专题提升 圆的切线的判定与性质（30题）（解析版）

专题第01讲圆的切线的判定与性质1．（2023•灌云县校级模拟）如图，点P是⊙O外一点，PA与⊙O相切于A点，B，C是⊙O上的另外两点，连接AC，BC，∠APB+2∠ACB＝180°，（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若BC∥PA，⊙O的半径为5，BC＝6，求PA的长．【分析】（1）连接OA，OB，由圆周角定理和已知条件∠APB+∠AOB＝180°，得出∠OAP+∠OBP＝180°，求出∠OBP＝90°，即可得出结论；（2）延长AO并延长交BC于D，连接OC，过P作PQ⊥BC于Q，由垂径定理得出CD＝BD＝3，由勾股定理得出OD＝2，AD＝9在Rt△PBQ中，设PA＝x，由勾股定理得出方程，解方程即可【解答】（1）证明：连接OA，OB，如图1所示：∵∠APB+2∠ACB＝180°，∠AOB＝2∠ACB，∴∠APB+∠AOB＝180°，∴∠OAP+∠OBP＝180°，∵PA切⊙O于点A，∴PA⊥OA，∴∠OAP＝90°，∴∠OBP＝90°，∵OB是半径，∴PB是⊙O的切线；（2）解：延长AO并延长交BC于D，连接OC，过P作PQ⊥BC于Q，如图2所示：∵PA⊥OA，BC∥PA，∴AD⊥BC，∴，四边形ADQP是矩形，∴，∴AD＝OA+OD＝5+4＝9，∵PA、PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，在Rt△PBQ中，设PB＝PA＝x，则BQ＝x﹣3，由勾股定理得：（x﹣3）2+92＝x2，解得：x＝15，即PA的长为15．2．（2023•汉川市校级模拟）如图，AB，AD是⊙O的弦，AO平分∠BAD．过点B作⊙O的切线交AO的延长线于点C，连接CD．BO延长BO交⊙O于点E，交AD于点F，连接AE，DE．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AE＝DE＝10，求AF的长．【分析】（1）欲证明CD是⊙O的切线，只要证明∠CDO＝∠CBO＝90°，由△COB≌△COD即可解决问题．（2）先证明∠BAO＝∠OAD＝∠DAE＝∠ABO＝30，在Rt△AEF中利用30度性质以及勾股定理即可解决问题．【解答】（1）证明：如图，连接OD．∵BC为圆O的切线∴∠CBO＝90°．∵AO平分∠BAD，∴∠OAB＝∠OAF．∵OA＝OB＝OD，∴∠OAB＝∠ABO＝∠OAF＝∠ODA，∵∠BOC＝∠OAB+∠OBA，∠DOC＝∠OAD+∠ODA，∴∠BOC＝∠DOC，在△COB和△COD中，，∴BOC≌△DOC，∴∠CBO＝∠CDO＝90°，∴CD是⊙O的切线；（2）∵AE＝DE，∴＝，∴∠DAE＝∠ABO，∴∠BAO＝∠OAD＝∠ABO∴∠BAO＝∠OAD＝∠DAE，∵BE是直径，∴∠BAE＝90°，∴∠BAO＝∠OAD＝∠DAE＝∠ABO＝30°，∴∠AFE＝90°，在Rt△AFE中，∵AE＝10，∠DAE＝30°，∴EF＝AE＝5，∴AF＝＝＝5．3．（2023•金东区一模）如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，且CD⊥AB于E，F为BA延长线上一点，CA恰好平分∠FCE．（1）求证：FC与⊙O相切；（2）连接OD，若OD∥AC，求的值．【分析】（1）连接OC，则∠OCA＝∠OAC，由CD⊥AB于E，得∠AEC＝90°，而∠ACF＝∠ACE，则∠OCF＝∠OCA+∠ACF＝∠OAC+∠ACE＝90°，即可证明FC与⊙O相切；（2）由等腰三角形的“三线合一”得∠COF＝∠DOF，由OD∥AC，得∠DOF＝∠OAC，所以∠COF＝∠OAC＝∠OCA＝60°，则∠F＝30°，所以OA＝OC＝OF，则AF＝OA＝AB，即可求得＝．【解答】（1）证明：连接OC、则OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC，∵CD⊥AB于E，∴∠AEC＝90°，∵CA平分∠FCE，∴∠ACF＝∠ACE，∴∠OCF＝∠OCA+∠ACF＝∠OAC+∠ACE＝90°，∵FC经过⊙O的半径OC的外端，且FC⊥OC，∴FC与⊙O相切．（2）解：∴OC＝OD，OF⊥CD，∴∠COF＝∠DOF，∵OD∥AC，∴∠DOF＝∠OAC，∴∠COF＝∠OAC＝∠OCA＝60°，∴∠F＝30°，∴OA＝OC＝OF，∴AF＝OA＝AB，∴＝，∴的值是．4．（2023秋•海淀区校级月考）如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB交⊙O于点C，D为OB上一点，延长CD交⊙O于点E，延长OB至F，使DF＝FE，连接EF．（1）求证：EF为⊙O的切线；（2）若OD＝1且BD＝BF，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OE，根据等边对等角结合对等角相等即可推出结论；（2）设⊙O的半径EO＝BO＝r，则BD＝BF＝r﹣1，FE＝2BD＝2（r﹣1），在Rt△FEO中，由勾股定理得得出方程求解即可．【解答】解：（1）证明：如图，连接OE，∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE，∵DF＝FE，∴∠FED＝∠FDE，∵∠FDE＝∠CDO，∠CDO+∠OCD＝90°，∴∠FED+∠OEC＝90°，即∠FEO＝90°，∴OE⊥FE，∵OE是半径，∴EF为⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径EO＝BO＝r，则BD＝BF＝r﹣1，∴FE＝2BD＝2（r﹣1），在Rt△FEO中，由勾股定理得，FE2+OE2＝OF2，∴（2r﹣2）2+r2＝（2r﹣1）2，解得r＝3，或r＝1（舍去），∴⊙O的半径为3．5．（2023•昆明模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E，F分别是边AB，BC，AC上的点，以AD为直径的半圆O经过点E，F，且．​（1）求证：BC是半圆O的切线；（2）若∠B＝30°，AB＝12，求CF的长．【分析】（1）连接AE，OE，根据已知条件得到∠CAE＝∠DAE，根据等腰三角形的性质得到∠EAO＝AEO，根据平行线的性质得到∠OEB＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）根据总体上进行的性质得到AC＝，OB＝2OE，求得OD＝BE，于是得到结论．【解答】（1）证明：连接AE，OE，∵，∴∠CAE＝∠DAE，∵OA＝OE，∴∠EAO＝∠AEO，∴∠CAE＝∠AEO，∴AC∥OE，∵∠C＝90°，∴∠OEB＝90°，∵OE是⊙O的半径，∴BC是半圆O的切线；（2）解：∵∠C＝∠OEB＝90°，∠B＝30°，AB＝12，∴AC＝，OB＝2OE，∵OE＝OD，∴OD＝BE，∴OA＝OE＝OD＝4，∴AD＝8，∴，∴CF＝AC﹣AF＝2．6．（2023•长安区校级二模）如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，连接BD，DB恰好是∠ADC的平分线，以AD为直径作⊙O，⊙O经过点B，CD的延长线交⊙O于点E，连接AE．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BC＝6，DE＝8，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OB，利用同圆的半径相等，角平分线的定义，平行线的判定与性质的OB⊥BC，再利用圆的切线的判定定理解答即可；（2）延长BO，交AE于点F，利用矩形的判定与性质定理得到OF⊥AE，EF＝BC＝6，利用垂径定理得到AE的长，再利用勾股定理解答即可得出结论．【解答】（1）证明：连接OB，如图，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∵DB恰好是∠ADC的平分线，∴∠ODB＝∠CDB，∴∠CDB＝∠OBD，∴OB∥CD．∴∠OBC+∠C＝180°．∵∠C＝90°，∴∠OBC＝90°，∴OB⊥BC，∵OB是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；（2）解：延长BO，交AE于点F，∵AD为直径，∴∠E＝90°，∵∠OBC＝90°，∠C＝90°，∴四边形EFBC为矩形，∴∠EFB＝90°，EF＝BC＝6．∴OF⊥AE，∴AF＝EF＝6，∴AE＝12．∴AD＝＝＝4．∴⊙O的半径＝AB＝2．7．（2023•金寨县校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD＝CB，AC，BD相交于点E，过点C作CF∥BD，CF与AB的延长线相交于点F，连接AD．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若AB＝10，BC＝6，求AD的长．【分析】（1）连接OD，连接OC交BD于M，由圆心角、弧、弦的关系推出∠COD＝∠COB，由OD＝OB，得到OC⊥BD，又CF∥BD，因此半径OC⊥CF，即可证明CF是⊙O的切线；（2）设OM＝x，由勾股定理得到62﹣（5﹣x）2＝52﹣x2，求出x＝1.4，由三角形中位线定理，得到AD＝2OM＝2x＝2.8．【解答】（1）证明：连接OD，连接OC交BD于M，∵CD＝CB，∴＝，∴∠COD＝∠COB，∵OD＝OB，∴OC⊥BD，DM＝BM，∵CF∥BD，∴半径OC⊥CF，∴CF是⊙O的切线；（2）解：设OM＝x，∵OC＝AB＝5，∴MC＝5﹣x，∵BM2＝BC2﹣CM2＝OB2﹣OM2，∴62﹣（5﹣x）2＝52﹣x2，∴x＝1.4，∵AO＝OB，DM＝BM，∴OM是△BAD的中位线，∴AD＝2OM＝2x＝2.8．8．（2023•甘南县一模）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥DC于点D，AC平分∠DAB．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）若AB＝4，∠DAB＝60°，求AD的长．【分析】（1）连接OC，先证出∠OCA＝∠DAC，得OC∥AD，再由平行线的性质得CD⊥OC，即可得出结论；（2）连接BC，先由圆周角定理得∠ACB＝90°，由角平分线定义得∠DAC＝∠BAC＝30°，再由含30°角的直角三角形的性质得BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，进而得出答案．【解答】（1）证明：连接OC，如图1所示：∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC，∴∠OCA＝∠DAC，∴OC∥AD，∵AD⊥DC，∴CD⊥OC，又∵OC是⊙O的半径，∴直线CD是⊙O的切线；（2）解：连接BC，如图2所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC平分∠DAB，∠DAB＝60°，∴∠DAC＝∠BAC＝30°，∴BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，∵AD⊥DC，∴∠ADC＝90°，∴CD＝AC＝，AD＝CD＝3．9．（2023•云梦县校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，在AC上取一点D，以AD为直径作⊙O，与AB相交于点E，作线段BE的垂直平分线MN交BC于点N，连接EN．（1）求证：EN是⊙O的切线；（2）若AC＝3，BC＝4，⊙O的半径为1，求线段EN的长．【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形的两锐角互余得出∠NEM+∠AEO＝90°即可；（2）利用线段中垂线的性质以及勾股定理列方程求解即可．【解答】（1）证明：如图，连接OE，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，∵MN是AB的中垂线，∴NE＝NB，∴∠B＝∠NEB，∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∴∠B+∠A＝90°，∴∠NEB+∠OEA＝90°，∴∠OEN＝180°﹣90°＝90°，即OE⊥EN，∵OE是半径，∴EN是⊙O的切线；（2）解：如图，连接ON，∵MN是AB的中垂线，∴NE＝NB，设EN＝x＝BN，在Rt△CON中，ON2＝OC2+CN2，在Rt△OEN中，ON2＝OE2+EN2，∴OC2+CN2＝OE2+EN2，即（3﹣1）2+（4﹣x）2＝12+x2，解得x＝，即EN＝．10．（2023•桑植县模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是劣弧BD中点，AC与BD相交于点E．连接BC，∠BCF＝∠BAC，CF与AB的延长线相交于点F．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）求证：∠ACD＝∠F；（3）若AB＝10，BC＝6，求AD的长．【分析】（1）连接OC，由圆周角定理得∠ACO+∠OCB＝90°，再由等腰三角形性质及切线的判定定理可得结论；（2）根据同圆中等弧对等角、等角对等弧可得答案；（3）设OH为x，则CH为（5﹣x），根据勾股定理可得方程，求得OH的长，再根据三角形中位线定理可得答案．【解答】解：（1）连接OC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠OCB＝90°，∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠ACO，∵∠BCF＝∠BAC，∴∠BCF+∠OCB＝90°，∴∠OCF＝90°，∴OC⊥CF，∴CF是⊙O的切线．（2）∵点C是中点，∴，∴∠CAD＝∠BAC，∵∠BCF＝∠BAC，∴∠CAD＝∠BCF，∵，∴∠CAD＝∠CBD，∴∠BCF＝∠CBD，∴BD∥CF，∴∠ABD＝∠F，∵，∴∠ACD＝∠ABD，∴∠ACD＝∠F．（3）如图：∵BD∥CF，OC⊥CF，∴OC⊥BD于点H，设OH为x，则CH为（5﹣x），根据勾股定理，62﹣（5﹣x）2＝52﹣x2，解得：，∴，∵OH是中位线，∴．11．（2023秋•台江区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，PA为⊙O的切线，弦AC⊥PO，垂足为M，连接PC．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若PA＝AB，连接BM，求证：．【分析】（1）证明△PAO≌△POC（SSS），即可求解；（2）证明△PAM≌△ABC（AAS），得到△BCM为等腰直角三角形，即可求解．【解答】证明：（1）连接OC，∵AC⊥PO，则PO是AC的中垂线，则PA＝PC，∵AO＝OC，OP＝OP，∴△PAO≌△POC（SSS），∴∠PCO＝∠PAO＝90°，∴PC是⊙O的切线；（2）连接BC，则∠ACB＝90°＝∠PAB，∵OM⊥AC，BC⊥AC，则OM∥BC，则∠POA＝∠ABC，∵∠PAM+∠MAO＝90°，∠MAO+∠MAO＝90°，∴∠PAM＝∠POA＝∠ABC，∵PA＝AB，∴△PAM≌△ABC（AAS），∴BC＝AM＝MC，∴△BCM为等腰直角三角形，则．12．（2022秋•嘉祥县校级期末）已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为10，求AE的长．【分析】（1）连结OA，由圆周角定理可求得∠B＝∠AEC＝30°，∠AOC＝2∠AEC＝60°，则∠OAD＝90°，可证明直线AD是⊙O的切线；（2）若AE⊥BC于点M，根据垂径定理可证明AM＝EM，在Rt△AOM中，∠AMO＝90°，∠AOM＝60°，则∠OAM＝30°，已知⊙O的半径OA＝6，则OM＝OA＝3，根据勾股定理可以求出AM的长，进而求出AE的长．【解答】（1）证明：如图，连结OA，∵∠AEC＝30°，∴∠B＝∠AEC＝30°，∠AOC＝2∠AEC＝60°，∵AB＝AD，∴∠D＝∠B＝30°，∴∠OAD＝180°﹣∠AOC﹣∠D＝90°，∵OA是⊙O的半径，且AD⊥OA，∴直线AD是⊙O的切线．（2）解：如图，∵BC是⊙O的直径，且AE⊥BC于点M，∴AM＝EM，∵∠AMO＝90°，∠AOM＝60°，∴∠OAM＝30°，∴OM＝OA＝×10＝5，∴AM＝＝＝5，∴AE＝2AM＝2×5＝10．13．（2023•南海区校级模拟）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接OC，PB，已知PB＝6，DB＝8，∠EDB＝∠EPB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径．（3）连接BE，求BE的长．【分析】（1）由已知角相等及直角三角形的性质得到∠OBP为直角，即可得证；（2）在直角三角形PBD中，由PB与DB的长，利用勾股定理求出PD的长，由切线长定理得到PC＝PB＝6，由PD﹣PC求出CD的长，在直角三角形OCD中，设OC＝r，则有OD＝8﹣r，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，即为圆的半径．（3）延长PB、DE相交于点F，证明△PED≌△PEF（ASA），由全等三角形的性质得出PD＝PF＝10，DE＝EF，求出DF的长，则可得出答案．【解答】（1）证明：∵DE⊥PE，∴∠DEO＝90°，∵∠EDB＝∠EPB，∠BOE＝∠EDB+∠DEO，∠BOE＝∠EPB+∠OBP，∴∠OBP＝∠DEO＝90°，∴OB⊥PB，∴PB为⊙O的切线；（2）解：在Rt△PBD中，PB＝6，DB＝8，根据勾股定理得：，∵PD与PB都为⊙O的切线，∴PC＝PB＝6，∴DC＝PD﹣PC＝10﹣6＝4；在Rt△CDO中，设OC＝r，则有OD＝8﹣r，根据勾股定理得：（8﹣r）2＝r2+42，解得：r＝3，则圆的半径为3．（3）延长PB、DE相交于点F，∵PD与PB都为⊙O的切线，∴OP平分∠CPB，∴∠DPE＝∠FPE，∵PE⊥DF，∴∠PED＝∠PEF＝90°，又∵PE＝PE，∴△PED≌△PEF（ASA），∴PD＝PF＝10，DE＝EF，∴BF＝PF﹣PB＝10﹣6＝4，在Rt△DBF中，，∴．14．（2023•山丹县模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作DE⊥AC，交AC于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的直径为5，BC＝8，求DE的长．【分析】（1）连接OD，通过角的转换，可证明OD∥AC，进而得证；（2）连接AD，可得BD＝CD＝4，根据勾股定理求得AD，在Rt△ACD中，根据面积法求得DE．【解答】（1）证明：如图1，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥半径OD，∴DE是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∴BD＝CD＝＝4，∴AD＝＝3，∵DE⊥AC，∴S△ACD＝，∴5•DE＝3×4，∴DE＝，∴DE的长是．15．（2023•华亭市校级模拟）如图，直线l切⊙O于点A，点P为直线l上一点，直线PO交⊙O于点C、B，点D在线段AP上，连结DB，且AD＝DB．（1）求证：DB为⊙O的切线；（2）若AD＝2，PB＝BO，求弦AC的长．【分析】（1）要证明DB为⊙O的切线，只要证明∠OBD＝90即可；（2）根据已知及直角三角形的性质可以得到PD＝2BD＝2DA＝2，再利用等角对等边可以得到AC＝AP，这样求得AP的值就得出了AC的长．【解答】（1）证明：连接OD；∵PA为⊙O切线，∴∠OAD＝90°，在△OAD和△OBD中，，∴△OAD≌△OBD（SSS），∴∠OBD＝∠OAD＝90°，∴半径OB⊥BD，∴DB为⊙O的切线；（2）解：在Rt△OAP中，∵PB＝OB＝OA，∴OP＝2OA，∴∠OPA＝30°，∴∠POA＝60°＝2∠C，∴PD＝2BD＝2DA＝4，∴∠OPA＝∠C＝30°，∴AC＝AP＝AD+DP＝6．16．（2023秋•江阴市校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，O为AC上一点，经过点A、E的⊙O分别交AB、AC于点D、F，连接OD交AE于点M．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若CF＝2，EC＝4，求圆O的半径．【分析】（1）连接OE，根据角平分线的性质及同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出∠OEC＝90°即可；（2）由勾股定理可得出答案．【解答】（1）证明：连接OE，∵AE平分∠BAC交BC于点E，∴∠BAC＝2∠OAE，∵∠FOE＝2∠OAE，∴∠FOE＝∠BAC，∴OE∥AB，∵∠B＝90°，∴OE⊥BC，又∵OE是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；（2）解：设OE＝OF＝x，∵∠OEC＝90°，∴OE2+CE2＝OC2，∴x2+42＝（x+2）2，解得x＝3，∴OE＝3，即圆O的半径为3．17．（2023春•蓬安县期中）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足是点H，过点C作直线分别与AB，AD的延长线交于点E，F，且∠CEA+∠CAD＝90°．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）如果AB＝10，CD＝6，求BE的长．【分析】（1）根据垂径定理、圆周角定理以及三角形内角和定理得出∠OCE＝90°即可；（2）根据勾股定理求出OH，进而求出HB，利用勾股定理列方程求解即可．【解答】（1）证明：如图，连接OC，∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴＝，∴∠CAB＝∠DAB，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠COB＝∠OAC+∠OCA＝2∠OAC＝∠CAD，∵∠CEA+∠CAD＝90°，∴∠CEA+∠COB＝90°，即∠OCE＝90°，∴OC⊥CF，∵OC是半径，∴CF是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CH＝HD＝CD＝3，在Rt△COH中，OC＝AB＝5，CH＝3，∴OH＝＝4，∴HB＝OB﹣OH＝5﹣4＝1，设BE＝x，则HE＝1+x，OE＝5+x，∵HE2+HC2＝CE2＝OE2﹣OC2，即（1+x）2+32＝（5+x）2﹣52，∴x＝，即BE＝．18．（2023•鄂州）如图，AB为⊙O的直径，E为⊙O上一点，点C为的中点，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D，延长DC交AB的延长线于点F．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若DE＝1，DC＝2，求⊙O的半径长．【分析】（1）连接OC，由等弧所对的圆周角相等得出∠EAC＝∠BAC，根据同圆的半径相等得出∠BAC＝∠OCA，于是有∠EAC＝∠OCA，可得出AE∥OC，再根据CD⊥AE，即可得出OC⊥DF，从而问题得证；（2）连接CE，BC，先根据切割线定理求出AD的长，然后由勾股定理求出AC、CE的长，再根据等弧所对的弦相等得出BC＝CE，在Rt△ACB中根据勾股定理求出AB的长，即可求出⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OC，∵点C为的中点，∴，∴∠EAC＝∠BAC，∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA，∴∠EAC＝∠OCA，∴AE∥OC，∴∠ADC＝∠OCF，∵CD⊥AE，∴∠ADC＝90°，∴∠OCF＝90°，即OC⊥DF，又OC为⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：连接CE，BC，由（1）知CD是⊙O的切线，∴CD2＝DE•AD，∵DE＝1，DC＝2，∴AD＝4，在Rt△ADC中，由勾股定理得，在Rt△DCE中，由勾股定理得，∵点C是的中点，∴，∴EC＝BC＝，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，由勾股定理得，∴⊙O的半径长是2.5．19．（2023•清原县模拟）如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F，连接BD并延长交AC于点M．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）求证：AB＝AM；【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠ODA＝∠OAD，根据角平分线的定义得到∠OAD＝∠DAC，证明OD∥AC，根据平行线的性质得到DE⊥OD，根据切线的判定定理证明即可；（2）根据题意求出∠MDE＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质计算，得到答案．【解答】证明：（1）连接OD，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠DAC，∴∠ODA＝∠DAC，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴直线DE是⊙O的切线；（2）∵线段AB是⊙O的直径，∠ADB＝90°，∠ADM＝180°﹣∠ADB＝90°，∠M+∠DAM＝90°，∠ABM+∠DAB＝90°，∵∠DAM＝∠DAB，∴∠M＝∠ABM，∴AB＝AM．20．（2022秋•安徽期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，，点E在AB的延长线上，∠ECB＝∠DAC．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若AD＝5，∠E＝30°，求⊙O的半径．【分析】（1）如答图，连接CO并延长交⊙O于点M，连接MB；利用圆周角定理以及等量代换可得∠ECB＝∠CMB，依据CM是⊙O的直径，结合“直径说对的圆周角是直角”进行等量代换可求得∠ECB+∠BCM＝90°，即可证明；（2）如答图，连接DO并延长交⊙O于点N，连接AN；根据邻补角和四边形内对角互补得∠ADC＝∠CBE，根据三角形内角和得∠DCA＝∠E＝30°；DN是⊙O的直径，结合“直径说对的圆周角是直角”在Rt△DAN中，解三角形即可．【解答】（1）证明：如图，连接CO并延长交⊙O于点M，连接MB．∵，∴∠CAD＝∠CAB，∵∠CAB＝∠CMB，∠ECB＝∠CAD，∴∠ECB＝∠CMB，∵CM是⊙O的直径，∴∠CBM＝90°，∴∠CMB+∠BCM＝90°，∴∠ECB+∠BCM＝90°，∴OC⊥CE，∴EC是⊙O的切线；（2）解：如图，连接DO并延长交⊙O于点N，连接AN．∵∠ECB＝∠CAD，∠ADC+∠ABC＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，∴∠ADC＝∠CBE，∴180°﹣∠CAD﹣∠ADC＝180°﹣∠CBE﹣∠ECB，∴∠DCA＝∠E＝30°，∵DN是⊙O的直径，∴∠DAN＝90°，在Rt△DAN中，∵∠DCA＝∠DNA＝30°，∴DN＝2AD＝10，∴⊙O的半径为5．21．（2023•大连模拟）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于F，且CE＝CF．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB＝10，BD＝3，求AE的长．【分析】（1）要证DE是⊙O的切线，只要连接OC，再证∠DCO＝90°即可；（2）由切线的性质及勾股定理可得CD的长，再根据三角形面积公式及勾股定理可得AF的长，最后由全等三角形的判定与性质可得答案．【解答】（1）证明：（1）连接OC；∵AE⊥CD，CF⊥AB，又CE＝CF，∴∠1＝∠2．∵OA＝OC，∴∠2＝∠3，∠1＝∠3．∴OC∥AE．∴OC⊥CD．∴DE是⊙O的切线．（2）解：∵OC⊥ED，AB＝10，BD＝3，∴OB＝OC＝5．CD＝＝，∵，即，∴CF＝，∴OF＝＝，∴AF＝OA+OF＝5+，在Rt△AEC和Rt△AFC中，CE＝CF，AC＝AC，∴Rt△AEC≌Rt△AFC（HL），∴AE＝AF＝．22．（2023•长安区模拟）如图，⊙O为四边形ABCD的外接圆，若AB＝AD、CB＝CD，延长AD至点F，连接FC并延长至点E，恰好使得∠BCE+∠F＝90°．（1）证明：EF为⊙O的切线；（2）连接BD，若⊙O的半径为4，CF＝6，求BD的长．【分析】（1）连接AC，利用圆的有关性质可得AC为直径，利用全等三角形的判定与性质得到∠ACB＝∠ACD，利用同角的余角相等的性质和平角的定义可得∠ACF＝90°，利用圆的切线的判定定理解答即可得出结论；（2）利用圆周角定理，勾股定理求得AE，利用三角形的面积公式求得CD，利用同样的方法解答即可求得DH，利用垂径定理即可得到BD＝2DH．【解答】（1）证明：连接AC，如图，∵AB＝AD、CB＝CD，∴，，∴为半圆，∴AC为⊙O的直径，∴∠B＝∠D＝90°．在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠ACB＝∠ACD，∵∠BCE+∠F＝90°，∠DCF+∠F＝90°，∴∠BCE＝∠DCF，∵∠BCE+∠ACB+∠ACD+∠DCF＝180°，∴∠ACD+∠DCF＝90°，∴∠ACF＝90°，即OC⊥EF，∵OC为⊙O的半径，∴EF为⊙O的切线；（2）解：设BD交AC于点H，如图，则BH＝DH＝BD．∵⊙O的半径为4，∴AC＝8，∵AC⊥EF，∴AF＝＝＝10．∵，∴8×6＝10CD，∴CD＝4.8，∴AD＝＝＝6.4，∵，∴6.4×4.8＝8DH，∴DH＝，∴BD＝2DH＝．23．（2023春•江岸区校级月考）如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE∥AD，OE交CD于点E，连接BE．（1）求证：直线BE与⊙O相切；（2）若CA＝2，CD＝4，求DE的长．【分析】（1）连接OD，由切线的性质可得∠ODE＝90°，然后利用平行线和等腰三角形的性质可得OE平分∠DOB，从而可得∠DOE＝∠EOB，进而可证△DOE≅△BOE，最后利用全等三角形的性质即可解答；（2）设⊙O的半径为r，先在Rt△ODC中，利用勾股定理求出r的长，再利用（1）的结论可得DE＝BE，最后在Rt△BCE中，利用勾股定理进行计算即可解答．【解答】（1）证明：连接OD，∵CD与⊙O相切于点D，∴∠ODE＝90°，∵AD//OE，∴∠ADO＝∠DOE，∠DAO＝∠EOB，∵OD＝OA，∴∠ADO＝∠DAO，∴∠DOE＝∠EOB，∵OD＝OB，OE＝OE，∴△DOE≌△BOE（SAS），∴∠OBE＝∠ODE＝90°，∵OB是⊙O的半径，∴直线BE与⊙O相切；（2）解：设⊙O的半径为r，在Rt△ODC中，OD2+DC2＝OC2，∴r2+42＝（r+2）2，∴r＝3，∴AB＝2r＝6，∴BC＝AC+AB＝2+6＝8，由（1）得：△DOE≅△BOE，∴DE＝BE，在Rt△BCE中，BC2+BE2＝CE2，∴82+BE2＝（4+DE）2，∴64+DE2＝（4+DE）2，∴DE＝6，∴DE的长为6．24．（2022秋•清原县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，点O在AC边上，⊙O经过点C且与AB边相切于点E，．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）若BC＝6，AB＝10，求⊙O的半径长．【分析】（1）作OH⊥FA，垂足为点H，连接OE，证明AC是∠FAB的平分线，进而根据OH＝OE，OE⊥AB，可得AF是⊙O的切线；（2）勾股定理得出AC，设⊙O的半径为r，则OC＝OE＝r，进而根据切线的性质，在Rt△OEA中，勾股定理即可求解．【解答】（1）证明：如图，作OH⊥FA，垂足为点H，连接OE，∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴，∴∠CAD＝∠ACD，∵∠BDC＝∠CAD+∠ACD＝2∠CAD，又∵，∴∠FAC＝∠CAD，即AC是∠FAB的平分线，∵点O在AC上，⊙O与AB相切于点E，∴OE⊥AB，且OE是⊙O的半径，∴OH＝OE，OH是⊙O的半径，∴AF是⊙O的切线；（2）解：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB＝10，∴，∵BE，BC是⊙O的切线，∴BC＝BE＝6，∴AE＝10﹣6＝4设⊙O的半径为r，则OC＝OE＝r，在Rt△OEA中，由勾股定理得：OE2+AE2＝OA2，∴16+r2＝（8﹣r）2，∴r＝3．∴⊙O的半径长为3．25．（2022秋•华容区期末）如图1，AB为⊙O直径，CB与⊙O相切于点B，D为⊙O上一点，连接AD、OC，若AD∥OC．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）如图2，过点A作AE⊥AB交CD延长线于点E，连接BD交OC于点F，若AB＝3AE＝12，求BF的长．【分析】（1）连接OD，由切线的性质得出OB⊥BC，证明△DOC≌△BOC（SAS），由全等三角形的性质得出∠ODC＝∠OBC＝90°，则可得出结论；（2）设BC＝x，过点E作EM⊥BC于M，则EM＝12，CM＝x﹣4，由勾股定理求出BC＝9，求出OC的长，则可得出答案．【解答】（1）证明：连接OD，∵CB与⊙O相切于点B，∴OB⊥BC，∵AD∥OC，∴∠A＝∠COB，∠ADO＝∠DOC，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO＝∠COB＝∠DOC，∴△DOC≌△BOC（SAS），∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∴OD⊥DC，又OD为⊙O半径，∴CD为⊙O的切线；（2）解：设CB＝x，∵AE⊥EB，∴AE为⊙O的切线，∵CD、CB为⊙O的切线，∴ED＝AE＝4，CD＝CB＝x，∠DOC＝∠BCO，∴BD⊥OC，过点E作EM⊥BC于M，则EM＝12，CM＝x﹣4，∴（4+x）2＝122+（x﹣4）2，解得x＝9，∴CB＝9，∴OC＝＝，∵＝，∴BF＝．26．（2022秋•建昌县期末）如图，四边形ABCD内接于圆O，AD是圆O的直径，AD，BC的延长线交于点E，延长CB交AF于点F，∠BAF+∠DCE＝90°．（1）求证：AF是圆O的切线；（2）点G在CE上，且BC＝CD＝CG，连接DG，DG＝2，AB＝5，求AD的长．【分析】（1）根据四边形ABCD内接于圆O和∠DCE+∠BCD＝180°得出∠BAD＝∠DCE，再根据∠BAF+∠DCE＝90°得出∠FAD＝90°即可证明；（2）连接OB，OC，BD，记OC与BD相交于点N，根据BC＝CD用垂径定理得出BN＝DN，再根据BC＝CG，OA＝OD运用三角形中位线得出CN，ON即可解答；【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆O，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠DCE+∠BCD＝180°，∴∠BAD＝∠DCE，∵∠BAF+∠DCE＝90°，∴∠BAF+∠BAD＝90°，即∠FAD＝90°，又∵AD是圆O的直径，∴AF是圆O的切线，（2）如图，连接OB，OC，BD，记OC与BD相交于点N，∵BC＝CD，∴∠BOC＝∠COD，又OB＝OD，∴BN＝DN，∵BC＝CG，∴，又∵OA＝OD，∴，∴OC＝ON+CN＝3.5，∴AD＝2OC＝7．27．（2023•鞍山二模）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O，⊙O恰好经过点C，点D为半圆AB中点，连接CD，过D作DE∥AB交AC延长线于点E．​（1）求证：DE为⊙O切线：（2）若AC＝4，，求⊙O的半径长．【分析】（1）连接OD，过点D作DF⊥AC于点F，根据点D为半圆AB的中点得OD⊥AB，再根据DE∥AB可得出OD⊥DE，据此可得出结论；（2）由（1）可知OD⊥AB，根据圆周角与圆心角的关系得∠ACD＝1/2∠AOD＝45°，则△DCF为等腰直角三角形，可用勾股定理求出CF＝DF＝1，然后在Rt△ADF中求出AD＝√10，进而在Rt△AOD中求出OA即可．【解答】（1）证明：连接OD，过点D作DF⊥AC于点F，如图：∵点D为半圆AB的中点，∴OD⊥AB，∵DE∥AB，∴OD⊥DE，∵OD为⊙O的半径，∴DE为⊙O的切线；（2）解：由（1）可知：OD⊥AB，∴∠AOD＝90°，∴∠ACD＝∠AOD＝45°，∵DF⊥AC，∴△DCF为等腰直角三角形，∴DF＝CF，在Rt△DCF中，DF＝CF，，由勾股定理得：DF2+CF2＝CD2，即：，∴CF＝DF＝1，∵AC＝4，∴AF＝AC﹣CF＝4﹣1＝3，在Rt△ADF中，AF＝3，DF＝1，由勾股定理得：