新教材152全称量词命题与存在量词命题的否定学案

1．全称量词命题与存在量词命题的否认教材要点要点含有量词命题的否认命题的类型全称量词命题存在量词命题命题的符号表示p：∀x∈M，p(x)p：∃x∈M，p(x)命题的否认的符号表示¬p：________________¬p：________________命题的否认的类型存在量词命题全称量词命题状元随笔存在量词命题的否认，一般是在存在量词前加“不〞或者把存在量词改为全称量词的同时对判断词进行否认，存在量词命题的否认是全称量词命题；全称量词命题的否认，一般是在全称量词前加上“并非〞，或把全称量词改为存在量词的同时对判断词进行否认，全称量词命题的否认是存在量词命题．根底自测1.思考辨析(正确的画“√〞，错误的画“×〞)(1)用自然语言描述的全称量词命题的否认形式是唯一的．()(2)命题¬p的否认是p.()(3)∃x∈M，p(x)与∀x∈M，¬p(x)的真假性相反．()(4)对全称量词命题或存在量词命题进行否认时，量词不需要变，只否认结论即可．()2．命题：∃n∈N，n2＞3n＋5，那么该命题的否认为()A．∀n∈N，n2＞3n＋5B．∀n∈N，n2≤3n＋5C．∃n∈N，n2≤3n＋5D．∃n∈N，n2＜3n＋53．命题p：∀x∈R，x2－x＋1＞0，那么¬p()A．∃x∈R，x2－x＋1≤0B．∀x∈R，x2－x＋1≤0C．∃x∈R，x2－x＋1＞0D．∀x∈R，x2－x＋1≥04．命题“有些三角形的三条中线相等〞的否认是________________________．题型1全称量词命题的否认例1(1)命题“对任意x∈R，都有x2≥0〞的否认为()A．对任意x∈R，都有x2＜0B．不存在x∈R，使得x2＜0C．存在x∈R，使得x2≥0D．存在x∈R，使得x2＜0(2)写出以下全称量词命题的否认：①任何一个平行四边形的对边都平行．②∀a∈R，方程x2＋ax＋2＝0有实数根．③∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解．④可以被5整除的整数，末位是0.方法归纳全称量词命题的否认的两个关注点(1)写出全称量词命题的否认的关键是找出全称量词命题的全称量词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否认的形式就得到命题的否认．(2)有些全称命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否认写成“是〞或“不是〞．跟踪训练1(1)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．假设命题p：∀x∈A，2x∈B，那么()A．¬p：∃x∈A，2x∈BB．¬p：∃x∉A，2x∈BC．¬p：∃x∈A，2x∉BD．¬p：∀x∉A，2x∉B(2)命题“∀x＞0，xx-1＞0〞的否认是A．∃x＞0，xx-1≤0B．∃x＞0，0≤x≤C．∀x＞0，xx-1≤0D．∀x＜0，0≤x≤题型2存在量词命题的否认例2(1)命题p：∃x＞0，x＋1x＝2，那么¬p为A．∀x＞0，x＋1x＝2B．∀x＞0，x＋1xC．∀x≤0，x＋1x＝2D．∀x≤0，x＋1x(2)写出以下存在量词命题的否认，并判断其真假．①p：存在x∈R，2x＋1≥0.②q：存在x∈R，x2－x＋14＜③r：有些分数不是有理数．方法归纳存在量词命题否认的方法及关注点(1)方法：与全称量词命题的否认的写法类似，要写出存在量词命题的否认，先确定它的存在量词，再确定结论，然后把存在量词改写为全称量词，对结论作出否认就得到存在量词命题的否认．(2)关注点：注意对不同的存在量词的否认的写法，例如，“存在〞的否认是“任意的〞，“有一个〞的否认是“所有的〞或“任意一个〞等．跟踪训练2(1)命题“∃x∈∁RQ，x3∈Q〞的否认是()A．∃x∈∁RQ，x3∉QB．∃x∉∁RQ，x3∈QC．∀x∉∁RQ，x3∉QD．∀x∈∁RQ，x3∉Q(2)写出以下存在量词命题的否认，并判断真假：①∃x，y∈Z，3x－4y＝20.②在实数范围内，有些一元二次方程无解．题型3根据全称量词命题、存在量词命题的否认求参数例3命题p：∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0，q：∃x∈R，ax2＋ax＋1≤0.(1)假设¬p为真命题，求实数a的取值范围；(2)假设¬q为真命题，求实数a的取值范围．变式探究本例条件不变，假设¬p与¬q同时为真命题，求实数a的取值范围．方法归纳根据命题真假求参数的范围的两个关注点(1)命题和它的否认的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化．(2)求参数范围问题，通常根据有关全称量词和存在量词命题的意义列不等式求范围．跟踪训练3命题p：∀x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，且¬p是假命题，求实数a的取值范围．易错辨析对含量词的命题否认不准确致误例4命题“∃x＜1，1x＜1〞的否认是________解析：存在量词命题的否认是全称量词命题，否认时，既改量词，又否结论，∴原命题的否认是∀x＜1，0≤x≤1.答案：∀x＜1，0≤x≤1易错警示易错原因纠错心得易出现的错误是：①改量词的同时错改范围，即写成∀x≥1；②“1x＜1〞的否认写成“1x>1〞，忽略“1x＜1〞的否认是“0≤x≤牢记命题的否认与原命题的真假性相反，可以以此来检验命题的否认是否正确．课堂十分钟1．命题：“∀x≥0，x3＋x≥0〞的否认是()A．∀x＜0，x3＋x＜0B.∀x＜0，x3＋x≥0C．∃x≥0，x3＋x＜0D.∃x≥0，x3＋x≥02．命题p：“有些三角形是等腰三角形〞的否认是()A．有些三角形不是等腰三角形B．所有三角形是等边三角形C．所有三角形不是等腰三角形D．所有三角形是等腰三角形3．以下四个命题中，真命题是()A．∀x∈R，x＋1x≥B．∃x∈R，x2－x＞5C．∃x∈R，|x＋1|＜0D．∀x∈R，|x＋1|＞04．命题p：∃x∈R，x2＋3x＋2＜0，那么命题p的否认为________．5．命题“∃x∈R，2x2＋3x＋a≤0〞是假命题，求实数a的取值范围．生活中的命题及逻辑推理问题例1除夕夜，万家团圆之时，中国人民解放军陆、海、空三军医疗队驰援武汉．“在疫情面前，我们中国人民解放军誓死不退！不获胜利决不收兵！〞这里“获取胜利〞是“收兵〞的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由题意可得，“获取胜利〞是“收兵〞的必要条件．答案：B例2设S是由任意n(n≥5)个人组成的集合，如果s中任意4个人当中都至少1个人认识其余3个人(此题中的认识是相互的，即不存在甲认识乙而乙不认识甲的情况)，那么下面的判断中正确的选项是()A．S中没有人认识S中所有的人B．S中至少有1人认识S中所有的人C．S中至多有2人认识不全S中所有的人D．S中至多有2人认识S中所有的人解析：如果S中所有人都相互认识，显然这样的S符合题目条件，从而A，D都是错误的；又设a，b，c是S中的三个人，a，b，c三人间相互不认识，而除a，b，c之外其他(n－3)个人认识所有的人，显然这样的集合符合要求，故C是错误的．假设集合S中任何两个人不都互相认识，那么不妨设甲、乙互相不认识．任取另外两个人，设为丙、丁．依题意知，甲、乙、丙、丁这四个人必有一个人认识其余3个人，显然，这个人不可能是甲，也不可能是乙，不妨设为丙，那么丙认识丁(当然也认识甲和乙)．再在剩下的人中另取一个人戊，并考虑甲、乙、丙、戊，依题意知丙与戊也必相互认识，从而可知丙认识S中所有的人，故B是正确的．答案：B例3运动会上，甲、乙、丙三名同学各获得一枚奖牌，其中1人得金牌、1人得银牌、1人得铜牌．王老师曾猜想“甲得金牌、乙不得金牌、丙不得铜牌〞，结果王老师只猜对了一人，那么甲、乙、丙分别获得______、______、______牌．解析：先设王老师猜对的是“甲得金牌〞，那么“乙不得金牌〞是错的，故乙也得金牌，产生矛盾．再设“乙不得金牌〞是对的，那么“甲得金牌〞是错的，故甲也不得金牌，只有丙得金牌，而“丙不得铜牌〞是错的，故丙得铜牌，产生矛盾．故猜对的是“丙不得铜牌〞，此时甲、乙、丙分别得铜、金、银牌．答案：铜金银例4住同一房间的四名女生A，B，C，D，在某天下午课外活动时间中，有一人在看书，有一人在梳头发，有一人在听音乐，另外一人在修剪指甲，每个人都做着不一样的事情，有以下五个命题：(1)A不在修剪指甲，也不在看书；(2)B不在听音乐，也不在修剪指甲；(3)假设C在修剪指甲，那么A在听音乐；(4)D不在看书，也不在修剪指甲；(5)C不在看书，也不在听音乐．假设上面的命题都是真命题，问：她们各自在干什么？解析：由以上五个命题都是真命题，我们可以列表如下：ABCD修剪指甲不在做不在做不在做看书不在做不在做不在做梳头发听音乐不在做不在做由表格看出，C在修剪指甲，B在看书，又由命题(3)可知A在听音乐，最后推出D在梳头发．答案：见解析例5主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五打说：“临时有急事，不能去了，〞主人听了，随口说了句：“该来的没有来．〞张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了．主人愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了．〞李四听了大怒，拂袖而去．请你用逻辑学原理解释二人离去的原因．解析：张三走的原因是：“该来的没有来〞的等价命题是“来了不该来的〞，张三觉得自己是不该来的．李四走的原因是：“不该走的又走了〞的等价命题是“没走的应该走〞，李四觉得自己是应该走的．答案：见解析1．全称量词命题与存在量词命题的否认新知初探·课前预习要点∃x∈M，¬p(x)∀x∈M，¬p(x)[根底自测]1．(1)×(2)√(3)√(4)×2．答案：B3．答案：A4．答案：所有三角形的三条中线都不相等题型探究·课堂解透例1解析：(1)全称量词的否认是存在量词命题．“对任意x∈R，都有x2≥0〞的否认为“存在x∈R，使得x2<0〞，应选D.(2)①存在一个平行四边形，它的对边不都平行．②∃a∈R，方程x2＋ax＋2＝0没有实数根．③∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．④存在被5整除的整数，末位不是0.跟踪训练1解析：(1)全称量词命题的否认是存在量词命题，将“∀〞改为“∃〞，“2x∈B〞否认为“2x∉B〞，即¬p：∃x∈A，2x∉B，应选C.(2)∵xx-1>0，∴x<0或x>1，∴命题“∀x>0，xx-1>0〞的否认是“∃x>0，0≤x≤1〞，答案：(1)C(2)B例2解析：(1)存在量词命题的否认是全称量词命题，“∃x＞0，x＋1x＝2〞的否认为“∀x＞0，x＋1x≠2〞(2)①任意x∈R，2x＋1<0，为假命题．②任意x∈R，x2－x＋14≥0，因为x2－x＋14＝x-122答案：(1)B(2)见解析跟踪训练2解析：(1)“∃x∈∁RQ，x3∈Q〞的否认是“∀x∈∁RQ，x3∉Q〞．应选D.(2)①该命题的否认：∀x，y∈Z，3x－4y≠20，当x＝4，y＝－2时，3x－4y＝20.因此这是一个假命题．②该命题的否认：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解，这是一个假命题．答案：(1)D(2)见解析例3解析：(1)因为命题p：∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0，所以¬p：∃x∈R，ax2＋2x＋1＝0.因为¬p为真命题，所以a＝0，或a≠0解得a＝0，或a≤1且a≠0，所以a≤1，即实数a的取值范围为{a|a≤1}．(2)因为命题q：∃x∈R，ax2＋ax＋1≤0.所以¬q：∀x∈R，ax2＋ax＋1>0.因为¬q为真命题，所以a＝0，或a>0解得a＝0，或0<a<4，所以0≤a<4，即实数a的取值范围为{a|0≤a<4}．变式探究解析：由本例解题过程可知{a|a≤1}∩▒{a|0≤a<4}＝{a|0≤a≤1}，即实数a的取值范围