现代控制理论-线性控制系统的能控性与能观性例题

第三章线性控制系统的能控性与能观性例分析以下系统的能观测性（1）（2）（3）（4）

2121N==CCA

1010

例考察系统的能观测性。

rankN

=2=n所以系统是能观测的。[例]：判别如下系统的能观测性：前三行已使系统完全能观测！解：3.6.1线性系统的对偶关系线性系统1、2如下：如果满足如下关系3.6能控性与能观性的对偶关系那么称两系统是互为对偶的.CB∫++u1(t)x1(t)y1(t)x1(t)A∫BTCT++u2(t)x2(t)y2(t)x2(t)AT从结构图上看，系统

1和其对偶系统

2的输入端和输出端互换，信号传递方向相反，信号引出点和综合点互换，各矩阵转置。

互为对偶关系的系统之间的性质1〕互为对偶的系统，其传递函数阵是互为转置的。2〕互为对偶的系统，其特征方程是相同的。设和是互为对偶的两个系统，那么的能控性等价于的能观测性；的能观测性等价于的能控性。3.6.2对偶原理[证明]：若能控，则能控性矩阵满秩。即的能观测性矩阵为：所以能观测。利用对偶原理，把对系统能控性分析转化为对相应对偶系统能观测性的分析，从而将控制问题和估计问题联系到了一起。反之亦然。3.7能控标准型和能观测标准型一、单输入系统的能控标准型1、能控标准I型单输入线性定常系统：那么存在线性非奇异变换：能控将状态方程化为能控标准I型：其中：[例]：设线性定常系统用下式描述式中：试将状态方程化为能控标准I型。

注意：非特别标明，能控标准型指的是能控标准I型。[解]：1〕判断系统能控性2〕计算特征多项式3〕计算变换阵，并化为能控标准I型[例]：写出以下传递函数的能控标准I型。[解]：先判断能控与能观，答案是肯定的。所以：能控标准I型为：[例]：设线性定常系统用下式描述式中：试将状态方程化为能控标准I型。[解]：2、能控标准II型其中：如果单输入线性定常系统：是状态能控的，将状态方程化为能控标准II型：那么存在线性非奇异变换：[解]：1〕判断系统能控性2〕计算特征多项式3〕化为能控标准II型[例]试将以下状态空间表达式变换为能控标准II形。3.7.2单输出系统的能观测标准型n维线性定常系统如果状态完全能观测，必有：此时可导出能观标准型。1、能观测标准I型〔对偶于能控标准II型〕如果单输出线性定常系统：是能观测的，那么存在线性非奇异变换：将状态方程化为第一能观测标准型：其中：非奇异变换阵为：2、能观测标准II型〔对偶于能控标准I型〕如果单输出线性定常系统：是能观测的，将状态方程化为能观测标准II型：那么存在线性非奇异变换：其中：[例]：设线性定常系统用下式描述式中：试将状态方程化为能观测标准II型。

注意：非特别标明，能观测标准型指的是能观测标准II型。[解]：1〕判断系统能观测性3〕计算变换阵，并化为能观测标准II型2〕计算特征多项式[例]：写出以下传递函数的能观测标准II型。[解]：无零极点相消，故能控且能观测。可以化为能观测标准型。所以：能观测标准II型为：3.8线性系统的结构分解按能控性分解按能观测性分解按能控能观测性分解系统状态变量能控不能控能观不能观能观不能观能控能观能控不能观不能控能观不能控能观结构分解依据能控能观性，将系统分解为四个子系统特殊的线性变换分解步骤：1、将系统分解成能控与不能控子系统；2、分别将两个子系统分解成能观与不能观子系统。分解的原因：除了对角线和约当标准型能明显识别外，其它能控、能观测、不能控和不能观测局部不能显性地表示出来。结构分解是：1〕最小实现的理论依据：本质上反映状态空间描述的特性2〕状态反响的根底：能控局部极点可任意配置。3〕状态重构的前提。3.8.1按能控性分解目的：将系统显性分解为能控和不能控两局部。为实现做准备。如果线性定常系统：是状态不完全能控的，它的能控性判别矩阵的秩那么存在非奇异变换：将状态空间描述变换为：其中：非奇异变换阵：前n1列为M中n1个线性无关的列，其余列在保证Rc非奇异下任选。能控性分解示意图：其中是n1维能控部分：其中是n-n1维不能控部分：u不能直接控制，而未来信息中又不含的信息。能控局部不能控局部例：对以下系统进行能控性分解。解：能控性矩阵不能控构造变换矩阵与前2个列向量线性无关；尽可能简单不能控子系统能控子系统3.8.2按能观测性分解目的：将系统显性地分解为能观测和不能观测两局部。观测器设计根底。如果线性定常系统：是状态不完全能观测的，它的能观测性判别矩阵的秩：那么存在非奇异变换：将状态空间描述变换为：其中：

非奇异变换阵：前n1行为N中n1个线性无关的行，其余行在保证Ro非奇异下任选。能观测性分解示意图：能观测局部不能观测局部其中是n1维能观测部分：其中