2023-2024学年人教A版必修第二册 8-4-1平面 学案

8.4.1平面【学习目标】(1)了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法．(2)能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系．(3)掌握关于平面基本性质的三个基本事实．【问题探究】(1)生活中的一些物体给我们以平面的感觉，如平静的湖面、整洁的教室桌面、美丽的大草原等，你能说出平面的一些几何特征吗？(2)在凹凸不平的地面上放一个三条腿的凳子和一个四条腿的凳子，哪个稳定？若把直尺边缘上的任何两点放在桌面上，直尺的边缘上的其余点和桌面有何关系？两张纸面相交有几条交线？题型1文字语言、图形语言、符号语言的相互转化例1用符号表示下列语句，并画出图形：(1)点A在平面α内但在平面β外；(2)直线a经过平面α内一点A，平面α外一点B；(3)直线a在平面α内，也在平面β内．学霸笔记：(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着先用文字语言表示，再用符号语言表示．(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．跟踪训练1根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形．(1)l⊂α，m∩α＝A，A∉l；(2)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α.题型2点、线共面问题例2如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.题后师说证明点、线共面的2种常用方法跟踪训练2如图，已知a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α题型3点共线问题例3如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q三点共线．题后师说证明三点共线的方法跟踪训练3已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图．求证：P、Q题型4线共点问题例4如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为AB、AA1的中点．求证：CE，D1F，DA三线交于一点．题后师说证明三线共点的一般步骤跟踪训练4如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l随堂练习1．若一直线a在平面α内，则正确的图形是()2．如果点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，则可以表示为()A．A⊂a，a⊂α，B∈αB．A∈a，a⊂α，B∈αC．A⊂a，a∈α，B⊂αD．A∈a，a∈α，B∈α3．如图所示，用符号语言可表示为()A．α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝B．α∩β＝m，n∈α，m∩nC．α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n4．不重合的三条直线，若相交于一点，最多能确定________个平面．课堂小结1.平面的概念．2．三个基本事实．3．利用三个基本事实证明共面、共线、共点问题．8．4.1平面问题探究提示：(1)无限延展、不计大小、不计厚薄等．(2)三条腿的凳子稳定；直尺的边缘上的其余点在桌面上；两张纸面相交有一条交线．例1解析：(1)因为点A在平面α内但在平面β外，所以可以用下图表示：(2)因为直线a经过平面α内一点A，α外一点B，所以可以用下图表示：(3)因为直线a在平面α内，也在平面β内，所以可以用下图表示：跟踪训练1解析：(1)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如下图所示：(2)直线l经过平面α外一点P和平面α上一点Q，如下图所示：例2证明：方法一(纳入法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1，l2，l3在同一平面内．方法二(同一法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．∴直线l1，l2，l3在同一平面内．跟踪训练2证明：因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β，所以直线a⊂β，点P∈β.因为P∈b，b⊂α，所以P∈α.又因为a⊂α，P∉a，所以α与β重合，所以PQ⊂α.例3证明：MN∩EF＝Q，∴Q∈直线MN，Q∈直线EF，又∵M∈直线CD，N∈直线AB，CD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴M，N∈平面ABCD，∴MN⊂平面ABCD.∴Q∈平面ABCD.同理，可得Q∈平面ADD1A1.又∵平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，∴Q∈直线AD，即D，A，Q三点共线．跟踪训练3证明：方法一∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由基本事实3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上．∴P、Q、R三点共线．方法二∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC⊂平面APR.∴Q∈平面APR，又∵Q∈α，∴Q∈PR.∴P、Q、R三点共线．例4证明：连接EF，D1C，A1B，∵E为AB的中点，F为AA1的中点，∴EF∥A1B，EF＝12A1B又∵A1B∥D1C，A1B＝D1C，∴EF∥D1C，EF＝12D1C∴E、F、D1、C四点共面，且四边形EFD1C为梯形．∵EF<D1C，∴直线D1F与CE交于一点．设D1F∩CE＝P，如图．∵D1F⊂平面AA1D1D，P∈D1F，∴P∈平面AA1D1D.又∵CE⊂平面ABCD，P∈CE，∴P∈平面ABCD，∴P是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点．又∵平面ABCD∩平面AA1D1D＝AD，∴P∈AD，∴CE，D1F，DA三线交于一点．跟踪训练4证明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB与CD必交于一点，设AB交CD于M.则M∈AB，M∈CD，又∵AB⊂α，CD⊂β，∴M∈α，M∈β，又∵α∩β＝l，∴M∈l，∴AB，CD，l共点．[随堂练习]1．解析：选项B、C中直线a在平面α外，选项D中直线a与平面α相交，选项A中直线a在平面α内．故选A.答案：A2．解析：点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，表示为A∈a，a⊂α，B∈α.故选B.答案：B3．