2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第二册第4章数列4.1数列的概念第2课时数列的通项公式与递推公式课件

第四章数列4.1数列的概念第2课时数列的通项公式与递推公式1．借助教材实例理解递推公式的含义．2．能根据递推公式确定数列的前几项．1．了解数列递推公式的概念，知道递推公式是给出数列的一种方法．(数学抽象)2．能根据数列的递推公式写出数列．(逻辑推理)3．会应用数列的前n项和公式求数列的通项公式．(逻辑推理、数学运算)数列的递推公式

知识点

1数列的表示法意义结构通项公式an可以用关于_____的式子表示an＝f(n)递推公式数列的___________或_______之间的关系可以用一个式子表示an＝f(an－1)(n>1)n相邻两项多项想一想：递推公式与通项公式有怎样的区别与联系？提示：(1)与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式．(2)用递推公式给出一个数列，必须给出：①“基础”——数列{an}的第1项(或前几项)；②递推关系——数列{an}的任意一项an与它的前一项an－1(n≥2)(或前几项)间的关系，并且这个关系可以用一个公式来表示．练一练：已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋3，则a5＝_______.13数列{an}的前n项和

知识点

21．数列前n项和的概念我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝____________________.2．前n项和Sn与an的关系如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式．显然S1＝a1，而Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥2)，

于是我们有an＝_____________________.a1＋a2＋…＋an想一想：在已知数列{an}的前n项和Sn求该数列通项公式an时需要注意什么？提示：验证n＝1的情况是否适合．练一练：若{an}的前n项和Sn＝n3－2n2，则a5＋a6＝(

)A．86 B．112C．156 D．84B[解析]

Sn＝n3－2n2⇒a1＝－1，方法一：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n3－2n2－(n－1)3＋2(n－1)2＝n3－2n2－n3＋3n2－3n＋1＋2n2－4n＋2＝3n2－7n＋3，∴a5＝43，a6＝69，∴a5＋a6＝112.方法二：∵Sn＝n3－2n2，∴S6＝63－2×62＝144，S4＝43－2×42＝32，∴a5＋a6＝S6－S4＝112，故选B.关键能力•攻重难

(1)数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)，那么a4的值为(

)A．4 B．8C．15 D．31(2)已知数列{an}，a1＝1，a2＝2，an＝an－1＋an－2(n≥3)，则a5＝_____.题型探究题型一由递推公式写出数列的前几项典例1C8(3)根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前5项，并归纳出通项公式．①a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)；③a1＝3，an＋1＝3an－2(n∈N*)．[解析]

(1)因为数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)，所以a2＝2a1＋1＝2＋1＝3，a3＝2a2＋1＝6＋1＝7，a4＝2a3＋1＝14＋1＝15.(2)由题知a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝5，a5＝a4＋a3＝8.(3)①因为a1＝0，a2＝1，a3＝4，a4＝9，a5＝16，所以an＝(n－1)2.③因为a1＝3＝1＋2×30，a2＝7＝1＋2×31，a3＝19＝1＋2×32，a4＝55＝1＋2×33，a5＝163＝1＋2×34，所以an＝1＋2×3n－1.[规律方法]

由递推公式写数列的项(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．(2)解答这类问题时还需注意：若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式．(3)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．对点训练❶BC题型二由数列的递推公式求通项公式典例2＝ln(1＋n)－lnn，a1＝2，a2－a1＝ln2，a3－a2＝ln3－ln2，a4－a3＝ln4－ln3，…an－an－1＝lnn－ln(n－1)(n≥2)，以上各式相加得an＝2＋ln2＋(ln3－ln2)＋…＋[lnn－ln(n－1)]．所以an＝2＋lnn(n≥2)．因为a1＝2也适合上式，所以an＝2＋lnn.[规律方法]

1．用“累加法”求数列的通项公式当an－an－1＝f(n)(n≥2)满足一定条件时，常用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1累加来求通项an.2．用“累乘法”求数列的通项公式A．2＋nlnn B．2n＋(n－1)lnnC．2n＋nlnn D．1＋n＋nlnn对点训练❷CBA．an＝n－1 B．an＝n＋1C．an＝n D．an＝n＋2(2)a2＝22－2＋1＝3，a3＝9－6＋1＝4，所以可猜想an＝n＋1.故选B.题型三由前n项和Sn求通项公式典例3[规律方法]

由Sn求an的一般步骤第一步，令n＝1得a1；第二步，令n≥2得an；第三步，在第二步求得的an的表达式中取n＝1，判断其值是否等于a1；第四步，写出数列的通项公式(若第三步中n＝1时，an表达式的值不等于a1，则数列的通项公式一定要分段表示)．对点训练❸2×3n－1题型四数列单调性的判断

已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－n(n∈N*)，判断该数列的单调性．[解析]

方法一：an＝3n2－n，an＋1＝3(n＋1)2－(n＋1)，则an＋1－an＝3(n＋1)2－(n＋1)－(3n2－n)＝6n＋2>0(n∈N*)，即an＋1>an，故数列{an}是递增数列．方法二：an＝3n2－n，an＋1＝3(n＋1)2－(n＋1)，又易知an>0，故an＋1>an，即数列{an}是递增数列．典例4[规律方法]

判断数列是递增数列或递减数列，关键就是比较相邻两项an＋1，an的大小．(2)若数列{an}为递增数列，且an＝n2＋λn(n∈N*)，则实数λ应满足什么条件？对点训练❹由n∈N*，得an＋1－an>0，即an＋1>an.∴数列{an}是递增数列．(2)因为{an}为递增数列，所以an＋1>an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn，则λ>－2n－1.又n∈N*，故λ>－3.易错警示用函数思想解题时忽略数列的特征而致错

已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋tn，若数列{an}为递增数列，则t的取值范围是_______________