函数思想在方程中的应用

函数思想在方程中的应用

函数思维是指分析、转换和解决问题，用函数的概念和性质来解决问题。函数思想是数学思想的重要组成部分,在高中数学中起到横向联系和纽带联结的主干作用。函数思想的运用,就是根据提出问题的数学特征,构建一个相应的函数关系型的数学模型,用函数知识去解决问题。下面简单介绍一下运用函数思想来解决方程、不等式、数列、参数的取值范围等问题。一、单元类型a型函数与方程既是两个不同的概念,又存在着密切的联系。一个函数若能用一个解析式表达,则这个表达式就可看成一个方程;一个二元方程的两个未知数间存在着对应关系,如果这个对应关系是单值的,那么这个方程也可以看成一个函数。一个方程的两端可以分别看成函数,方程的解就是这两个函数图象交点的横坐标。因此,许多有关方程的问题都可用函数思想来解决。【例1】求证:不论a取什么实数,方程x2-(a2+a)x+a-2=0必有两个不相等的实根。分析:此题若用常规解法,求出判别式△是一个关于a的一元四次多项式,符号不易判断。若用函数思想去分析题意,即设函数f(x)=x2-(a2+a)x+a-2,要证明命题成立,只需证明函数y=f(x)的图象与x轴有两个交点,由于它的开口向上,只要找到一个实数x0,使f(x0)<0即可。比如f(1)=1-(a2+a)+a-2=-a2-1<0。故函数y=f(x)的图象与x轴有两个交点,因此命题成立。【例2】已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α、β,证明:(I)如果|α|<2,|β|<2,那么2|a|<4+b且|b|<4;(II)如果2|a|<4+b且|b|<4,那么|α|<2,|β|<2;(93年全国理)分析:本题表面上看是方程问题,方程的根的分布与参数a,b之间满足的关系式,如果用纯方程理论处理则十分繁琐,如果用函数思想来分析,将方程根的分布问题转化为函数图像与x轴交点问题,就可轻易解决。解:本题(I)(II)的结果是可设函数f(x)=x2+ax+b(I)由二次函数的图像知且│b│=│α·β│<4(Ⅱ)由可知α、β在(-2,2)之内或在(-2,2)之外,若α,β在(-2,2)之外,则|αβ|=b>4,这与|b|<4相矛盾,故α,β∈(-2,2)。二、函数有界性分析【例4】已知a、b、x、y都是实数,且a2+b2=1,x2+y2=1,求证:ax+by≤1分析:已知条件中有平方和等于1,可联想正、余弦之间的平方关系,利用函数的有界性进行证明。证明:∵a2+b2=1,x2+y2=1∴可设a=sinα,b=cosα,x=sinβ,y=cosβ则有ax+by=sinαsinβ+cosαcosβ=cos(α-β)≤1∴ax+by≤1三、生成目标函数数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2......n})的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值,而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。因此,有些数列的问题可用函数思想来解决。【例5】在等差数列中,前n项为Sn,已知Sp=q,Sq=p(p、q∈N*且p≠q),求Sp+q分析:本题的常规解法是用求和公式建立方程组,求出a1和d,进而求出Sp+q,但计算十分繁琐。若考虑到等差数列的前n项和是关于n的二次函数,且无常数项。故可考虑建立目标函数Sn=an2+bn(a,b为待定系数),可优化解题过程。解:设Sn=an2+bn(a,b为待定系数),则(1)-(2)整理得(p-q)[a(p+q)+b)]=-(p-q)∵p≠q即p-q≠0∴a(p+q)+b=-1又∵Sp+q=a(p+q)2+b(p+q)=(p+q)[a(p+q)+b]=-(p+q)∴Sp+q=-(p+q)四、参数或变量的范围用函数思想来确定(一)x的解析问题【例6】若不等式2x-1>m(x2-1)对|m|≤2的所有m均成立,求x的取值范围。分析:由于思维定势,易把它看成关于x的不等式进行讨论,问题就比较复杂。然而,若变换一个角度,以m为变量,构造关于m的一次函数f(m)=m(x2-1)-2x+1在[-2,2]上f(m)<0恒成立,问题就简单得多。解:构造关于m的一次函数f(m)=m(x2-1)-2x+1,则由f(m)<0对m∈[-2,2]恒成立得∴x的取值范围是(二)bx0222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222【例7】已知实数a,b,c,d,满足a+b+c+d=5,a2+b2+c2+d2=7,求a的取值范围。解:构造关于x的二次函数f(x)=(x-b)2+(x-c)2+(x-d)2=3x2-2(b+c+d)x+(b2+c2+d2)∵f(x)≥0∴△≤0即4(b+c+d)2-12(b2+c2+d2)≤0,亦即4(5-a)2-12(7-a2)≤0∴2a2-5a+2≤0∴1/2≤a≤2∴a的取值范围为[1/2,2]总之,函数知识涉及的知识点多、面广,在概念性、理解性、应用性都有一定的要求,在解题时,要善于对所给的问题仔细观察、深入分析,挖掘题目中的隐含条件,构造出函数解析式和妙用函数的性质去解决问题。【例3】设a,b