2023-2024学年人教A版必修第二册 8-2立体图形的直观图 学案

8.2立体图形的直观图【学习目标】(1)掌握斜二测画法的步骤．(2)会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图．【问题探究1】如图，矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状？眺望远处成块的农田，矩形的农田在我们眼里又是什么形状？题型1平面图形的直观图的画法【问题探究2】如图．(1)上图中，水平放置的正六边形，你看过去视觉如何？每条边还相等吗？(2)这种作图方法与在直角坐标系中画平面图的方法相同吗？(3)用斜二测画法画直观图时，平行的直线还平行吗？例1画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图．题后师说画平面图形的直观图的策略跟踪训练1画边长为1cm的正三角形的水平放置的直观图．题型2空间几何体的直观图的画法【问题探究3】我们可以把长方体看成底面ABCD沿着与底面垂直的方向平移后形成的几何体，依据这一点，如何作出长方体的直观图呢？例2画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图．(底面边长尺寸不作要求，侧棱长为2cm)学霸笔记：(1)画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可．(2)直观图画法口诀可以总结为：“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不变”．(3)当几何体的形状确定后，用斜二测画法画出相应几何体的直观图．注意用实线表示看得见的部分，用虚线表示看不见的部分，画完直观图后还应注意检验．跟踪训练2用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm、3cm、2cm的长方体ABCD-A′B′C′D′的直观图．题型3直观图的还原与计算例3如图，已知△ABC通过斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰直角三角形，则△ABC为()A．面积为22的等腰三角形B．面积为42的等腰三角形C．面积为22的直角三角形D．面积为42的直角三角形学霸笔记：1．直观图的还原技巧由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．2．直观图与原图形面积之间的关系若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有S′＝24S或S＝22S′.利用这一公式可由原图形面积求其跟踪训练3已知某平面图形的斜二测画法直观图是一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图所示，则该平面图形的面积是()A．1B．2C．2D．22随堂练习1．(多选)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是()A．三角形的直观图是三角形B．平行四边形的直观图是平行四边形C．正方形的直观图是正方形D．菱形的直观图是菱形2．利用斜二测画法画出边长为3cm的正方形的直观图，正确的是()3．若把一个高为10cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应画成()A．平行于z轴且大小为10cmB．平行于z轴且大小为5cmC．与z轴成45°且大小为10cmD．与z轴成45°且大小为5cm4．如图所示，等腰直角三角形O′A′B′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′B′＝2，则原图形的周长为________．课堂小结1.水平放置的平面图形的直观图的画法．2．空间几何体的直观图的画法．3．直观图的还原与计算．8．2立体图形的直观图问题探究1提示：它们都是平行四边形．问题探究2提示：(1)很直观；每条边不一定相等．(2)不相同．(3)在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小．例1解析：画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝12OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD(3)连接B′C′，D′A′，擦去坐标轴，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图．跟踪训练1解析：(1)如图所示，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的高线AO所在直线为y轴，再画对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.(2)在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝0.5cm，在y′轴上截取O′A′＝12AO＝3(3)连接A′B′、A′C′，擦去坐标轴，则△A′B′C′即为正三角形ABC的直观图．问题探究3提示：先作出底面的直观图，然后找一个与底面垂直的方向，将底面平移，就形成了长方体．例2解析：画法：(1)画轴．画x′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°.(2)画底面．根据x′轴，y′轴，画正六边形的直观图ABCDEF.(3)画侧棱．过A、B、C、D、E、F各点分别作z′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′都等于侧棱长2cm.(4)成图．顺次连接A′、B′、C′、D′、E′、F′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正六棱柱的直观图．跟踪训练2解析：(1)画轴．如图①所示，画x′轴、y′轴、z′轴，三轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°.(2)画底面．以点O′为中点，在x′轴上取线段MN，使MN＝4cm；在y′轴上取线段PQ，使PQ＝32cm.分别过点M和点N作y′轴的平行线，过点P和Q作x′轴的平行线，设它们的交点分别为A、B、C、D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD(3)画侧棱，过A、B、C、D各点分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2cm长的线段AA′、BB′、CC′、DD′.(4)成图．顺次连接A′、B′、C′、D′，并加以整理(擦掉辅助线，将被遮挡的线改为虚线)，就得到长方体的直观图(如图②)．例3解析：如图因为斜二测画法得到的直观图△A′B′C′是面积为2的等腰直角三角形，故A′C′＝A′B′＝2，C′B′＝22，∠A′C′B′＝45°，将直观图还原，则CB＝C′B′＝22，AC＝2A′C′＝4，∠ACB＝2∠A′C′B′＝90°，故所得三角形为直角三角形，面积为12×22×4＝42.故选答案：D跟踪训练3解析：A′D′＝1＝A′B′，所以O′D′＝2，还原如图所示，则OD＝2O′D′＝22，AB＝1，所以平面图形ABCD面积S＝|AB|·|OD|＝1×22＝22.故选D.答案：D[随堂练习]1．解析：由斜二测直观图的画法规则，平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变，可知三角形的直观图还是三角形，故A正确；平行四边形的直观图仍然是平行四边形，故B正确；正方形和菱形的直观图是平行四边形，故CD错误．故选AB.答案：AB2．解析：正方形