课时112空间向量及其运算空间向量的数量积运算高二数学练习和分类专题教案

第一章空间向量与立体几何课时1.1.2空间向量的数量积运算掌握空间向量的夹角及其表示方法。掌握空间向量的数量积及其运算律。能用空间向量的数量积解决立体几何问题。根底过关练题组一数量积的概念及其运算1.以下各命题中,不正确的命题的个数为()①a·a=|a|；②m(λa)·b=(mλ)a·b(m,λ∈③a·(b+c)=(b+c)·a；④a2b=b2a.A.0B.3C.2D.12.正四面体ABCD的棱长为a,点E,F分别是BC,AD的中点,那么AE·AF的值为()A.a2B.12a2C.14a2D.33.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,设AB=a,AD=b,AA1=c,那么a·(b+c)的值为(A.1B.0C.-1D.-2题组二利用空间向量的数量积求夹角4.假设非零向量a,b满足|a|=|b|,(2a-b)·b=0,那么a与b的夹角为()A.30°B.60°C.120°D.150°5.空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=4,那么a与b的夹角为()A.30°B.45°C.60°D.以上都不对6.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线AC和BC1所成角的大小为()A.π3B.π2C.2π37.|a|=2,|b|=1,<a,b>=60°,那么使向量a+λb与λa-2b的夹角为钝角的实数λ的取值范围是.

题组三利用空间向量的数量积求距离(线段长度)8.a,b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a+3b|=()A.13B.13C.2D.59.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量AB,AD,AA1两两的夹角均为60°,且|AB|=1,|AD|=2,|AA1|=3,那么|AC1A.5B.6C.4D.810.如图,在120°的二面角α-l-β中,A∈l,B∈l,AC⊂α,BD⊂β且AC⊥AB,BD⊥AB,垂足分别为A,B,AC=AB=BD=6,那么线段CD的长为.

题组四利用空间向量的数量积证明垂直11.假设向量m垂直于向量a和b,向量n=λa+μb(λ,μ∈R且λ,μ≠0),那么()A.m∥nB.m⊥nC.m既不平行于n,也不垂直于nD.以上三种情况都有可能12.四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,连接AC,BD,PB,PC,PD,那么以下各组向量中,数量积不一定为零的是()A.PC与BDB.DA与PBC.PD与ABD.PA与CD13.|a|=32,|b|=4,m=a+b,n=a+λb,<a,b>=135°,m⊥n,那么λ=.

14.空间四边形OABC中,∠AOB=∠BOC=∠AOC,且OA=OB=OC,M,N分别是OA,BC的中点,G是MN的中点,用向量方法证明OG⊥BC.15.四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形,且PA⊥底面ABCD,如果BC⊥PB,求证四边形ABCD是矩形.能力提升练题组一利用空间向量的数量积求角度1.()直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,那么异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.32B.155C.102.()正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长相等,E为SC的中点,那么BE与SA所成角的余弦值为()A.13B.12C.33.()在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E,F分别是CC1,AD的中点,那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于()A.105B.155C.44.(多项选择)()在正方体ABCD-A1B1C1D1中,假设M是线段A1C1上的动点,那么以下结论正确的有()A.异面直线AM,BD所成的角为πB.异面直线CM,AB所成的角可为πC.异面直线CM,BD所成的角为πD.异面直线CM,B1B所成的角可为π5.()在长方体ABCD-A1B1C1D1中,BC=CC1=1,∠AD1B=π3,那么直线AB1与BC1所成角的余弦值为.

6.()如下图,在三棱锥A-BCD中,DA,DB,DC两两垂直,且DB=DC=DA=2,E为BC的中点.(1)证明:AE⊥BC；(2)求直线AE与DC所成角的余弦值.题组二利用空间向量的数量积求距离(长度)7.()如下图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,且AB=BC=1,CD=2,点E为CD的中点,那么AE的长为()A.2B.3C.2D.58.()如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱PA的长为2,且PA与AB、AD的夹角都等于60°,M是PC的中点,设AB=a,AD=b,AP=c.(1)试用a,b,c表示向量BM；(2)求BM的长.题组三利用空间向量的数量积证明垂直9.(多项选择)()长方体ABCD-A1B1C1D1,那么以下向量的数量积可以为0的是()A.AD1·B1CC.AB·AD1D.B10.()如下图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.证明:(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.答案全解全析根底过关练1.D①是向量模的计算公式,命题正确；②是向量数乘运算的结合律,命题正确；a·(b+c)=a·b+a·c=b·a+c·a=(b+c)·a,③命题正确；a2b与向量b共线,b2a与向量a共线,④命题不正确.应选D.2.C由题意得,AE·AF=12(AB+AC)·12AD=14·(AB·AD+AC·AD)=14×2×a×a×cos60°3.B由题意得a·(b+c)=a·b+a·c=0.4.B设a与b的夹角为θ.由(2a-b)·b=0得2a·b=b2,即2|a||b|cosθ=|b|2=|a|·|b|,∴cosθ=12,∴θ=60°5.D设a与b的夹角为θ.由a+b+c=0,得a+b=-c,两边平方,得a2+2a·b+b2=c2,所以4+2×2×3cosθ+9=16,解得cosθ=14,应选6.A设正方体的棱长为1,∵BC1=CC∴CA·BC1=CA·(CC1-CB)=-∴cos<CA,BC1>=CA·BC∴异面直线AC和BC1所成角的大小为π3易错警示向量夹角的取值范围是[0,π],而异面直线所成的角的取值范围是0,π2,因此利用数量积求异面直线所成角时,要注意角之间的关系,当<a,b>∈0,π2时,它们相等；当<a,b>∈π2,7.答案(-1-3,-1+3)解析a+λb与λa-2b的夹角为钝角,那么(a+λb)·(λa-2b)<0,且a+λb≠2b-λa,即λ2+2λ-2<0且-1λ≠λ2,解得-1-3<λ<-1+8.B(a+3b)2=a2+6a·b+9b2=1+6×1×1×12+9=13,那么|a+3b|=13,应选9.A|AC1|2=(AB+AD+AA1)2=|AB|2+|AD|2+|AA1|2+2AB·AD+2AB·AA1+2AA10.答案12解析因为AC⊥AB,BD⊥AB,所以CA·AB=0,BD·AB=0.又因为二面角α-l-β的平面角为120°,所以<CA,BD>=60°.所以|CD|2=(CA+AB+BD)2=|CA|2+|AB|2+|BD|2+2CA·AB+2CA·BD+2AB·BD=36+36+36+36=144,所以|CD|=12.11.B由得m·a=0,m·b=0,所以m·n=m·(λa+μb)=λm·a+μm·b=0,故m⊥n,应选B.12.A由PA⊥平面ABCD,及三垂线定理可知DA⊥PB,PD⊥AB,PA⊥CD,故B,C,D选项中两向量的数量积为零,无法判断PC与BD是否存在垂直关系,故数量积不一定为零.13.答案-3解析∵m⊥n,∴m·n=0,即(a+b)·(a+λb)=a2+(1+λ)a·b+λb2=18-12(1+λ)+16λ=0,解得λ=-3214.证明设OA=a,OB=b,OC=c,由题意得|a|=|b|=|c|,OG=12(OM+ON因为OM=12a,ON=12(b+c),所以OG=14(a+b+c),所以OG·BC=14(a+b+c)·(c-b)=14(a·c-a·b)+14(c2所以OG⊥BC.15.证明因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BC,所以PA·BC=0,又BC⊥PB,所以PB·BC=0.由AB=PB-PA,得AB·BC=(PB-PA)·BC=PB·BC-PA·BC=0,所以AB⊥BC,又四边形ABCD是平行四边形,所以四边形ABCD是矩形能力提升练1.C∵AB1=BB1-BA,BC∴AB1·BC1=BB1·BC+BB1·CC1-BA·BC易知|AB1|=5,|BC∴cos<AB1,BC1>=AB1·2.C设正四棱锥的侧棱长与底面边长均为a.由题意知,BE=12(BS+BC∴SA·BE=12(SA·BS+SA·BC)=12×a×a×-12+a×a×-12=-12a2.易得|BE|=32a,|SA|=a,∴cos<BE,3.B设AB=a,AD=b,AA1=c,且|a|=|b|=|c|=2,那么OE=12(a+b+c),FD1=12b+c,所以OE·FD1=12(a+b+c)·12b+c=12×12b2+c2=3,又|4.ABC设正方体的棱长为1,且C1M=λC1A1(0≤λ≤1),那么AM·BD=(AA1+A1M)·BD=AA1·BD+(1-λ)A1∵CM·AB=(CC1+C1M)·AB=CC1·AB+λ∴cos<CM,AB>=CM·AB|∴异面直线CM,AB所成角的余弦值为λ1+2又λ1+2λ2=12(0≤λ≤1)有解,CM·BD=(CC1+C1M)·BD=CC1·BD+λC1∵B1B∥C1C,∴CM与B1B所成的角等于CM与C1C所成的角,易得该角小于π2∴D不正确.应选ABC.5.答案14解析设AB=a,AD1=AA1+AD,BD1=那么AD1·BD1=AA1·BA+AA1·BB1+AA1·BC+|AD1|=2,|BD由22·2+a2=12,∵AB1=AA1+AB,BC1=BB1+BC,∴AB1·BC1=AA1·BB1+AA1·BC+∴cos<AB1,BC1>=AB6.解析(1)证明:AE=DE-DA=12(DB+DC)-DA,BC=DC-DB所以AE·BC=12DB+12DC=12DB·DC-12DB·DB+12DC·DC-12DC·DB=0-2+2-0-0+0=0,所以AE⊥BC.(2)AE·DC=12DB=12DB·DC+12DC·DC=0+2-0=2,|AE|=(2)2所以cos<AE,DC>=AE·DC|AE||即直线AE与DC所成角的余弦值为667.BAE2=(AB+BC+CE)=AB2+BC2+CE2+2AB·BC+2AB·CE+2=AB2+BC2=1+1+1=3,所以|AE|=3,应选B.方法总结用数量积求两点间距离的步骤:①用向量表示此距离；②用长度和夹角的向量表示此向量；③用公式a·a=|a|2,通过向量运算求|a|；④|a|即为所求距离.8.解析(1)∵M是PC的中点,∴BM=12(BC+BP∵AD=BC,BP=AP-AB,∴BM=12[AD+(AP-AB结合AB=a,AD=b,AP=c,得BM=12[b+(c-a)]=-12a+12(2)∵AB=AD=1,PA=2,∴|a|=|b|=1,|c|=2.∵AB⊥AD,∠PAB=∠PAD=60°,∴a·b=0,a·c=b·c=2×1×cos60°=1.由(1)知BM=-12a+12b+∴BM2=-12a+12b+12c2=1=14×(1+1+4-0-2+2)=3∴|BM|=62,即BM的长等于69.ABC假设AA1=AD,那么AD1⊥B1C,A正确；假设AB=AD,那么BD1⊥AC,B正确；∵AB⊥平面AA1D1D,∴AB⊥AD1,C正确；∵BD1和BC分别为矩形A1D1CB的对角线和边,∴两者不可能垂直,D错.应选ABC.10.证明(1)因为PA⊥底面ABCD,所以PA