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文档简介
专题15乘法公式的应用专题探究(一)利用乘法公式求面积:【类题训练】1.如图,从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形,然后用剩余的部分剪开后拼成一个长方形,上述操作能验证的等式是()A.a2+ab=a(a+b) B.(a+b)2=a2+2ab+b2 C.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2 D.a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)2.如图1,将边长为a的正方形纸片,剪去一个边长为b的小正方形纸片.再沿着图1中的虚线剪开,把剪成的两部分(1)和(2)拼成如图2的平行四边形,这两个图能解释下列哪个等式()A.(a+b)2=a2+2ab+b2 B.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2 C.a2+b2=(a+b)(a﹣b) D.a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)3.如图,将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形,利用等面积法可证明某些乘法公式,在给出的4幅拼法中,其中能够验证平方差公式的有()①②③④ B.①②③C.①③ D.③④4.如图,M是AG的中点,B是AG上一点.分别以AB、BG为边,作正方形ABCD和正方形BGFE,连接MD和MF.设AB=a,BG=b,且a+b=10,ab=21,则图中阴影部分的面积为()A.46 B.33 C.28 D.525.如图,有两个正方形纸板A,B,纸板A与B的面积之和为34.现将纸板B按甲方式放在纸板A的内部,阴影部分的面积为4.若将纸板A,B按乙方式并列放置后,构造新的正方形,则阴影部分的面积为()A.30 B.32 C.34 D.366.如图①,现有边长为b和a+b的正方形纸片各一张,长和宽分别为b,a的长方形纸片一张,其中a<b.把纸片Ⅰ,Ⅲ按图②所示的方式放入纸片Ⅱ内,已知图②中阴影部分的面积满足S1=6S2,则a,b满足的关系式为()A.3b=4a B.2b=3a C.3b=5a D.b=2a7.在数学活动课上,一位同学用四张完全一样的长方形纸片(长为a,宽为b,a>b)搭成如图一个大正方形,面积为132,中间空缺的小正方形的面积为28.下列结论中,正确的有()①(a﹣b)2=28;②ab=26;③a2+b2=80;④a2﹣b2=64A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④8.边长为a的正方形ABCD与边长为b的正方形DEFG按如图所示的方式摆放,点A,D,G在同一直线上.已知a+b=10,ab=24.则图中阴影部分的面积为.9.数学活动课上,小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形,剩余部分沿虚线剪开,拼成新的图形.现给出下列3种不同的剪、拼方案,其中能够验证平方差公式的方案是.(请填上正确的序号)10.建党100周年主题活动中,702班浔浔设计了如图1的“红色徽章”其设计原理是:如图2,在边长为a的正方形EFGH四周分别放置四个边长为b的小正方形,构造了一个大正方形ABCD,并画出阴影部分图形,形成了“红色徽章”的图标.现将阴影部分图形面积记作S1,每一个边长为b的小正方形面积记作S2,若S1=6S2,则的值是.11.如图是A型卡片(边长为a的正方形)、B型卡片(长为a、宽为b的长方形)、C型卡片(边长为b的正方形).现有4张A卡片,11张B卡片,7张C卡片,取其中的若干张卡片(3种类型卡片都要取到)无缝隙、无重叠地拼正方形或长方形,下列说法正确的是.(只填序号)①可拼成边长为a+3b的正方形;②可拼成长、宽分别为2a+4b、2a+b的长方形;③用所有卡片可拼成一个大长方形;④最多可拼出4种面积不同的正方形.12.如图1所示,将一张长为2m,宽为n(m>n)的长方形纸片沿虚线剪成4个直角三角形,拼成如图2的正方形ABCD(相邻纸片之间不重叠,无缝隙),若正方形ABCD的面积为20,中间空白处的正方形EFGH的面积为4,则:(1)m+n=;(2)原长方形纸片的周长是.13.两个边长分别为a和b的正方形(a>b)如图放置(图1,2,3),若阴影部分的面积分别记为S1,S2,S3.(1)用含a,b的代数式分别表示S1,S2,S3;(2)若S1=1,S3=3,求S2的值;(3)若对于任意的正数a、b,都有S1+mS3=kS2(m,k为常数),求m,k的值.14.图1是一个长为2m、宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形,然后按图2的形状拼成一个正方形.(1)图2中的阴影部分的正方形的边长等于;(2)观察图2写出三个代数式(m+n)2,(m﹣n)2,mn之间的等量关系;(3)若mn=﹣3,m﹣n=5,则:①(m+n)2的值为;②m2+n2的值为;③m4+n4的值为.(二)乘法公式的直接运用:1.平方差公式:2.完全平方公式:【类题训练】1.计算:(2x﹣y)2﹣(x﹣2y)2.2.计算:(x﹣2y+3)(x+2y﹣3).3.已知x=,求(3x﹣1)2+(1+3x)(1﹣3x)的值.4.先化简,再求值:(x+2y)2﹣(x﹣2y)2﹣(x+2y)(x﹣2y)﹣4y2,其中x=﹣2,y=.5.先化简,再求值:(2m+1)(2m﹣1)﹣(m﹣1)2+(2m)3÷(﹣8m),其中m2+m﹣2=0.6.观察下列各式:(a﹣b)(a+b)=a2﹣b2;(a﹣b)(a2+ab+b2)=a3﹣b3;(a﹣b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4﹣b4;…根据这一规律计算:(1)(a﹣b)(a4+a3b+a2b2+ab3+b4)=;(a﹣b)(an+an﹣1b+an﹣2b2+…+abn﹣1+bn)=;(2)22021+22020+22019+…+22+2+1.(三)运用乘法公式进行简便计算:【类题训练】1.运用乘法公式进行简便计算:(1)2022+202×198+982(2)20162﹣2017×2015(3)1992.(4)1232﹣122×124.(5)1007×993;(6)32×20.22+0.68×2022.(7)1002-992+982-972+962-952+……+22-12(四)完全平方公式的变形应用:完全平方公式的变形公式:【类题训练】1.若(a+b)2=25,a2+b2=13,则ab的值为()A.6 B.﹣6 C.12 D.﹣122.已知:(2021﹣a)(2020﹣a)=3,则(2021﹣a)2+(2020﹣a)2的值为()A.7 B.8 C.9 D.123.已知a+b=10,ab=﹣5,则a2+b2=.4.已知:x+y=0.34,x+3y=0.86,则x2+4xy+4y2=.5.若a+9=b+8=c+7,则(a﹣b)2+(b﹣c)2﹣(c﹣a)2=.6.两个边长分别为a和b的正方形如图放置(图1),其未叠合部分(阴影)面积为S1;若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形(如图2),两个小正方形叠合部分(阴影)面积为S2.若a+b=8,ab=10,则S1+S2=;当S1+S2=40时,则图3中阴影部分的面积S3=.7.已知a+b=5,ab=.(1)求a2+b2的值;(2)求a﹣b的值.8.若,求:①(b﹣c)2+3(b﹣c)+3的值;②2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac的值.9.阅读理解:若x满足(80﹣x)(x﹣60)=30,求(80﹣x)2+(x﹣60)2的值.解:设80﹣x=a,x﹣60=b,则(80﹣x)(x﹣60)=ab=30,a+b=(80﹣x)+(x﹣60)=20,∴(80﹣x)2+(x﹣60)2=a2+b2=(a+b)2﹣2ab=202﹣2×30=340.解决问题(1)若x满足(20﹣x)(x﹣10)=﹣10,求(20﹣x)2+(x﹣10)2的值;(2)若x满足(2022﹣x)2+(2020﹣x)2=4048,求(2022﹣x)(2020﹣x)的值.(五)综合应用:1.若(x2+px+q)(x﹣2)展开后不含x的一次项,则p与q的关系是()A.p=2q B.q=2p C.p+2q=0 D.q+2p=02.已知a,b是常数,若化简(﹣x+a)(2x2+bx﹣3)的结果不含x的二次项,则36a﹣18b﹣1的值为()A.﹣1 B.0 C.17 D.353.若代数式x2+3x+2可以表示为(x﹣1)2+a(x﹣1)+b的形式,则a+b的值是()A.10 B.11 C.12 D.134.已知代数式x2+y2+4x﹣6y+13=0,则(y+1)x的值为()A.16 B.﹣16 C.﹣ D.5.若2m×8n=32,,则的值为.6.已知x2+xy+y=14①,y2+xy+x=28②,则x+y的值为.7.已知a+b=1,ab=﹣2,则代数式(a+1)(b+1)的值是.8.已知x=+1,则代数式x2﹣2x+1的值为.9.若a2+ma+25是一个完全平方式,则实数m=.10.若25x2+1加上一个单项式能成为一个完全平方式,这个单项式是.11.下列有四个结论:①若(1﹣x)x+1=1,则x=﹣1;②若a2+b2=3,a﹣b=1,则(2﹣a)(2﹣b)的值为5﹣2;③若规定:当ab≠0时,a⊗b=a+b﹣ab,若a⊗(4﹣a)=0,则a=2;④若4x=a,8y=b,则24x﹣3y可表示为;⑤已知多项式x2+4x+m是完全平方式,则常数m=4.其中正确的是.(填序号)12.已知实数m,n满足m﹣n=1,则代数式m2+2n+4m﹣1的最小值为.13.已知S=t2﹣2t﹣15,则S的最小值为.14.如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差,那么称这个正整数为“奇特数”,例如:8=32﹣12,16=52﹣32,24=72﹣52;则8、16、24这三个数都是奇特数.(1)填空:32奇特数,2018奇特数.(填“是”或者“不是”)(2)设两个连续奇数是2n﹣1和2n+1(其中n取正整数),由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗?为什么?(3)如图所示,拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…,按此规律拼叠到正方形ABCD,其边长为99,求阴影部分的面积.15.数学活动课上,老师准备了若干个如图1的三种纸片,A种纸片是边长为a的正方形,B种纸片是边长为b的正方形,C种纸片是长为a、宽为b的长方形.用A种纸片一张,B种纸片一张,C种纸片两张可拼成如图2的大正方形.(1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积(答案直接填写到题中横线上);方法1;方法2.(2)观察图2,请你直接写出下列三个代数式:(a+b)2,a2+b2,ab之间的等量关系;(3)类似的,请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证:(a+b)(a+2b)=a2+3ab+2b2,请你将该示意图画在答题卡上;(4)根据(2)题中的等量关系,解决如下问题:①已知:a+b=5,a2+b2=11,求ab的值;②已知(x﹣2018)2+(x﹣2020)2=34,求(x﹣2019)2的值.16.【探究】如图①,从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形,将阴影部分沿线剪开,如图所示,拼成图②的长方形.(1)请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积;;(2)比较两图的阴影部分面积,可以得到乘法公式:(用字母表示);【应用】请应用这个公式完成计算:2001×1999;【拓展】(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(232+1)+1结果的个位数字为.17.(1)填空:(a﹣b)(a+b)=;(a﹣b)(a2+ab+b2)=;(a﹣b)(a3+a2b+ab2+b3)=;(2)猜想:(a﹣b)(an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1)=(其中n为正整数,且n≥2).(3)利用(2)猜想的结论计算:①211+210+29
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