特训01 二次函数 单元重点（浙江中考模拟）（解析版）

特训01二次函数单元重点（浙江中考模拟）一、单选题1．（2020·浙江·模拟预测）下列函数二次函数的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据二次函数的定义逐一判断即可．【解析】解：A．是二次函数；B．是一次函数；C．含有分式，不是二次函数；D．当时不是二次函数；故选：A．【点睛】本题考查二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．2．（2020·浙江绍兴·模拟预测）二次函数的顶点坐标是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】已知解析式为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．【解析】解：二次函数y=（x-1）2-2的顶点坐标是（1，-2）．故选A．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为直线x=h，顶点坐标为（h，k）．3．（2023·浙江绍兴·统考三模）将二次函数的图象，先向右平移2个单位，再向上平移2个单位后的函数表达式为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将原二次函数整理为用顶点式表示的形式，根据二次函数的平移可得新抛物线的解析式．【解析】解：变为：，向右平移2个单位得到的函数的解析式为：，再向上平移2个单位后，所得图象的函数的解析式为，即．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象右移减、左移加，上移加、下移减是解题关键．4．（2022·浙江杭州·统考一模）若点，在同一个函数图象上，这个函数可能为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】把点A坐标和点B坐标代入四个选项中的解析式中求出m并验证即可．【解析】解：A，把代入中得，把代入中得，因为13=13，故A符合题意；B，把代入中得，把代入中得，因为，故B不符合题意；C，把代入中得，把代入中得，因为，故C不符合题意；D，把代入中得，把代入中得，因为，故D不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查根据自变量求二次函数值，熟练掌握该知识点是解题关键．5．（2023·浙江温州·校联考二模）已知函数，且时，取到最大值，则的值可能为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据抛物线的解析式求得抛物线开口向下，对称轴为直线根据二次函数的性质可得，即，即可选出最后答案．【解析】解：函数中，抛物线开口方向向下，对称轴直线为，当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，当时，，取到最大值，，即，故选：．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，找到对称轴确定二次函数的最值是解答本题的关键．6．（2023·浙江杭州·统考二模）点在二次函数的图象上，针对n的不同取值，存在点P的个数不同，甲乙两位同学分别得到如下结论：甲：若P的个数为1，则；乙：若P的个数为2，则则下列判断中正确的是（）A．甲正确，乙正确 B．甲正确，乙错误C．甲错误，乙正确 D．甲错误，乙错误【答案】B【分析】根据抛物线的对称性可知，当是顶点的纵坐标时，P的个数为1，当不是顶点纵坐标时，P的个数为2，即可得出结论．【解析】解：∵，∴抛物线的顶点坐标为：，∵点在二次函数的图象上，∴当时，点为抛物线的顶点，只有1个，当时，根据抛物线的对称性，点P的个数为2；∴甲正确，乙错误；故选B．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握抛物线的对称性，是解题的关键．7．（2022·浙江绍兴·统考一模）如图1，校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛．我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线．如图2建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是y=，则该同学此次投掷实心球的成绩是（

）A．2m B．6m C．8m D．10m【答案】D【分析】根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y=0，解方程即可．【解析】解：该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，∴令y=0，则=0，整理得：x2-8x-20=0，解得：x1=10，x2=-2（舍去），∴该同学此次投掷实心球的成绩为10m，故选：D．【点睛】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程问题．8．（2023·浙江·一模）如图所示为二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】利用抛物线图像与性质进行判断，根据函数图像开口方向确定，对称轴及确定，函数图像与轴交点的确定，取特殊点代入函数，根据函数图像确定关于、、代数式的正负即可．【解析】解：抛物线与轴有个交点，，，故①正确；当时，，，故②错误；抛物线开口向下，抛物线与轴交于正半轴，，抛物线的对称轴为直线，故③正确；当时，，即，，，故④正确；故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，掌握二次函数的系数、、与抛物线图像的位置关系是解题的关键，熟记一些特殊的自变量值所对应的代数式，如本题出现的时，，再结合图像确定函数的取值范围，能较快的解决问题．9．（2023·浙江嘉兴·统考二模）已知二次函数，下列说法中正确的个数是（

）（1）当时，此抛物线图象关于轴对称；（2）若点，点在此函数图象上，则；（3）若此抛物线与直线有且只有一个交点，则；（4）无论为何值，此抛物线的顶点到直线的距离都等于．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】求得抛物线的对称轴即可判断①；求得两点到对称轴的距离即可判断②；令，根据，求得m的值即可判断③；求得抛物线顶点坐标得到抛物线的顶点在直线上，可知直线与直线平行，求得两直线的距离即可判断④．【解析】解：（1）当时，，∴抛物线的对称轴为y轴，此抛物线图象关于y轴对称，故该项正确；（2）∵，∴抛物线开口向上，对称轴为直线，∵点，点在此函数图象上，且，∴，故该项错误；（3）若此抛物线与直线有且只有一个交点，则令，整理得，∴解得，故该项错误；（4）∵∴顶点为，∴抛物线的顶点在直线上，∵直线与直线平行，∴此抛物线的顶点到直线的距离都相等．

设直线交x轴于A，交y轴于B，点O到的距离为，则，∴∵∴∴，∴两直线间的距离为，故该项正确；故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与方程的关系，熟知二次函数的性质是解题的关键．10．（2023·浙江杭州·校联考二模）已知a＜0，，是方程的两个根，且，，是抛物线与x轴的两个交点横坐标，且，则，，，的大小关系为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由，是方程的两个根，且，可得的图象如图示，且，对称轴为直线，而的形状与的形状相同，开口方向一致，与轴交于同一点，且对称轴为直线，结合，则，从水平方向看的图象是的图象先向左平移得到的；可得的图象如图示；再结合图象可得答案．【解析】解：∵，是方程的两个根，且，∴的图象如图示，且，对称轴为直线，

而的形状与的形状相同，开口方向一致，与轴交于同一点，且对称轴为直线，∵，则，则，∴从水平方向看的图象是的图象先向左平移；∴的图象如图示；∴，故选C【点睛】本题考查的是二次函数的图象的平移，二次函数的性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．二、填空题11．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为．【答案】2019【分析】先将点（m，0）代入函数解析式，然后求代数式的值即可得出结果．【解析】解：将（m，0）代入函数解析式得，m2-m-1=0，∴m2-m=1，∴-3m2+3m+2022=-3（m2-m）+2022=-3+2022=2019．故答案为：2019．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及求代数式的值，解题的关键是将点（m，0）代入函数解析式得到有关m的代数式的值．12．（2021·浙江丽水·一模）抛物线与轴的交点坐标为．【答案】（0，1）【分析】将x=0代入函数解析式求解．【解析】解：把x=0代入得，解得y=1，∴抛物线与y轴交点坐标为（0，1）．故答案为：（0，1）．【点睛】本题考查了抛物线与y轴交点坐标，把x=0代入即可．13．（2020·浙江绍兴·模拟预测）已知、、在函数的图象上，则、、的大小关系是．（用“＜”连接）【答案】y2＜y3＜y1【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y=-5（x+1）2+c的开口向下，对称轴为直线x=-1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．【解析】解：∵抛物线y=-5（x+1）2+c的开口向下，对称轴为直线x=-1，而B（2，y2）离直线x=-1的距离最远，A（-1，y1）点离直线x=-1最近，∴y2＜y3＜y1．故答案为：y2＜y3＜y1．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标利用二次函数的性质是解题的关键．14．（2021·浙江杭州·统考一模）已知二次函数y与自变量x的部分对应值如表：…01348……70040…则二次函数的解析式为．【答案】【分析】从表格中选三组数代入，求出即可．【解析】解：设二次函数的解析式为，将、、代入得：，解得．∴二次函数的解析式为；故答案为：．【点睛】本题考查利用待定系数法求二次函数解析式．掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式是解答本题的关键．15．（2023·浙江杭州·校联考一模）已知二次函数，当时，y的取值范围是，该二次函数的对称轴为，则m的取值范围是．【答案】或【分析】根据二次函数的性质可得当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，然后分三种情况讨论：若，该函数图象过点，；若，该函数图象过点，；若，即可求解．【解析】解：根据题意得：二次函数的对称轴为直线，∵该二次函数的对称轴为，∴，∵，∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，∵当时，y的取值范围是，若，该函数图象过点，，∴，解得：，此时（舍去）；若，该函数图象过点，，∴，解得：，此时（舍去）；若，当时，此时，当时，，且该函数图象过点，∴，解得：或，此时（舍去）或；当时，此时，当时，，该函数图象过点，∴，解得：或，此时（舍去）或；综上所述，m的值是为或．故答案为：或．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．16．（2023·浙江绍兴·统考一模）已知是关于的函数，若该函数的图象经过点，则称点为函数图象上的“平衡点”，例如：直线上存在“平衡点”，若函数的图象上存在唯一“平衡点”，则．【答案】2，，1【分析】将代入，得，由函数的图象上存在唯一“平衡点”，可得有两个相等的实数根，，求解即可．【解析】解：将代入，得：，即，函数的图象上存在唯一“平衡点”，有两个相等的实数根，，解得：或，当时，是一次函数，有唯一“平衡点”，故答案为：2，，1．【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的特征，新定义，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，一次函数的性质，理解“平衡点”的定义是解题的关键．三、解答题17．（2019·浙江湖州·统考一模）二次函数y＝ax2+bx﹣1中的x、y满足如表：x…﹣1012…y…0﹣1m9…（1）求这个二次函数的表达式；（2）求m的值．【答案】（1）y＝2x2+x﹣1；（2）m＝2．【分析】（1）根据待定系数法求函数解析式的方法，将x＝﹣1，y＝0，x＝2，y＝9代入即可；（2）将x＝1代入二次函数的解析式，即可求得m的值．【解析】解：（1）把x＝﹣1，y＝0，x＝2，y＝9，分别代入二次函数的解析式，得：和，解得：，∴二次函数的解析式为：y＝2x2+x-1；（2）当x＝1时，m＝2+1-1＝2．【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，解决此题的关键是能从表格中选出两组合适的数值代入y＝ax2+bx-1．18．（2023·浙江湖州·统考二模）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点．

(1)求该抛物线的解析式；(2)将该抛物线向下平移n个单位，使得平移后的抛物线经过点，求n的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）把点代入可求出b，从而得解；（2）根据抛物线向下平移n个单位，得到新抛物线的解析式，再将点代入可求出n的值．【解析】（1）解：把点代入得：，解得，∴抛物线的解析式为：（2）抛物线向下平移n个单位后得：，把点代入得：解得：即n的值为1．【点睛】本题考查待定系数法和抛物线的平移，掌握待定系数法和抛物线的平移是解题的关键．19．（2022·浙江杭州·校考二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数．(1)若该函数的图象经过点，求该二次函数图象的顶点坐标．(2)若为此函数图象上两个不同点，当时，恒有，试求此函数的最值．(3)当且时，判断该二次函数图象的顶点所在象限，并说明理由．【答案】(1)(2)函数有最大值0(3)在第二象限，理由见解析【分析】（1）直接将点代入即可求得a的值，然后根据顶点公式求得即可；（2）利用题意，求解a，然后把解析式化成顶点式，根据二次函数的性质即可得到结论；（3）利用顶点公式求得，，由且即可判断，即可得到该二次函数图象的顶点在第二象限．【解析】（1）解：∵函数图象过点，∴将点代入，得：，解得，∴二次函数的解析式为，∴该二次函数的顶点坐标为；（2）解：函数的对称轴是直线，∵为此二次函数图象上的两个不同点，且，恒有，∴，∴，∴，∴当时，函数有最大值0；（3）解：∵，∴由顶点公式得：，，∵且，∴，∴该二次函数图象的顶点在第二象限．【点睛】本题考查二次函数图象和性质；二次函数图象上点的特征，二次函数的最值，熟知二次函数的顶点公式是解决本题的关键．20．（2022·浙江绍兴·统考一模）图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向出击时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有二次函数关系．小明在一次击球过程中测得一些数据，如下表所示．根据相关信息解答下列问题．飞行时间012飞行高度01520(1)求小球的飞行高度（单位：）关于飞行时间（单位：）的二次函数关系式；(2)小球从飞出到落地要用多少时间？(3)小球的飞行高度能否达到？如果能，请求出相应的飞行时间；如果不能，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)不能，理由见解析【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）令h=0即可求解；（3）令，得到方程无解即可判断．【解析】（1）由题意可设关于的二次函数关系式为，因为当，2时，，20，∴，解得：．∴关于的二次函数关系式为．（2）当，，解得：，．∴小球从飞出到落地所用的时间为．（3）小球的飞行高度不能达到．理由如下：当时，，方程即为，∵，∴此方程无实数根．即小球飞行的高度不能达到．【点睛】此题主要考查一元二次方程与二次函数的实际应用，解题的关键是根据题意求出函数解析式，再根据题意进行解答．21．（2022·浙江温州·统考一模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0）．(1)求抛物线的函数表达式和对称轴．(2)P为y轴上的一点．若点P向左平移n个单位，将与抛物线上的点P1重合；若点P向右平移2n个单位，将与抛物线上的点P2重合．已知n＞0．①求n的值．②若点C在抛物线上，且在直线P1P2的上方（不与点P1，P2重合），求点C纵坐标的取值范围．【答案】(1)，抛物线的对称轴为直线x=1(2)①n=2；②【分析】（1）把点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，可得到抛物线解析式，再化为顶点式，即可求解；（2）①设点P（0，p），则P1（-n，p），P2（2n，p），根据题意得，解出即可求解；②由①可得，从而得到直线P1P2为y=-5，再由当x=1时，y有最大值4，即可求解．【解析】（1）解：把点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线的解析式为，∵，∴抛物线的对称轴为直线x=1；（2）解：①∵点P向左平移n个单位，将与抛物线上的点P1重合；若点P向右平移2n个单位，将与抛物线上的点P2重合．∴设点P（0，p），则P1（-n，p），P2（2n，p），∴，解得：n1=0，n2=2，∵n＞0．∴n=2；②∵n=2，∴，∴，∴直线P1P2为y=-5，∵，∴当x=1时，y有最大值4，∴点C在抛物线上，且在直线P1P2的上方（不与点P1，P2重合），点C纵坐标的取值范围为．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．22．（2023·浙江舟山·统考模拟预测）二次函数过点(1)求二次函数的解析式；(2)若点A和点B都在二次函数图像上，求最小值；(3)一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中．其中点A是二次函数图像上一点，点B是图像上一点．若，求m的取值范围．【答案】(1)(2)(3)或或【分析】（1）把已知点的坐标代入中，求出的值即可；（2）根据二次函数图象上点的坐标特征得到，，则，然后利用二次函数的性质解答即可；（3）先确定抛物线的对称轴为，再求出点关于对称轴的对称点的坐标为，则，即或，求出不等式的解集即可【解析】（1）把代入得，，解得：，∴二次函数解析式为；（2）∵点A和点B都在二次函数图像上，∴，，∴，∴当时，有最小值，最小值为:；（3）∵∴抛物线的对称轴为直线，∴点关于对称轴的对称点的坐标为，∵点的坐标为，∴表示点与点的距离，∴，整理得，，即或，解方程得，，，∴的解集为或；解方程得，，∴的解集为；综上，的取值范围为：或或．【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求二次函数解析式，在利用待定系数法求二次函数解析式时，要根据题目给定的条件选择恰当的方法设出函数关系式，从而代入数值求解，同时也考查了一次函数，二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征等．23．（2022·浙江丽水·统考二模）如图，已知抛物线（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．(1)若直线y＝mx+n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使MA+MC的值最小，求点M的坐标；(3)设P为抛物线的对称轴x＝﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．【答案】(1)，y＝x+3(2)M的坐标为（﹣1，2）(3)点P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）设直线BC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小，进而求解；（3）分点B为直角顶点、点C为直角顶点、P为直角顶点三种情况，分别求解即可．【解析】（1）解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），故点B的坐标为（﹣3，0），设抛物线的表达式为y＝＝，将点C坐标代入上式得：3＝a（﹣3），解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为：；把B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝mx+n得：，解得，∴直线的解析式为y＝x+3；（2）解：设直线BC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．把x＝﹣1代入直线y＝x+3得y＝2，故M（﹣1，2），即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；（3）解：设P（﹣1，t），B（﹣3，0），C（0，3），则＝18，＝＝，，若点B为直角顶点时，则，即18+＝，解得t＝﹣2；若点C为直角顶点时，则BC2+PC2＝PB2，即＝18+，解得t＝4，若P为直角顶点时，则，则+＝18，解得t＝，综上，点P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、直角三角形的性质、点的对称性等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．24．（2022·浙江丽水·统考一模）如图，抛物线与x轴，y轴分别交于A，D，C三点，已知点A(4，0)，点C(0，4)．若该抛物线与正方形OABC交于点G且CG:GB=3:1．(1)求抛物线的解析式和点D的坐标；(2)若线段OA，OC上分别存在点E，F，使EF⊥FG．已知OE=m，OF=t．①当t为何值时，m有最大值？最大值是多少？②若点E与点R关于直线FG对称，点R与点Q关于直线OB对称．问是否存在t，使点Q恰好落在抛物线上？若存在，直接写出t的值；