE〔1〕假设△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，求AB的长；〔2〕假设∠ABC＝29°，∠C＝47°，求∠CDE度数．【分析】〔1〕根据线段垂直平分线的性质得到AB＝BE，AD＝DE，根据三角形周长公式即可得到结论；〔2〕根据三角形的内角和定理得到∠BAC＝104°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】解：〔1〕∵BD垂直平分AE，∴AB＝BE，AD＝DE，∵△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，∴AB+BE+AD+CD+CE＝18，CD+CE+DE＝6，∴2AB＝18﹣6＝12，∴AB＝6；〔2〕∵∠ABC＝29°，∠C＝47°，∴∠BAC＝104°，∵AB＝BE，∠ABC＝29°，∴∠BAE＝∠AEB=151°∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAE＝104°-151°∵AD＝DE，∴∠DAE＝∠DEA，∴∠CDE＝2∠DAE＝57°．18．〔2021秋•芜湖期中〕如下图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于D，E，垂足分别是M，N．〔1〕假设△ADE的周长为6，求BC的长；〔2〕假设∠BAC＝100°，求∠DAE的度数．【分析】〔1〕根据线段垂直平分线的性质得到AD＝BD，EA＝EC，根据三角形的周长公式计算，得到答案；〔2〕根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠BAD=12∠ADE，∠C＝∠EAC=1【详解】解：〔1〕∵DM和EN分别垂直平分AB和AC，∴AD＝BD，EA＝EC，∵△ADE的周长为6，∴AD+DE+EA＝6．∴BD+DE+EC＝6，即BC＝6；〔2〕∵DM和EN分别垂直平分AB和AC，∴AD＝BD，EA＝EC，∴∠B＝∠BAD=12∠ADE，∠C＝∠EAC=1∵∠BAC＝∠BAD+∠DAE+∠EAC＝∠B+∠DAE+∠C＝100°，∴∠B+∠C＝100°﹣∠DAE，在△ADE中，∠DAE＝180°﹣〔∠ADE+∠AED〕＝180°﹣〔2∠B+2∠C〕∴∠DAE＝180°﹣2〔100°﹣∠DAE〕∴∠DAE＝20°．19．〔2021春•郫都区期末〕如图，△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．〔1〕直接写出∠BAC的度数；〔2〕求∠DAF的度数，并注明推导依据；〔3〕假设△DAF的周长为20，求BC的长．【分析】〔1〕根据三角形内角和定理计算，得到答案；〔2〕根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质计算；〔3〕根据线段垂直平分线的性质、三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：〔1〕∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣50°＝100°；〔2〕∵DE是线段AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠ABC＝30°，同理可得，∠FAC＝∠ACB＝50°，∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC＝100°﹣30°﹣50°＝20°；〔3〕∵△DAF的周长为20，∴DA+DF+FA＝20，由〔2〕可知，DA＝DB，FA＝FC，∴BC＝DB+DF+FC＝DA+DF+FA＝20．20．〔2021秋•常德期末〕如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，∠B＝30°，∠BAC＝80°，且BC+AC＝12cm，〔1〕求∠CAE的度数；〔2〕求△AEC的周长．【分析】〔1〕可得AE＝BE，那么∠B＝∠BAE＝30°，可求出∠CAE的度数；〔2〕由AE＝BE，可求出结论．【详解】解：∵AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，∴BE＝AE，∴∠BAE＝∠B＝30°，又∵∠BAC＝80°，∴∠CAE＝∠BAC﹣∠BAE＝80°﹣30°＝50°；〔2〕∵AE＝BE，∴AE+CE+AC＝BC+AC＝12cm．即△AEC的周长为12cm．21．〔2021秋•博白县期末〕如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．〔1〕假设∠BAC＝50°，求∠EDA的度数；〔2〕求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．【分析】〔1〕在Rt△ADE中，求出∠EAD即可解决问题；〔2〕只要证明AE＝AC，利用等腰三角形的性质即可证明；【详解】〔1〕解：∵∠BAC＝50°，AD平分∠BAC，∴∠EAD=12∠BAC＝∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，∴∠EDA＝90°﹣25°＝65°．〔2〕证明∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°＝∠ACB，又∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAC，∵AD＝AD，∴△AED≌△ACD，∴AE＝AC，∵AD平分∠BAC，∴AD⊥CE，AD平分线段EC，即直线AD是线段CE的垂直平分线．22．〔2021秋•潮阳区期中〕如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，AC的垂直平分线BE与CD交于点F，与AC交于点E．〔1〕判断△DBC的形状并证明你的结论．〔2〕求证：BF＝AC．〔3〕试说明CE=12【分析】〔1〕根据条件得到∠BCD＝45°，求得BD＝CD，于是得到结论；〔2〕根据全等三角形的性质和判定即可得到结论；〔3〕根据线段垂直平分线的性质即可得到结论．【详解】解：〔1〕△DBC是等腰直角三角形，理由：∵∠ABC＝45°，CD⊥AB，∴∠BCD＝45°，∴BD＝CD，∴△DBC是等腰直角三角形；〔2〕∵BE⊥AC，∴∠BDC