2023年中考数学知识考点梳理

中考数学知识考点梳理

考点01正数和负数

1.正数：像1,2,3,4,0.1等这样大于0的数叫作正数。正数的前面的“+”可以省略不写。

2.负数：像-0.2,-2,-6这样在正数前面加上符号（负号）的数叫作负数。

3.注意事项：

（1）。既不是正数也不是负数，。是正数和负数的分界线；

（2）对于正数和负数，不能简单地理解为常“+”号的数就是正数，带负号的额就是负数，要根据正负数

的含义，看其是符合正数的定义还是符合负数的定义。

4.正负习惯：习惯上把零上、熠加、前进、海平面以上、收入、向南、盈利、上升等记为正，把与它们意

义相反的里记为负。

考点02有理数与数轴

1.有理数定义：正整数、0、负整数统称整额，正分数、负分数统称分数，整数和分数统称有理数。

2.有理数的分类

考点02有理数与数轴

1.有理数定义：正整额、0、负整数统称整数，正分数'负分数统称分数，整数和分数统称有理数。

2.有理数的分类

3.注意：

（1）整数可以看成是分母为1的分数，所以有理数都可以写成分数的形式；有限小数和无限循环小数都可

以写成分数形式，所以有限小数和无限循环小数都是有理数。

（2）正数和零统称为非负数；负额和零统称为非正数。

4.霎的作用

（1）表示额的性质，例如o是自然数；

（2）表示没有，例如有5个本子，用也表示，没有本子用。表示；

（3）表示正数与负数的分界。

5.数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。数轴的三要素即原点、正方向和单位长度。

6.额轴上的点与有理数

有理数都可以用数轴上的点来表示，任何一个有理数都能在数轴上找到与它对应的点，而且是唯一的点，

但数轴上的点不一定都是有理数。

考点03相反数和绝对值

1.相反数的代数意义：只有符号不同的两个数叫作互为相反数，把其中一个数叫作另一个数的相反数。。的

相反数是0.

2.相反数的几何意义：两个互为相反数的数在数轴上所表示的点在原点的两侧且到原点的距离相等；这两

点关于原点对称。

3.多重符号的化词：数字前面的号的个数若有偶数个，化简结果为正；有奇数个时，花间结果为负。

4.相反数的性质：如果。、6互为相反数，那么。+6=0或a=-b或b=-a；反过来，如果a+b=0，

那么。、6互为相反数。

5.绝对值的概念：在数轴上，表示。的点到原点的距离，叫作数。的绝对值，记作|。|，读作。的绝对值。

6.绝对值的意义：

（1）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离。距离原点越远，绝对值

越大，距离原点越近，绝对值越小。

（2）绝对值的代额意义：一个正数的绝对值等于它本身；一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是

a(a>0)

a(a>0)

0(a=0)或|。卜

-a(a<0)

-a(a<0)

7.有关绝对值的注意事项：

（1）因为距离是非负的，所以任何一个数的绝对值都是非负数，即|。区0；

（2）互为相反数的两个数因为到原点的距离相等，所以互为相反数的两个数的绝对值相等；

（3）含绝对值的四则运算一般要先去绝对值；

（4）两个负数，绝对值大的反而小。

考点04有理数大小的比拟

1.利用数轴进行有理数的比较：

（1）数轴上不同的点表示的数，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。

（2）正数大于0,0大于负数，正数大于负数。

2.利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小。（在比较两个负数大小时，一

般不改变两数原来的顺序，以免判断时失误）

3.倒数比较法：同号两数，倒数大的反而小。

4.差值比较法：设a、b是任意两个有理额，若a-b>0则a>6；若。一6<0，则bi若。-6=0，

则a=b。

5.商值比较法：设。>0力>0，则g>1<=>a>i;—<l<=>a<b5—=1<=>a=b»

考点05有理数的加减

1.有理数的加法法则：

（1）同号两数相加，取与加额相同的符号，并把绝对值相加；

（2）绝对值不相等且异号的两个数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对

值；

<3）互为相反数的两个数相加得0；

（4）一个数与。相加，仍得这个数。

2.用字母表示有理数加法的运算法则：

（1）同号两数相加:

若a>0力>0，则a=+（|a|+1）；

若4<0力<0，则4+。=-（|4|+|6|）；

（2）异号两额相加：

若a>0力<0，且|。卜|6|，贝"a+b=0；

若。>0/<0,且|a|>|b|，则a+b=Ma|-|b|）；

若a>0,0<0,且|。|<切，贝必+。=<|。|一|可）；

（3）一个数与0相加：a+0=<75

3.有理数加法的运算律：

（1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。（a+6=b+a）（交换加额的位贵时，不要忘

记带上符号）

（2）加法结合律：3个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。（。+方）+c=。+。+c）

4.有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反额，用字母表示为：=。+（-匕）。

5.有理数加、减法混合运算

（1）加成法统一成加法；

（2）有理数加、减混合运算的方法和步骤

第一步：用减法法则将减法转化为加法；

第二步：运用加法法则、加法交换律、加法结合律进行简便运算。

06有理数加减混合运算的考前须知

(1)运用加法交换律，在交换各数的位贵时要连同他们前面的符号一起交换；

(2)应用加法结合律时，应充分考虑同号加数结合、同分母或便于通分的加数结合、港整的加数结合、互

为相反数的加数结合等情形，从而选择适当的方法，使运算简便。

(3)若分数、小数混在一块运算时，可以把它们先统一成分数或小数再运算。

(4)如果有大括号和小括号，应当先进行小括号里的运算，再进行大括号里的运算。

(5)负的带分数圻分为整数与分数的和时，不要将负整数与负分数的和错拆为负整数与正分数的和。

考点06有理数的乘除和乘方

1.有理数的乘法

(1)有理额的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相垂；任何数与。相乘仍得0.

(2)有理数乘法法则的推广：

①几个数相乘，有一个因数为0,积为0.

②几个不为。的数相乘，积的符号由负因数的个数决定；负因数有奇数个，积为负；负因数为偶数个，租

为正；积的绝对值等于各因数绝对值的租。

2.倒数的概念：乘积为1的两个数互为倒数。倒数的求法：若。#0，贝”。的倒数是工；正数的倒数是正数，

a

负数的倒数是负数，。没有倒数。

3.有理数的乘法运算律：

(1)乘法的交换律：两数相乘，交换因数的位置，租相等(ab=6a)；

(2)乘法结合律：3个数相乘，先把前两个数相乘或先把后两个数相乘，积相等。(曲”=a(Ac)

(3)乘法分酉i!律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。

a(b+c)=ab+ac

4.有理数的除法法则

(1)有理额的除法法则1：除以一个不为。的数，等于乘以这个数的倒数。a+5=ax:(b*0)

D

(2)有理数的除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；。除以任意一个不为0的

数仍得0.

5.有理数的乘除混合运算

(1)方法：有理数的乘除混合运算，先将除法转化为乘法，然后报照乘法法贝I确定租的符号，最后将绝对

值相乘得出结果。

(2)运算顺序：对于连除或乘除混合运算问题，可以按从左到右的顺序依次进行计算，也可以直接把除法

转化为乘法来计算。

6.有理数的四则混合运算顺序：对于含有加、减'乘'除的有理额的混合运算顺序是：如果没有括号，应

先做乘除法运算，后作加减法运算；如果有括号，则先进行括号内的运算，再做其他运尊。

7.有理数的乘方：求"个相同因数的积的运算叫作乘方，乘方的结果为幕。

表示〃个相同的因数。相乘，记作。"，即：0•…・……，q=a"，a"中，。叫作底数，〃叫作指数。

-

8.有理数的乘方运算法则：正数的任何次幕都是正数；负数的奇次幕是负数；负额的偶次幕是正数；。的任

何正整数次基都是0.

9.有理数混合运算的顺序：先乘方,再乘除,后加减;同级运算，按从左到右的顺序进行；如果有括号，

先算括号里的运算(括号里的运算顺序是：先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的。)

考点07科学计数法和近似数

第2讲

整式

考点01代数式

1.代数式的概念：用运算符号把额和字母连接而成的式子叫作代数式。单独一个数或一个字母也是代数式；

运算符号是指加、减、乘、除、乘方等。

2.代数式的书写规则：

（1）含有乘法运算的代数式的书写规则：字母与字母相乘，乘号一般可以省略不写，字母的排列顺序不变;

数字与字母相乘，乘号一般也可以省略，但数字一定要写在字母的前面，且当数字是常分数时，必须写成

假分数的形式；数字与数字相乘，乘号不能省略；带括号的式子与字母的地位相同。

（2）含有除法运算的代数式的书写规则：当代数式中含有除法运算时，一般不用“*”，而改用分额线；因

为分数线具有括号的作用，斫以分数线又称括线。

（3）含有单位名称的代数式的书写规贝I］：若代数式是和或差的形式，如需注明单位，则必须用括号把整个

式子括起来后再写单位；若代数式是积或商的形式，则无需加括号，直接在代数式后面写出单位即可。

3.代数式的值

（1）代数式的值：一般地，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中指明的运算计算出的结果，叫

作代数式的值。

（2）求代数式的值的步骤：

第1步：代入，用具体数值代替代数式里的字母；

第2步：计算，按照代数式里指明的运算，计算出结果。

（3）求代数式的值时要注意：一个代数式中的同一个字母，只能用同一个数值去代替；如果代数式里省略

了乘号，那么字母用数值代替时要添上乘号，代入负数和分数时要加括号；代入数值时，不能改变原式中

的运算符号及数字。

（4）运算时，要注意运算顺序。（先算乘方，再答索除，最后算加减，有括号的要求先算括居里面的）

考点02单项式和多项式

-、单项式

1.单项式的概念：如3、。、⑼，、一!帅等这些代数式都是数字'字母、数字与字母的积'字母与字母的

J3

租，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。

2.单项式中不能含有加咸法运算，但可以含有除法运算。

3.单项式的系数：单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数，确定单项式的系数的注意事项：

（1）确定单项式的系数时，最好现将单项式写成数与字母的乘租的形式，在确定系数；

（2）圆周率才是常数，单项式中出现/时，应看作系数；

（3）当一个单项式的系数是1或-1时，1通常省略不写，负数做系数应包括前面的符号；

（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数。

4.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数。没有写指数的字母，实际

上其指数是1，计算时不能将其遗混；不能将额字的指数一同计算。

二、多项式

1.多项式的概念：几个单项式的和叫作多项式，例如：x+j，+等。

2.多项式的项：在多项式中每个单项式叫作多项式的项，不含字母的项叫作常数项。

3.多项式中应注意的问题：

（1）多项式的每一项包括它前面的符号；

（2）一个多项式含有几项，就叫几项式，例如：ab+3x+；?”〃是一个三项式。

4.多项式的次数：多项式里次数最高项的次数叫作这个多项式的次数。多项式的次数不是斫有项的次数之

和，而是多项式申次数最高的单项式的次数；多项式通常以它的项的次数和项数来命名，例如：

azbc'-ab1+abc是一个六次三项式。

5.整式：单项式与多项式统称为整式。所有的整式都是代数式，但反过来就不一定是整式。

6.多项式的降幕与升幕排列

（1）把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫作把这个多项式按这个字母降鬲排列;

把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫作把这个多项式按这个字母升幕排列。

考点03整式的加减

1.同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项，所有的常数项都是同类项。

2.合并同类项

(1)合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项叫作合并同类项；

(2)合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变；

(3)合并同类项的一般步骤：①找出多项式中的同类项；②将多项式中的同类项移到一起；⑤将系数相加,

字母和字母的指数不变。

3.去括号：如果括号外的因数是正数，那么去括号后，原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外

的因数是负数，那么去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。

4.整式加减法的运算法则：几个整式加减，如果有括号，当出现多层括号时，一般由里向外去括号，如遇特

殊情况，为了简便运算，也可由外向里逐层去括号。

考点04整式的乘法

1.同底额幕的乘法：

（1）法则：同底数幕相乘，底数不变，指数相加。

（2）符居表示：。"・。"=（洲、”都是正整数）

（3）知识拓展：当3个或3个以上同底数幕相乘时，也同样适用这一法则；法则可以逆运用，即

qM+C+/qE.qR..Q]a

2.某的乘方：

（1）法则:幕的乘方，底数不变，指数相乘;

<2）符号表示：3"*）"=/3"、〃都是正整数）；

（3）知识拓展：法则可推广为[（，"）”]?=产（洲、小p都是正整数）；法则可逆运用，

（冽、"都是正整数）；不要把幕的乘方与同底数幕的乘法混淆，某的乘方是转化为

指额的乘法运算，同底数幕的束法是转化为指数的加法运算。

3.积的乘方：

（1）法则：租的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幕相索；

（2）符号表示：3旷=。力加（冽是正整数）；

（3）知识拓展：3个或3个以上的数的乘积，也适用这一法则；法则可以逆运用。

4.单项式束单项式

（1）法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同属数幕分别相乘，对只在一个单项式里含有的字母，

则连同它的指数作为租的一个因式。

（2）单项式乘以单项式的运算步骤：①系数：把它们的系数相乘，包括它们的符号；②同底数哥：同底数

鬲相乘；⑤只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为租的一个因式。

（3）知识拓展：①应先确定积的符号；②注意按运算顺序进行；⑤不要丢掉只有一个单项式里含有的字母。

考点05乘法公式

1.平方差公式：

（1）符骂表述：（a+b）（a-b）=/

（2）语言描述：两个数的和与这两个数的差的租，等于这两个数的平方差；

（3）知识拓展：①公式中的。和b可以是实数，也可以是单项式或多项式；②公式可以说运用；

2.完全平方公式:

（1）符号表述：两数和的完全平方公式（a+6）2/

两数差的完全平方公式（,a-b）2=a1-2ab+/

（2）语言描述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍。

（3）①公式中的。和6可以是实数，也可以是单项式或多项式；②公式可以逆运用；

3.添括号法则：

（1）法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括

号里的各项都改变符号。

（2）字母表示：4+。+C=4+（。+.。+C=4—（―。—C）。

考点06因式分解

1概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫作把这个多项式分解因式。

2因式分解与整式乘法的关系：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即多项式乘以多项式或单项式乘以

多项式是积化和，因式分解则是和化租。

3因式分解的结果要以积的形式表示，否则不是因式分解；因式分解中每个括号内如有同类项要合并，因式

分解的结果要求必须将每个因式分解彻底。

4.公因式：多项式的各项中都含有的公共因式叫作这个多项式的公因式。确定公因式时，一看系数，取各项

系数的最大公约数作为公因式的系数；二看字母，取各项相同的字母；三看指数，取相同字母的最低次哥；

最后还要根据情况确定符号。

5.提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与

另一个因式的乘积的形式。（注意：①所提公因式必须是最大公因式；②如果多项式的首相系数是负数，应

先提出“-”号；⑤如果多项式的某一项恰好与公因式相同，那么提公因式后此项为1，而不是。）

6.用平方差公式分解因式：，-62=3+哄。一份（公式中的。和》可以是实数，也可以是单项式或多项

式）

7.用完全平方公式分解因式：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的根的2倍，等于这两个数的和（或

差）的平方，即：a2+lab+b2=（a+b）2,a2-2ab+b2=（a-b）2；公式中的。和b可以是实数，也可

以是单项式或多项式。

8.因式分解的一般步骤：一提；二套；三试；四分；五查。

第3讲

一次方程与一元一次不等式

考点01方程的有关概念

—'等式

1.等式：用“=”来表示相等关系的式子叫作等式。

2.等式的性质：

（1）性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等（如果a=b，那么a士c=b±c（c为

一个数或式子））。

（2）性质2：等式两边乘同一个数或除以同一个不为0的数，结果仍相等（如果。=》，那么ac=bc；如

果。=6（c*0），那么且=2）

CC

3.等式性质的延伸：

（1）对称性：等式左右两边互换，所得结果仍相等，即如果a=6,那么6=a。

（2）传递性：如果a=b，b=c＞那么。=，。

二、方程的概念和方程的解

1.方程的概念：含有未知数的等式叫作方程。

2.方程与等式的区别：方程是等式，但等式中不一定含有未知数，即等式不一定是方程。

3.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。

4.判断一个数（或一组数）是不是某方程的解，只需看两点：

（1）它是方程中的未知数的值；

（2）将它分别代入方程的左右两边，若左边等于右边，则它是方程的解，否则不是。

5.解方程：求方程解的过程叫作解方程。

6.方程的解和解方程的区别：方程的解是一个结果，解方程则是得到这个结果的一个过程。

7.一元一次方程：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数是1，这样的整式方程叫作一元一次方程。

S.一元一次方程知识拓展：

（1元''是指未知数，“次”是指未知数的次数；

（2）一元一次方程荡足3个条件：

①是整式方程；

②只含有一个未知数；

⑤未知数的次数是1.

（3）一元一次方程的标准形式：6+6=0（4*0/、。是已知数）。

考点02解方程的应用

—'解一元一次方程

1.移项：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项，注意移项要变号。

2.解一元一次方程的步骤：

（1）去分母：把方程两边都乘以各分母的最小公倍数《去分母时，若分子是多项式，要添括号”

（2）去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号（不要碣乘括号里的顶，不要弄错符号”

（3）移项：把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到另一边（注意移项要变号）；

（4）合并同类项：把等号两边的同类项分别合并，化成“皿=6”的形式

（5）系数化为1：方程两边同除以未知数的系数。得方程的解为x=2。

a

二、一元一次方程的应用

1.列一元一次方程解应用题的一般步骤：

（1）审题：分析题目中已知什么，求什么，找到包含已知和未知的等里关系；

（2）设：用x来表示题目中的一个未知数，其他的未知数用含x的整式来表示；

（3）列：根据题目的等里关系列出方程;

（4）解：解所列的方程，求出未知数的值；

（5）检隐：检蛉所得未知数的值是否是方程的解，是否符合问题的实际意义；

（6）答：写出答案。

2.列一元一次方程解应用题的常见类型：

（1）和、差'倍、分问题：和、差、倍、分对应两个里之间的加、诚、乘、除，解题时要注意弄清倍、分

关系和多少关系等；

（2）增长（减少）率问题：增长后的里=原有里,（1-增长率）；降低后的里=原有里*（1-降低率）；

（3）等租变形问题：长方形体积=长*宽*高；图柱体积="汩；

（4）行程问题：路程=速度X时间；快车行驶路程+慢车行驶路程=原距离（相向而行”快车行驶路程-慢车

行驶路程=原距离（同向而行）。

（5）航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度；

（6）调酉d问题：从调配后的额里关系中找等里关系；

（7）比例分酉B问题：全部数里=各种成分的数里之和；

考点03方程组及其解法

（-）二元一次方程

1二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫作二元一次方

程。

2二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解。

3二元一次方程组的解的拓展:

（1）二元一次方程组的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来，例如厂fx=3J

[y=7,

（2）一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数对数值适合这个二元一次方程。

（二）二元一次方程组

1概念：把具有相同未知额的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组；组成方程组的两

个方程不必同时含有两个未知数，例如：也是二元一次方程组。

[7-2>=6

2二元一次方程组的一般形式为：=其中a、a,、a、b,不同时为））

a,x+b2y=c2-

3.如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么他们也组成一个二元一次方程组。

4二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解。

二元一次方程组!"”‘%>'=''（其卬0、a,、4、b,不同时为0）解的情况：

[a,x+b2y=c2一一

（1）当色#2时，方程组有唯一的一组解；

4%

（2）当包幺时，方程组无解；

%b2C2

（3）当色=4=2时，方程组有无数组解。

a2b2c2

5注意：

（i）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成：!、=：的形式;

[y=b

（2）方程组巾每个未知额的值应同时满足两个方程，所以检蛉是否是方程组的解，应该把数值代入两个方

程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解。

（E）消元一解二元一次方程组

1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为

我们熟悉的一元一次方程，可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数。这种揩未知数由多化少，

逐一解决的思想，叫作消元思想。

2.代久消元法

（1）定义：在二元一次方程组中，将耳中一个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，

再代入另一个方程中，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种解方程组的方法称为代入消元

法。

（2）代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：①变形；②代入；⑤解方程；④求值；⑤联立。

（3）代入消元法的技巧：

①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；

②若方程组中有未知数的系数为1（或-1）的方程，则选择系数为1（或-D的方程进行变形比较简便；

⑤若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1（或-1），选系数较简单的方程和系数较简单的未知数变

形比较简便。

3.用加减消元法解二元一次方程组

（1）定义：两个二元一次方程中，同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减从

而消去这个未知数，得到一个一元一次方程；这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法。

（2）加减法解二元一次方程组的一般步骤：①变形；②加减；⑤解方程；④求值；⑤联立。

（3）加减法的技巧：

①当方程组中两个方程的同一个未知数的系数的绝对值相等时，可直接用加威法进行消元；

②当方程组的两个方程中同一个未知数的系额成整额倍时，可把其中一个方面的两边乘以倍数，使这个未

知数的系数相同或相反，然后运用加减法消去这个未知数。

⑤当方程组中两个未知数的系数均不成整数倍时，一般选择系数较为简单的未知数消元，将两个方程分别

乘以某个数，使该未知数的系数的绝对值相等，再加减消元求解。

考点04方程组的解法及应用

（-）三元一次方程组

1.三元一次方程：含有3个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的整式方程叫作三元一次方程。

2三元一次方程组：总共含有3个未知数，每个含未知数的项的次额都是1，一般有3个方程，像这样的方

x+y=8

程组叫三元一次方程组。例如：，J+二=1是一个三元一次方程组。

x-z=4

3三元一次方程的解：使三元一次方程左右两边相等的3个未知数的值，叫作三元一次方程的解，和二元一

次方程一样也有无数个解。

4.三元一次方程组的解：组成三元一次方程组的3个方程的公共解，叫作三元一次方程组的解。（注意：三

元一次方程组的解是3个数，将这3个数代入每个方程检蛉，只有这些数薪足方程组中的每一个方程，这

些数才是这个方程组的解）

（二）三元一次方程组的解法

1奥路：解三元一次方程组的基本思路是消元，其方法有代入消元法和加减消元法两种，通过消元将三元一

次方程组转化为二元一次方程组或一元一次方程。

2.步骤：

（1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，

得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；

（2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；

（3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；

（4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；

（5）将求得的3个未知数的值用“{”联立写在一起。

（三）方程组的实际应用

1.列方程组解应用题的基本思路：列方程组解应用题就是把实际问题抽象为方程组模型，关键是把已知里和

未知里联系起来，找出题目中的等里关系。一般地，有几个未知里就必须列出几个方程，所列方程必须满

足：

（1）方程两边表示的是同类里；

（2）同类里的单位要统一；

（3）方程两边的数值要相等。

2.列二元一次方程组解应用题必须找出两个等里关系，列出两个方程。

3.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：

（1）审题：分析题中已知什么、求什么、明确各数里之间的关系；

（2）设未知数：一般求什么，就设什么为X、），；

（3）找等里关系；

（4）列方程组：根据等里关系列出需要的代数式，进而列出两个方程，组成方程组;

⑸解:解所列方程组，求出未知数的值；

（6）检蛉：检蛉所求未知额的值是否符合方程组，是否符合实际；

（7）答：写出答案。

4.列二元一次方程组解应用题的常见类型

（1）和差倍分问题：增长里=原有里*增长率；较大里=较小里+多余里；总里=倍额x倍里;

（2）产品酉e套问题：解这类问题的基本等里关系是加工总里成比例；

（3）工程问题：工作里=工作效率*工作时间；各部分工作里之和=总里；

利涧

(4)利闰问题：商品售价=标价/折扣率；商品利间=商品售价-商品进价；利闻率=X100%;

（5）行程问题：速度/时间=路程；顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度;

（6）方案问题：在解决问题时，常常需合理安排，需要从几种方案中选择最佳方案，方案选择题的题干较

长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点，比较几种方案得出最佳方案。

考点05不等式

（-）不等式

1.一般地，用符号，，＜”、，，＞，，、，，*，，、“M”表示大小关系的式子叫作不等式，用“壬”表示不等关系的式子

也是不等式。

2.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解；

3.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集；

4.不等式解集的表示方法：

（1）用最简的不等式表示，一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范困；

（2）用数轴表示，不等式的解集可以在数轴上直妮的表示出来，形象的表明不等式的无限个解（注意：边

界点和方向）。

①确定边界点：若边界点是不等式的解，则用实心点；若边界点不是不等式的解，则用空心点；②确定方

向：对边界点。而言，当x＞a或xNa时，向右画；当或xSa时，向左画。

（二）不等式的性质

1.不等式的基本性质1：不等式两边加（或咸）同一个数（或式子），不等号的方向不变。

2.不等式的基本性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

3.不等式的基本性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

考点06不等式应用

（-）一元一次不等式

1.一元一次不等式的概念：一般地，只含有一个未知数，未知额的次数是1的不等式，叫作一元一次不等式。

2.一元一次不等式与一元一次方程的区别与联系：

（1）相同点：二者都是只含有一个未知数，且未知数的次数为1，左边和右边都是整式；

（2）不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，

由等号连接，等号没有方向。

（Z）一元一次不等式的解法

1.解不等式：求不等式的解集的过程叫作解不等式。

2.解一元一次不等式的一般步骤：

①去分母：防止眉索不含分母的项，乘以（或除以）负数时，不等号要改变方向，分子是多项式时，须加

括号;

②去括号：防止扁乘括号内的项和出现符号错误；

⑤移项：过了不等号的项要变号；

④合并同类项：防指计算错误；

⑤系数化为1：除以负数时要改变不等号的方向。

（三）一元一次不等式组

1.一元一次不等式组的概念：一般地关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元

一次不等式组。（这几个不等式必须含有同一个未知数）

2.解一元一次不等式组：

（1）一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫作这个一元一次不等

式组的解集。

（2）由2个一元一次不等式组成的不等式组的解集的情况：同小取小；同大取大；大小小大取中间，大大

小小取不到。

（3）一元一次不等式组的解法：

第一步：分别求出不等式组中各不等式的解集；

第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来；

第三步：在额轴上找出各不等式的解集的公共部分，这个公共部分就是这个不等式组的解集。

3.一元一次不等式（组）的应用：审题=设未知数=找不等关系=列不等式（组）=解不等式（组）=

检隐=>回答。

第04讲

几何初步、相交线、平行线

一、几何前B

（-）几何圉形的叔念和分类

L定义：把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形；

2.几何图形的分类：立体图形和平面图形。

（1）立体图形：图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，例如：长方体、圆柱、圆锥、

球等。立体图形按形状可分为：球、柱体（圆柱、棱柱）、椎体（圆锥、棱锥）、台体（圆台、棱台）；按国

成立体图形的面是平面或曲面可以分为：多面体（有平面围成的立体图形）、曲面体（国成立体图形中的面

中有曲面）。

（2）平面图形：有些几何图形（如线段、角、三角形、圆、四边形等）的各部分都在同一平面内，称为平

面图形；常见的平面图形有圆和多边形（三角形、四边形、五边形'六边形等）。

（-）从不同方向着立体图形：从正面看：正视图；从左面看：侧视图；从上面看：俯视图。

（三）立体图形的展开圉：

1.有些立体图形是由一些平面图形围成，把他们的表面沿着边剪开，可以展开形成平面图形。

2.立体图形的展开图的注意事项：

（1）不是所有的立体图形都可以展开形成平面图形，例如：球不能展开形成平面图形；

（2）不同的立体图形可展开形成不同的平面图形，同一个立体图形，沿不同的棱剪开，也可得到不同的平

面图形。

（四）正方体的平面展开圉

正方体的展开图由6个小正方形组成，把正方体各种展开图分类如下：

考点02直线、射线、线段

一、直线

1.直线的表示方法：

（1）可以用直线上表示两个点的大写英文字母表示，可表示为直线AB或直线BA；

（2）也可以用一个小写英文字母表示，例如直线m等；

2.直线的基本性质：经过两点有一条直线，并且只有1条直线；简称：两点确定一条直线。

3.直线的特征：

（1）直线没有长短，向两方无限延伸；

（2）直线没有粗细；

（3）两条直线相交有唯一一个公共点；

4.点与直线的位置关系：

（1）点在直线上，例如点A在直线1上，也可以说是直线1经过点A；

（2）点在直线外，例如点A在直线1上，也可以说成是直线1不经过点A；

二、as

1线段的概念：直线上两点和他们之间的部分叫作线段，这两点叫作线段的端点。

2线段的表示方法：

（1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示（字母是无序的）；

（2）线段也可以用一个小写英文字母来表示，例如线段n；

3线段的基本性质：两点的所有连线中，线段最短，简称：两点之间，线段最短•

4.两点的距离：连接两点的线段的长度叫作这两点的距离。

5.线段的特点：线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度里，可以比较长短。

6.线段长短的比较方法：

（1）度里法：用刻度尺里出两条线段的长度，再比较长短；

（2）叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点

同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短；

7.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫作这条线段的中点。

1.射线的概念：直线上一点和它一旁的部分叫作射线，这个点叫射线的端点。

2.射线的特征：射线是直的，有一个端点，不可以度里，不可以比较长短，无限长。

四、直线、射线、线段的区别与联系

1.联系：线段向一方无限延长是射线，向两踹无限延伸是直线。射线和线段是直线的一部分。

2.区别：直线可以向两边无限延伸，射线只向一方无限延伸，线段不能延伸；直线、射线不可度里，线段

可以度里。

考点03角

一、角的IS念

1.角的概念：有公共端点的两条直线组成的图形叫作角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两

条边。或者一条射线绕着它的踹点旋转而形成的图形叫作角。射线旋转时的起始位置叫作始边，终止位蚩

叫作终边，射线旋转时经过的平面部分是角的内部。

2.注意：两条射线有公共端点，端点是角的顶点；角的边是射线；角的大小与所画出的角的两边的长短无

关。

3.平角与周角：当角的两边在一条直线上时，叫作平角，当始边与终边重合时，所形成的角叫作周角。

4.角的表示：角的几何符号用“N”表示，表示法通常有以下几种类型：

记日：ZAOB

记作记注N1

MZBOAZa

通NO

5.角的画法:

（1）利用三角板除了可以作出30°，45°，60°，90°的角外，根据角的和、差关系，还可以回出15°，

75°，105°，120°，135°»1500,165°的角，他们都是15°角的整数倍;

（2）用里角器可以画出任意给定度数的角；

（3）利用尺规作图可以画出一个角等于已知角。

二、角的度企

1.度里仪器：里角器;

2.用里角器两角和画角的一般步骤：

（1）角的顶点与里角器的中心对弁；

（2）一边与刻度尺上的零度线重合；

（3）读出另一边所在线的度数。

3.角度制：以度、分、秒为单位的角的度里制，叫作角度制。

(1)把一个周角平均分成360等份，每一份就是1度的角，记作1。；

(2)1°的［为1分，记作一

(3)1的士为1秒，记作「；

60

(4)1周角=360°，1平角=180°，1°=60,，f=60-

4.度、分、秒之间的转换方法：

(1)角度的换算关系是六十进制，类似于时间单位的换算；

(2)角的度数的换算有两种方式：一是由度化成分、秒的形式，即由高单位化成低单位，每次换算需要乘

以60；二是由秒化成分，由分化成度，即由低单位换算成高单位，每次换算需要除以60。

5.角的比较:

(1)度里比较法：先用里角器里出角的度数，然后比较他们的大小；

(2)叠合比较法：把其中一个角移到另一个角上作比较；

6.角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫作这个角的平分线。

7.余角、补角

(1)余角：如果两个角的和为90°，那么这两个角互为余角，其中一个角是另一个角的余角；

(2)补角：如果两个角的和为180。，那么这两个角互为补角，其中一个角是另一个角的补角；

(3)互余的性质：同角或等角的余角相等；

(4)互补的性质：同角或等角的补角相等；

(5)一个锐角a的余角可表示为《90。一口)；一个角a的补角可以表示为(180。-a)，显然，一个锐角

的补角比它的余角大90°。

8.方位角：

(1)正东、正西、正南、正北4个方向不需要用角度表示；

(2)方位角以南北方向作为基准，先写南或北，在写偏东或偏西；

(3)在同一问题中，观察点可能不止一个，在不同的观测点，都要画出十字架表示方位；

9.钟表上有关夹角的问题：钟表中有12个大格，把周角12等分，每个大格对应30°的角，分针1分钟转

6。，时针每小时旋转30。，时针1分钟旋转0.5°。

考点04相交线与平行线

一、相交线

1.相交线的概念：有唯一公共点的两条直线叫作相交线。

2.对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角互为对顶角。对顶角成对出现，两

条直线相交所构成的四个角中，有2对对顶角。

3.对顶角的特征：

（1）两个角有公共顶点；

（2）两个角的边互为反向延长线；

4.邻补角：如果两个角有一条公共边，并且他们的另一边互为反向延长线，这两个角称为互为邻补角。

邻补角是成对出现的，而且是互为邻补角。

5.邻补角薪足的条件：

（1）有公共顶点；

（2）有一条公共边，另一边互为反向延长线；

6.邻补角和补角的区别：邻补角是具有特殊位置关系的两个角，是两角互补的特殊情况，补角主要从数里

关系上来看两个角的，而邻补角不仅从数里关系上满足两角之和为180。，还必须具备位置上的关系；如果

两个角互为邻补角，那么这两个角一定互为补角；如果两个角互为补角，这两个角不一定互为邻补角；一

个角的补角可以画出很多个，但邻补角只有两个。

二、垂线

1.垂线的概念：两条直线相交形成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相垂直；例如直线

AB垂直于直线CD，可写成：其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点称为垂足。

2.垂线的性质：平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

3.垂线段：过直线外一点作这条直线的垂线，这个点与垂足之间的线段叫作垂线段。

4.垂线段的性质：在连接直线外一点与直线上各点的线段中垂线段最短，简称：垂线段最短。

5.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离。

6.垂线的画法：用里角器画垂线：

①经过直线上一点画已知直线的垂线：先让里角器的底线落在已知直线上，并使里角器底边的中心点与直

线上已知点重合，再在里角器90°所对的位贵处标出一点，拿走里角器，连接即可。

②经过直线外一点画已知直线的垂线：先让里角器的底线落在已知直线上，并使里角器90°的垂线经过直

线外的该点，再在里角器90°所对的位置出标出一点，连接这两点即可。

三、同位角、内错角、同方内角

1.像N1与N3这样位于两条被截直线的同侧，且位于截线的同旁的两个角叫作同位角。

2.像N1与N5这样位于两条被截直线的两侧，且位于截线的两旁的两个角叫作内错角。

3.像N1与N2这样位于两条被截直线的内侧，且位于截线的同奏的两个角叫作同旁内角。

内।•角

4.对三线八角的理解：

（1）同位角：位置相同即2个角都在截线的同旁和被截线的同方向，即同上或同下，同左或同右;

（2）内错角夹在被截直线之内和位于截线两者；

（3）同旁内角则夹在被截两直线之内和截线同旁；

截线被截线结构特征

同位角同旁同侧F

内错角两旁之间Z_

同旁内角同旁u•

四'平行线

1.平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线。

2.平行公理及其推论：

（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行;

（2）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行。（即：a//b,b//c=>a//c）

3.判断同一平面内两条直线的位置关系：

（1）有且只有一个公共点，两直线相交；

（2）无公共点，两直线平行；

（3）有两个及以上公共点，则两直线重合。

考点05平行线的判定与性质

平行辎判定

1.判定方法1：两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；即同位角相等，两直

线平行。

2.判定方法2：两直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；即内错角相等，两直

线平行。

3.判定方法3：两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行；即同旁内角互补，两

直线平行。

图形已知结论判定方法

°J

K同位角相等

4=N2a//b两直线平行

、c

a3\__\______2,内错角相等

Z3®x2a//b两面线平行

0t

、c

"♦N4=18J3、同旁内角互补

a//b

弋(^2*j^4k补)两电线平行

b、c

二、平行维性质

1.性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；即两直线平行，同位角相等。

2.性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；即两直线平行，内错角相等。

3.性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；即两直线平行，同旁内角互补。

考点06命题与证明

命蓬

1.命题的定义：判断一件事情的语句叫作命题。

2.命题的组成：命题由题设和结论两部分组成。

3.命题的表达形式：命题通常写成：“如果……那么……'’的形式。“如果”后面接的是题设部分，“那么”

后面接的部分是结论。

4.真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题叫作真命题。

5.假命题：命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题叫作假命题。

二、公理、定理与还明

1.公理：从实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真伪的原始依据的真命题。

2.定理：经过推理证实的真命题叫作定理，它可以作为继续推理的依据。

3.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明。

4.举发例：判断一个命题是假命题，一般举反例说明，它符合命题的题设，但不满足结论。

三、平移

1.平移的概念：在平面内，一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形的变换叫作平移。

2.平移后的图形与平以前的图形形状、大小相同，只是位置不同；一个图形和它经过平移后所得的图形中，

连接各组对应点的线段平行且相等。

第5讲

实数与二次根式

考点01平方根

一、平方根

1.平方根的概念：如果一个数X的平方等于。，即/=。，那么这个数X就叫作。的平方根（或二次方根）。

2.平方根的表示方法：正额。的平方根可记作士石，读作：正负根号a，、厂读作根号，。是被开方数。

3.平方根的性质：若x?=a，那么（-x）2=。，则-x也是。的平方根，所以正额a的平方根有两个，它

们互为相反数，0的平方根是0；因为相同的两个数的乘积为正，所以任何数的平方都不是负数，所以负数

没有平方根（即土石，a>0）»

二、算数平方根

1.算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x'=a，那么这个正数x就叫作。的算

术平方根。

2.算术平方根的表示方法：正数。的算术平方根可记作痛，读作：根号。。

3.算术平方根的性质：正数有一个正的算术平方根；。的算术平方根是0,负数没有算术平方根。一个正数

a的正的平方根就是它的算术平方根。

三、开平方

1.求一个数a（a>0）的平方根的运算叫作开平方，其中。叫作被开方数。开平方运算是已知指数和幕求

底数。

2.因为平方与开平