高中选修第一册《1.2空间向量基本定理》优质课教案教学设计x-高中数学教案

专题11空间向量基本定理★★★★学习目标★★★★1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题；2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念；3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．★★★★问题导学★★★★知识点一空间向量基本定理思考平面向量基本定量的内容是什么？答案如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中，不共线的e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．梳理(1)如果三个向量a，b，c共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c叫做基向量，空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．(2)基底选定后，空间所有向量均可由基底唯一表示，构成基底的三个向量a，b，c中，没有零向量．(3)单位正交基底：如果{e1，e2，e3}为单位正交基底，则这三个基向量的位置关系是两两垂直，长度为1；且向量e1，e2，e3有公共的起点．知识点二空间向量的坐标表示思考平面向量的坐标是如何表示的？答案在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj，这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是点A的坐标，即若＝(x，y)，则A点坐标为(x，y)，反之亦成立(O是坐标原点)．梳理(1)设e1，e2，e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底)，以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz，那么对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3，我们把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)，此时向量p的坐标恰是点P在空间直角坐标系Oxyz中的坐标(x，y，z)．(2)向量p的坐标是把向量p的起点平移到坐标原点O，则的终点P的坐标就是向量p的坐标，这样就把空间向量坐标化了.★★★★题型探究★★★★类型一空间向量的基底例1若{a，b，c}是空间的一个基底．试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底？解假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ、μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c.∵{a，b，c}为基底，∴a，b，c不共面．∴此方程组无解．∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．反思与感悟空间向量有无数个基底．判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断．跟踪训练1以下四个命题中正确的是________．①空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示；②若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量；③如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线；④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．答案②③解析因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故①不正确；②正确；由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以做基底，故③正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故④不正确．类型二用基底表示向量例2如图，已知正方体OABC­O′A′B′C′，且＝a，＝b，＝c.(1)用a，b，c表示向量；(2)设G，H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示.【答案】（1）详见解析；（2）【解析】(1)＝＋＝＋＋＝.＝＋＝＋＋＝＋－＝.(2)＝＝＝－(＋)＋(＋)＝－()＋(＋)＝(c－b)．反思与感悟求解空间向量在某基底下的坐标的关键：一是运用空间向量的基本定理，二是理解空间向量的坐标表示的意义．跟踪训练2在四棱锥P­ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC与BD交于点O，G为BD上一点，BG＝2GD，＝a，＝b，＝c，试用基底{a，b，c}表示向量.【答案】a－b＋c.【解析】，又故答案为类型三应用空间向量坐标表示解题例3（2020·黑龙江高二期末（理））是空间的一个单位正交基底，在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意向量，设向量在基底下的坐标为，，所以向量在基底下的坐标为，故选A．反思与感悟(1)注意向量的坐标顺序必须与基底中的基向量对应，即若基底为{e1，e2，e3}，a＝λe1＋μe2＋ke3，则a的坐标为(λ，μ，k)．(2)eq\o(AB,\s\up6(→))的坐标等于终点B的坐标减去起点A的坐标．跟踪训练3已知点在基底下的坐标为，其中，，，则点在基底下的坐标是()A． B．C． D．【答案】A【解析】∵点在基底下的坐标为，∴，∴点在基底下的坐标是。故选：A★★★★综合训练★★★★一、单选题1．（2020·延安市第一中学高二月考（理））如图，空间四边形OABC中，，点M是OA的中点，点N在BC上，且，设，则x，y，z的值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意，所以.故选：C.2．（2020·九台市第四中学高二期末（理））如图，正四棱锥中，已知，，，，则（）A． B．C． D．【答案】A【解析】如图所示：连接交点为O，则，又，所以，又，所以.故选：A.3．（2020·四川省绵阳南山中学高二月考（理））已知空间四边形，其对角线为，，，分别是边，的中点，点在线段上，且使，用向量，，表示向量是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】,,故选：C．4．（2020·四川省武胜烈面中学校高二开学考试（理））已知三棱锥，点分别为的中点，且，用，，表示，则等于()A． B．)C． D．【答案】D【解析】，故选D.5．（2020·广东省普宁市华美实验学校高三月考（文））如图所示，在平行六面体中，设，，，是的中点，试用，，表示（）A． B． C． D．【答案】A【解析】是的中点，.故选：A.6．（2020·吴起高级中学高二月考（理））一个向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为向量在基底下的坐标为，所以，设在基底下的坐标为，所以，有，，，在基底下的坐标为.故选：B.7．（2020·四川省绵阳南山中学高二月考（理））给出下列命题：①已知，则；②为空间四点，若不构成空间的一个基底，那么共面；③已知，则与任何向量都不构成空间的一个基底；④若共线，则所在直线或者平行或者重合．正确的结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】对于①，若，则，故，故①正确；对于②，若不构成空间的一个基底，这3个向量共线面，故共面，故②正确；对于③，当时，若与不共面，则可构成空间的一个基底，故③不正确；对于④，根据向量共线的定义可得其成立，故④正确；故选：C8．（2020·六盘山高级中学高二期末（理））已知向量是空间的一组基底，则下列可以构成基底的一组向量是（）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【解析】，，，共面，不能构成基底，排除；，，，共面，不能构成基底，排除；，，，共面，不能构成基底，排除；若、，共面，则，则、、为共面向量，此与为空间的一组基底矛盾，故、，可构成空间向量的一组基底．故选：．9．（2020·陕西省西北工业大学附属中学高二月考（理））若为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】A：因为，所以向量是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；B：因为，所以向量是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；C：因为为空间的一组基底，所以这三个向量不共面.若不构成一组基底，则有，所以向量是共面向量，这与这三个向量不共面矛盾，故假设不正确，因此能构成一组基底，D：因为，所以向量是共面向量，因此不能构成一组基底.故选：C10．（2020·广东省深圳中学高二期中（理））以下命题①是共线的充要条件；②若是空间的一组基底，则是空间的另一组基底；③．其中正确的命题有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【解析】①，共线，反之不成立，是，共线的充分不必要条件，因此不正确；②若，，是空间的一组基底，假设共面，则存在唯一一组实数，使成立，即，所以，显然无解，假设不成立，即不共面，则，，是空间的另一组基底，正确；③，而不一定等于1，因此不正确．其中正确的命题有一个．故选：．11．（2020·上海市七宝中学高三开学考试）如图，在斜三棱柱中，的中点为，，则可用、、表示为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为.故选：A.12．（2020·湖北省高二期中）已知向量，，是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，若向量在基底，，下的坐标为，则它在下的坐标为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】设向量，，；则向量，，又向量，不妨设，则，即，解得，所以向量在下的坐标为．故选：．二、填空题13．（2020·西宁市海湖中学高二月考（理））下列关于空间向量的命题中，正确的有______.①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则；②若非零向量，，满足，，则有；③若，，是空间的一组基底，且，则，，，四点共面；④若向量，，，是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底.【答案】①③④【解析】对于①：若向量，与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即，故①正确；对于②：若非零向量，，满足，，则与不一定共线，故②错误；对于③：若，，是空间的一组基底，且，则，即，可得到，，，四点共面，故③正确；对于④：若向量，，，是空间一组基底，则空间任意一个向量，存在唯一实数组，使得，则，，也是空间的一组基底，故④正确.故答案为：①③④14．（2020·湖北省高二期末（理））已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若x，则x+y+z=_____.【答案】【解析】如图,根据条件:,又,∴由空间向量基本定理得,故答案为:15．（2020·上海中学高三其他）在平行六面体中,,,,试用､､表示_____.【答案】【解析】，故答案为:.16．（2020·内蒙古自治区高二月考）已知向量{，，}是空间的一个单位正交基底，向量{+，-，}是空间另一个基底，若向量在基底{+，-，}下的坐标为（，-，3）则在基底{，，}下的坐标为______．【答案】（1，2，3）【解析】∵向量在基底{+，-，}下的坐标为（，-，3）∴向量=（+）-（-）+3=+2+3，故在基底{，，}下的坐标为（1，2，3），故答案为：（1，2，3）．三、解答题17．（2020·绵竹市南轩中学高二月考（理））如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，，（1）用表示；（2）求对角线的长；（3）求【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）连接,，，如图：，，在，根据向量减法法则可得：底面是平行四边形且又为线段中点在中（2）顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是由（1）可知平行四边形中故：故：对角线的长为：.（3），又18．（2020·三亚华侨学校高二期中）如图，在平行六面体中，两两夹角为60°，长度分别为2，3，1，点P在线段BC上，且，记.（1）试用表示；（2）求模.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），.（2）因为AB，AD，两两夹角为60°，长度分别为2，3，1.所以，..19．（2020·济南市历城第二中学高二月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于，是PC的中点，设．（1）试用表示出向量；（2）求的长．【答案】（1）（2）【解析】（1）∵是PC的中点，∴（2）.20．（2020