基于三种忆阻器模型的混沌电路研究

摘要在非线性电路系统中，混沌信号由于具有内在的随机行为，它的非周期、连续宽带频谱、类噪声等特性非常适合于保密通信系统。这段时间以来，以忆阻器为非线性元件混沌电路研究越发火热。忆阻器混沌电路有着极其强烈的数据敏感性。与一般的混沌电路相比，忆阻器混沌电路的混沌现象更为繁复。所以基于忆阻器为非线性元件而建立的混沌电路有着更为强烈的伪随机信号。并且忆阻器混沌电路因忆阻器的初值改变而改变。这使忆阻器在混沌领域应用中有着更为广泛的应用空间。基于以上的思路，本文提出了基于三种忆阻器模型的混沌电路，主要研究内容如下：首先对忆阻器的理论依据和特性进行讨论，分别搭建三种不同的忆阻器模型。并对三种模型进行仿真，改变不同的参数对比分析，并详细讨论三种忆阻器的伏安特性。研究表明：在相同频率，忆阻器的伏安特性曲线是呈现同心圆环状；而在电压相同，忆阻器的伏安特性曲线却是呈现慢慢向上倾斜的状态；这是由于忆阻器有电荷积累特性。然后，选择三种忆阻器模型进行混沌电路的研究。建立Chua氏混沌电路和三种基于不同忆阻器为非线性元件的混沌电路模型。分析研究其分岔性和李雅普诺夫指数。然后对比分析四种系统。结果可以看出忆阻器混沌电路具有更为复杂的混沌吸引子，相位图也更为繁复。其中自旋忆阻器的混沌特性最好，能更好的适用与通讯保密领域中。关键词：非线性元器件，忆阻器，混沌电路，MATLAB仿真ABSTRACTInnonlinearcircuitsystems,chaoticsignalshaveinherentrandombehavior,andtheircharacteristicssuchasaperiodic,continuouswidebandspectrum,andnoise-likeareverysuitableforsecurecommunicationsystems.Sincethistime,thestudyofchaoticcircuitswithmemristorsasnonlinearcomponentshasbecomemoreandmorehot.Memristorchaoticcircuitshaveextremelystrongdatasensitivity.Comparedwiththegeneralchaoticcircuit,thechaoticphenomenonofthememristorchaoticcircuitismorecomplicated.Therefore,thechaoticcircuitbasedonthememristorasanonlinearcomponenthasamoreintensepseudo-randomsignal.Andthememristorchaoticcircuitchangesduetothechangeoftheinitialvalueofthememristor.Thismakesthememristorhaveawiderapplicationspaceintheapplicationofchaos.Basedontheaboveideas,thispaperproposesachaoticcircuitbasedonthreememristormodels.Themainresearchcontentsareasfollows:Firstly,thetheoreticalbasisandcharacteristicsofthememristorarediscussed,andthreedifferentmemristormodelsarebuilt.Thethreemodelsweresimulated,thedifferentparameterswerecomparedandanalyzed,andthevolt-amperecharacteristicsofthethreememristorswerediscussedindetail.Theresearchshowsthatatthesamefrequency,thevolt-amperecharacteristiccurveofthememristorisconcentricannular;whilethevoltageisthesame,thevolt-amperecharacteristiccurveofthememristorisslowlytiltedupward;thisisduetothememristiveresistance.Thedevicehasachargeaccumulationcharacteristic.Then,threememristormodelsareselectedforthestudyofchaoticcircuits.TheChuachaoticcircuitandthreechaoticcircuitmodelsbasedondifferentmemristorsareestablished.AnalyzeitsbifurcationandLyapunovindex.Thencompareandanalyzethefoursystems.Theresultsshowthatthememristorchaoticcircuithasmorecomplexchaoticattractors,andthephasediagramismorecomplicated.Amongthem,thespinmemristorhasthebestchaoticcharacteristicsandcanbebetterappliedinthefieldofcommunicationsecurity.Keywords：Nonlinearelement,Memristor,chaoticcircuit,MATLABsimulatio第一章绪论混沌是一种无序的状态，是一种在自然界无处不在的现象。混沌是不可预测的，其在动力学系统中是非线性的。且在社会生活领域，科学研究与人类行为中普遍存在混沌现象。研究人员不断致力于研究混沌现象，并尝试将其应用到生活、军事、航天等领域。混沌经过多年发展，研究人员尝试各种这样的方式对混沌理论进行研究。发展到今天，混沌电路是研究混沌理论最合适的工具。一方面是电路的研究发展是十分完善的。另一方面是电路中的各个元器件可根据研究方向的不同随时更换，且每个元器件的数据也能方便的进行更改。这样使得研究混沌的成本大大降低。如果需要使一个电路产生混沌现象。首先这个电路中必须包含一个非线性元器件，这个电路产生混沌现象的最基本条件。在研究混沌电路的过程中，研究人员最常用的非线性元件无外乎非线性电容、非线性电阻、非线性电感这三种。而现在我们在研究过程中又多了第四个选择——忆阻器。1.1研究背景及意义混沌现象作为20世纪最伟大的三大科学发现之一，是连接了确定性和随机性的桥梁。混沌系统具有三个很关键的要素：一是临界的水平，混沌事件的发生点；二是分形维度，有序和无序的统一；三是混沌还很依赖初始的条件。。其中对其现象有着关键性作用的就是初始值，初始值条件有微小的波动，就会使整个系统出现巨大的变化。因此混沌系统的行为是不可预知的。随着时代的发展，通信技术已成为科学研究和发展的重点对象。信息化、全球化、大数据已成为趋势。无论哪个国家、企业、集团，只要谁掌握足够的信息，谁就有着绝对的控制权。通信技术作为命脉，其核心技术之一的保密技术也在研究中不断革新。由于混沌信号具有极强的随机性，其在保密领域的应用已受到各国研究人员的重视。通过研究人员研究发现，将混沌引入通信系统可为通信技术的改进提供较大的帮助。亨利·庞加莱是一名法国学者，他诞生于十九世纪。他在一次观测活动中无意的发现了混沌现象，这次活动就是太阳系的三体运动。在1963年，美国气象学家爱德华·洛仑兹借由著名的“蝴蝶效应”让全世界感受到了混沌现象的奇妙。混沌学理论经过一个世纪的发展达到了辉煌，并且正式确立，相关的理论体系也得以建立。经过一段时间的发展，混沌学越来越完备，中心研究也涉及到方方面面。在80年代，产生了许多相关领域的成果。在1978年，日本学者上田宗亮在进行非线性电容实验时，在系统两端输入了正弦电压。于是他便成为了人类历史上第一个在非线性电路中发现混沌现象的人。5年后，美国加州伯克利大学蔡少棠教授提出了著名的混沌电路——蔡氏混沌电路。近年来，越来越多的学者使用忆阻器来实现混沌电路。忆阻器能够记忆通过内部的电荷，并利用其电流的改变来控制忆阻器阻值。忆阻器在数据储存、神经网络、通讯保密、逻辑运算、混沌电路等领域展示出了其特有的性质，具有极其广大的应用前景。忆阻器混沌电路具有不一样动力学特性，这种特性会随着电路参数变化并且会被忆阻器初始值影响。与正常的混沌系统有所区别，这正是其他元件不具有的记忆性。忆阻器是一个非线性的电阻器的电阻，本身是一个具有记忆功能的元器件，其命名也来源于此。近年来的研究只是使用Matlab仿真完成忆阻器混沌信号的产生，这种方法在理论研究是应用比较广的，也可以通过其波形检验来检测其正确性，但是这种方法实现起来比较困难，而且不方便控制其阐述变化。因此本文将采用三种不同的忆阻器在MATLAB/Simulink中进行仿真，分析三种忆阻器的伏安特性。然后以这三种忆阻器为非线性元件建立混沌电路，观察三种电路的混沌现象。分析计算三种基于忆阻器的混沌电路的分岔图和李雅普诺夫指数，并与经典的Chua氏混沌电路对比分析。1.2国内外研究现状蔡少棠作为忆阻器的创始人，在1971年，在理论中预测除了我们熟知的电阻、电容、电感之外还存在着另外一个基础电路元器件——忆阻器，在美国柏克莱大学任教期间。忆阻器的命名来源于忆阻器本身是一个具有记忆功能的元器件。这种忆阻器的电阻不仅具备传统电阻的负载功能，其还具有记忆存储功能。当电阻随着电流的变化进行调节时，对忆阻器的高阻态用“1”来表示，低阻态用“0”来表示，忆阻器就可以实现储存数据的功能。但是由于没有切合其理论特征的物理实物器件，所以对于忆阻器的研究一直没有特别重大的突破。直到2008年美国的HP研究室的威廉姆斯项目组在探究储存网络时才第一次发现并制造出来忆阻器的实物模型，此时，忆阻器才真正的被研究者们所熟知。忆阻器在数据储存、神经网络、通讯保密、逻辑运算、混沌电路等领域展示出了其特有的性质，具有极其广大的应用前景。从2008年至今，寻找能够完美仿真模拟忆阻器特性的数学模型，以及设计一种将其非线性元件更换为忆阻器的混沌电路，成为海内外的研究者的研究焦点。在微弱信号监测、制造混沌信号发生器等领域中，基于忆阻器的混沌电路因其本身独特的性质，有着巨大的研究前景。到了2008年，美国HP实验室宣布发现了忆阻器实物模型，其纳米双端电阻的开关特点与蔡少棠教授推测的忆阻器不谋而合。同年，他们还发现了开关电阻储存单元，该单元上由一层有机材料和一层金属氧化物复合而成，跟忆阻器的伏安特性曲线也很相似。如图1.1所示，这是HP实验室发现的忆阻器的实物模型，是由一段纳米复合半导体材料组成，也就是TiO2和TiO2-x以及其两端的铂电极（Pt）组成。TiO2-x表示内部形成的氧化物的TiO2，导电性比未形成氧化物的TiO2要高。整个元器件的大小只有10纳米，实在严格的实验条件下使用纳米技术制造的。HP忆阻器的发现为忆阻器的研究和发展提供了十分重要的研究模型。目前利用混沌主要有四种途径:一是计算机网络；二是电路系统。三是激光系统；四是神经网络系统。其中以电路系统研究得最早最多和比较成熟。在1918年研究人员对具有非线性恢复力项的受迫振动系统进行了深入细致的研究。发现了一种含三次项的周期函数以及需对非线性系统的特性。九年后研究人员提出了两种典型方程。这两种方程被现代混沌学研究经常使用。但是由于当时的数学科学研究不足，所以研究人员将非线性电路中的混沌误认为是噪声。这种“噪声”在后来的研究中都被研究人员筛去了。自此混沌学的发展在几十年后毫无建树。直到1981年，数学知识的发展已经有了充足的准备和基础，Shaw等人关于奇怪吸引子重构和混沌信息论方法的研究后。混沌学才得以重焕生机。1983年，蔡少棠教授提出了一个简单的但是具备混沌特性的电路，也就是蔡氏混沌电路。蔡氏电路大大促进了人们对混沌电路的研究，促使现代非线性电路的快速发展。从此，蔡氏电路的研究变得十分活跃。很多相关的研究论文和专题、专利、专刊被报道，非线性混沌电路的深入研究也在积极开展，混沌电路具有复杂的非线性动力学特点。已经成为非线性电路与系统的一个热门课程。在日积月累的发展中，混沌电路的研究和应用领域有了极大的进步。在混沌电路中可以验证非线性系统的动力学特性、混沌电路同步控制律和混沌保密通信系统方案。混沌电路的优势越来越明显。由于蔡氏电路的构造十分简单，但是其动态的特性却十分复杂，所以成为了非线性电路的研究典例经过不断的推导验证，忆阻器构建了表达q和φ之间关系的公式，并将其带入电路中，它的伏安特性曲线表现为磁滞特征，同时文章也指出，那时的条件下不能提供内部不含有源器件的忆阻器物理实物，只能通过模拟达到。即便存在着一些这样那样的缺点，但是从这个时候起，忆阻器首次进入了研究者们的视野当中。与一般的混沌电路相比，基于忆阻器的混沌电路的混沌现象更为繁复。对于电路中的数据来说，该系统有着强烈的敏感性，并且受到初始值的影响。所以基于忆阻器的混沌电路能产生极强的伪随机混沌信号，使忆阻器在混沌领域应用中有着更为广泛的应用空间。目前使用最多的仍旧是基于HP忆阻器的混沌电路，其他忆阻器的混沌电路研究十分匮乏，可见采用多种忆阻器的混沌电路研究有着较大的现实意义。本文将采用另外两种忆阻器：自旋忆阻器和三次型磁控忆阻器，进行混沌电路的仿真研究图1.1HP忆阻器实物模型1.3本文架构本文共分为五章：第一章为绪论，本章内容首先介绍了混沌的起源和混沌电路的应用范围。其次介绍了国内外关于混沌电路的研究现状，并阐述了采用忆阻器研究混沌电路的理由；第二章是三种忆阻器的建模和仿真，使用MATLAB/Simulink对HP忆阻器、自旋忆阻器、三次型忆阻器建立模型，然后更改参数进行仿真，最后对比分析仿真结果；第三章是蔡氏混沌电路建模和仿真，使用MATLAB/Simulink对蔡氏混沌电路建立模型，研究分析蔡氏混沌电路的李雅普诺夫指数和分岔图；第四章是三种忆阻器混沌电路建模和仿真，三种不同的忆阻器混沌电路建立模型，研究分析三种混沌电路的李雅普诺夫指数和分岔图，然后结合第三章对四种混沌电路进行对比分析；第五章是总结和展望，分析研究过程中的不足，总结并展望此次研究的过程和意义。

忆阻器原理从忆阻器国内外研究发展成果可以看到，忆阻器是由理论基础发展到实验室模拟实践。蔡少棠在《Memristor-Themissingciruitelement》中，从电路的变量的对称性得到了忆阻器的存在依据，为理论上的研究和在电路中的应用做好了铺垫。忆阻器能够记忆通过内部的电荷，并利用其电流的改变来控制忆阻器阻值。忆阻器在数据储存、神经网络、通讯保密、逻辑运算、混沌电路等领域展示出了其特有的性质，具有极其广大的应用前景。2.1HP忆阻器原理电流i(t)、磁通量、电压u(t)、电荷q(t)可根据电磁感应定律、楞次定律并根据电路中的变量关系，可以得到如下公式：（2.1）（2.2）式2.1和式2.2中，电荷q(t)和磁通量分别表示示电流和电压关于时间的积分。其他关系如下：（2.3）（2.4）（2.5）图2.1基本关系图在电路学的变量理论中存在一种描述磁通量和电荷之间关系是特殊数学联系。施加电压到忆阻器A上时，通过的电量和磁通量与电压电流的转换关系，A可以表达为：（2.6）数学关系对应于一种我们目前物理上未成发现的电路基本元件。当电压与电流是线性关系时，M相当于是一个电阻；当M本身是磁通量的变量时，M就成了一个非线性的元件，可以认为它有三个基本元器件的综合特性，但在一般电路是无法实现这个特性的。其中忆阻用A来表示，值为忆阻值，物理单位为欧姆。HP实验室发现的忆阻器的实物模型，是由一段纳米复合半导体材料组成，也就是TiO2和TiO2-x以及其两端的铂电极（Pt）组成。D和W两部分的厚度影响了忆阻器的总电阻值如图（a）所示，图2.2（b）为忆阻器阻值的等效电路图。忆阻器的阻值会随着两端施加的电压变化而变化。其中一层是绝缘层，可以称为无参杂层；另一层叫参杂层，具有良好的导电性。图2.2惠普忆阻器参杂区电阻和未参杂区电阻之和是忆阻器的最终电阻是如式（2.7）其中是，是时电阻达到最大值，在一般情况下这两者的比值为十的平方到十的三次方,（2.8）对式（3.2）左右两边进行积分，根据，可得（2.9）随电荷变化的阻值公式：（2.10）再根据，可得忆阻器阻值的表达式，阻值为：（2.11）当t=0时，w（t0）是最开始的状态的宽度；参杂层物质迁移率用表示，常数；是忆阻器的初始时刻阻值2.1.1HP忆阻器的MATLAB/Simulink模型由于忆阻器特有的性能及其令人憧憬的应用前景引起了广大研究者的普遍关注。经历了漫长的研究发展，越来越多的科研人员发现实现流控的忆阻器是十分困难的。到现在为止，按照理论依据进行分析和研究已成为重点研究的对象。然后通过理论研究构建了忆阻器的MATLAB/Simulink模型。基于忆阻器的特性及阻值公式2.11，搭建忆阻器模型，其模型如图2.3所示。忆阻器模型由基本参数（），窗函数（）和显示（out）等几个模块构成。仿真参数来源于惠普实验室，取仿真模拟的参数：，，，，，，系统的初始状态为，忆阻器的输入信号为正弦波正弦波具体参数后面会涉及。由于此次设计主要利用的是忆阻器的非线性特点，所以不需要限制其伏安特性曲线，因此选取窗函数为。Scope是外加电压，XYGraph是忆阻器的u-i图。图2.3Simulink仿真模型2.1.2MATLAB/Simulink模型仿真结果在搭建的忆阻器仿真模型中，可以看出在增加正弦信号激励后，忆阻器模型呈现典型的电压电流滞后现象。从而证明了忆阻器的磁滞效应。首先设置输入忆阻器的正弦波信号的参数，频率，幅值的一个正弦波电压，如图2.4所示。图2.4外加正弦波信号在输入信号的作用下，阻值、电压、电流均产生变化图2.5忆阻器电流与时间关系图2.6忆阻器阻值与时间关系从上面的仿真能够得到忆阻器的伏安特性曲线，如图2.7(a)所示，这跟HP实验室发现的忆阻器的伏安特性曲线（图2.7(b)）非常吻合。(a)本文所得的忆阻器伏安特性曲线(b)HP实验室给出的忆阻器福安特性曲线图2.7忆阻器的伏安特性曲线当输入信号发生改变时，忆阻器的变化会跟着发生改变。所以改变输入信号，能够得到不同情况下忆阻器的伏安特性曲线。当输入正弦波信号频率固定为，改变正弦波信号的幅值，分别设置为，，，。得到忆阻器的伏安特性曲线，将幅值固定为，改变正弦波信号的频率，频率分别设置为，，，。得到忆阻器的u-i图图2.9改变忆阻器频率的伏安特性曲线2.2自旋忆阻器原理忆阻器作为一种新型的二端无源电路元器件，其物理模型构建十分重要且被广泛的研究，值得注意的是，基于磁畴壁理论而提出的自旋忆阻器模型，结构简单且易于实现，所示。其中，图2.10为微观视角下Ｂ旋忆阻器的三维结构，其由—个长方体自旋阀条构成（D、z、h分别表示器件的长度、宽度以及高度），该阀条进一步分为两层铁磁体（即自由层和参考层）。参考层的磁极性方向通过耦合技术保持固定（从左至右），自由层中有一个重要的磁畴壁（宽度为ｗ）。磁畴壁将自由层分割成极性完全不同的两部分划。参考层和自由层有着相对磁化方向。这种方向决定了两部分的阻值。具体地，当自由层与参考层的磁化方向保持一致时，阻值最低；反之，当自由层与参考层的磁化方向相反时，阻值最高[8]。rh（rL）表示忆阻器处于高阻态（低阻态）时单位长度的阻值，x则为畴摩的移动距离。则为自旋忆阻器对应的等效电路图除了固态器件，磁技术也为建立忆阻系统提供了可能。2009年，希捷公司YiranChen等人提出了基于纳米自旋效应的三种电子自旋忆阻器模型。本文将采用一种通过使忆阻器磁畴壁移动来改变磁化方向的自旋忆阻器模型。简单便捷的控制自旋忆阻器的阻值和i之间的关系是自旋忆阻器的相比于固态器件的优势。将磁性器件集成在CMOS器件顶部的技术也已发展也因在不同速率下进行电阻值的转换而更加成熟。2.2.1自旋忆阻器MATLAB/Simulink模型当磁化方向与参考层相反时候，设为rH且单位阻值较大。设畴壁的位置为x，忆阻器全长为D，忆阻器阻值表达式为：（2.17）且、、和巨磁电阻率GMR之间满足如下关系：（2.18）当磁化方向与参考层相同时，单位阻值较小设为rL。畴壁移动时其速度与当前电流密度J有如下关系：（2.19）S是忆阻器的截面积，是速度系数，由忆阻器磁性材料和极化率决定。i是通过忆阻器的电流。与固态忆阻器的掺杂层位置移动不同的是，只有在当前电流密度大于阈值电流密度时，畴壁才会移动，即：（2.20）在x=0和x=D两极限情况对应的忆阻器阻值分别记为RH和RL，故畴壁移动速度和忆阻器阻值表示为：（2.21）（2.22）最终可得：（2.23）由式2.23在MATALAB/Simulink中搭建自旋忆阻器电路，如图2.122.2.2自旋忆阻器仿真结果由于自旋忆阻器为荷控忆阻器，仿真模型中采用电流I作为控制量。设置输入的正弦波信号参数，角频率f=2HZ，电压幅值A=2，仿真可得：图2.13自旋忆阻器伏安特性曲线固定电压幅值A=2，改变正弦波信号角频率的值，通过仿真可得伏安特性曲线，如图：——f=2HZ——f=2HZ——f=1HZ——f=0.5HZ——f=0.25HZ图2.14幅值不变频率改变u-i图固定角频率值f=2HZ,改变正弦波信号幅值，通过仿真可得伏安特性曲线，如图：————A=2——A=1.5——A=1——A=0.5图2.15频率不变幅值改变u-i图2.3三次型忆阻器原理利用一条光滑单调上升的三次非线性特性曲线来描述磁控忆阻器：qφ=αφ+b其忆导W（φ）表达式如下，a，b＞0：Wφ=dq式（2.24）是忆阻因变量φ的变化而变化的正值函数。所以该忆阻器的即时功率为pt=Wφt从至t，对所有，该忆阻器的表达式为wt0,t2.3.1三次型忆阻器MATLAB/Simulink模型仿真对式2.23进行定义，a=1，b=1。在该磁控忆阻器元件两端增加一个正弦电压2sin（2πft），设该磁控忆阻器两端电压为u，电流为i。可得（2.27）根据式2.27在MATLAB/中进行模型仿真，可得以下电路图，如图2.16：2.3.2三次型忆阻器仿真结果设置输入忆阻器的正弦波信号的参数，角频率f=2HZ，幅值A=2通过仿真可得该三次型磁控忆阻器的u-i曲线，如图：图2.17三次型忆阻器u-i图固定流入电流i不变，电压幅值A=2，改变正弦波信号角频率的值，通过仿真可得伏安特性曲线，如图：——f=2HZ——f=2HZ——f=1HZ——f=0.5HZ——f=0.25HZ固定流入电流i不变，角频率f=2HZ，改变电压幅值，通过仿真得出伏安特性曲线，如图：——A=2——A=2——A=1.5——A=1——A=0.5当电压幅值相同，频率不同时，由图可知，三次型磁控忆阻器的特性很容易因端电压角频率的改变而改变。在相同频率，不同电压幅值的情况下，三次型磁控忆阻器的伏安特性曲线是呈现同心圆环状。并且三次型磁控忆阻器的u-i曲线是一个类紧磁滞回线的形状。与HP忆阻器和蔡氏忆阻器呈现的曲线相似，都是一个斜体的“8”字型。并且在原点以外，u和i呈现双值函数特性，该特性也与HP忆阻器和蔡氏忆阻器特性一致。因此可以判定该磁控忆阻器是无源的。2.4本章小结本章介绍了三种不同忆阻器的原理及建立的数学方程。根据其数学方程建立这三种忆阻器的仿真模型，运行后得到不同状态下的伏安特性曲线。对比分析各个参数下的伏安特性曲线图。可以得到：三种忆阻器的伏安特性曲线均可看出忆阻器阻值会随着电流和电压的变化而变化，并且具有记忆性。其中自旋忆阻器相比其他两种忆阻器阻值变化更为明显。将频率固定在确定值，只改变电压的情况下，忆阻器的伏安特性曲线均呈现同心圆环状。曲线斜率并未发生改变，只是曲线内同心圆面积缩小；而在相同电压，不同频率的情况下，忆阻器的伏安特性曲线却是呈现慢慢向上倾斜的状态，也就是忆阻器阻值越来越小。这是由于忆阻器有电荷积累特性，外加输入信号频率越大，在相同的时间内电阻变化就越小，所以忆阻器的伏安特性曲线就向上倾斜。当频率足够大时，u-i曲线会近似为一条直线。可见忆阻器的阻值会因输入信号的频率改变而改变。

第三章蔡氏混沌电路3.1蔡氏混沌电路的电路模型图蔡氏混沌电路是一个RLC振荡电路。其一直是研究动力学行为的最简易、快捷的电路。早在1983年，研究人员尝试在洛伦兹方程的模拟电路中寻找混沌。研究人员发现在非线性电路中，只要出现混沌现象，那么电路中一定有大于等于二的不稳定参数。蔡少棠便设计了一个能制造混沌现象的电路。他研究了一些由电流电压控制的非线性电阻，发现他们均能够产生很好的混沌信号。证实了，电压电流控制的非线性电阻符合有两个不稳定的平衡点要求，所以，蔡氏电路诞生了。通过上述了解到，为了得到混沌信号，由电阻、电容电感构成的电路系统中必须要满足以下的条件：（1）电路中有一个或者多个非线性元器件；（2）电路中有一个或者多个电阻，而且电阻必须是有源的；（3）电路中有一个或者多个能够储能的元器件。满足以上三点的且构成最简单的电路就是chua混沌电路，所以其成为了众多研究者研究混沌现象的首选电路。蔡氏混沌电路还能够很好的产生混沌分支现象，其电路原理图如图3.1所示，其中为蔡氏二极管。由上图和基尔霍夫电流定律（KCL）可以推导出电路的状态微分方程为：（3.1）是施加在两端的电压，是施加在两端的电压；其中的为蔡氏二极管的u-i函数，，蔡氏二极管的转折点的电压为；图3.1（b）中的斜率为、。因为蔡氏混沌电路中的状态微分方程的参数太多，为了分析的便利，以及研究的方便，需要将其简化，令，，，，，，，，所以式（3.1）就简化为：（3.2）式中：，，。3.2蔡氏混沌电路的稳定性分析式（3.2）是关于原点对称的，当式子中的时，方程是不会发生变化的。图3.2表达出了平衡时蔡氏混沌电路的等效电路和求解平衡点的方法，以及用实现和虚线表示了蔡氏二极管的V-I特性及其外加负载二极管的曲线。图3.2平衡点等效电路图当蔡氏二极管达到实现条件时，电路中会出现、、三个平衡点。平衡点分别为：（3.3）蔡氏二极管阻值被改变的情况下，可以改变平衡点所处的位置，以及平衡点的系统的特征值。在电路的平衡点达到一定条件，即平衡点符合鞍焦平衡点时，系统能够产生混沌现象。在式（3.3）当中，，a与b的值不能为-1。在各个子空间里面，方程（3.2）都是线性排列的。再根据式（3.3）可以将空间状态分解为三个子空间。它的矩阵为：（3.4）的特征方程如下：（3.5）单位矩阵为。根据Routh-Hurwitz稳定判断，且满足下列式子时：（3.6）此时，平衡点会逐渐趋于稳定状态，电路不会产生任何振荡现象。如果保证两点是存在的，并且在对应的中，当当中任意一个数据发生变化时，平衡点的性质就会发生改变。在式（3.3）的三个部分中，M的特征值都为负的实部，当平衡点由稳定变声不稳定并且在平衡点附近出现了极限环时，就发生了霍普夫分岔，此时电路参数满足条件：（3.7）判断平衡状态是否稳定的依据是，系统的平衡点随时间充分增长以后过程的变化趋势。3.3蔡氏混沌电路模型3.3.1蔡氏混沌电路建模根据蔡氏混沌电路的状态方程，我们可以搭建出蔡氏混沌电路的仿真图。图中红色方框所框范围为蔡氏二极管的MATLAB模型。3.3.2混沌电路仿真结果当，系统处于双旋窝状态，如图3.4所示。图3.4双旋窝状态时的吸引子2）当，系统处于单旋窝状态，如图3.5所示。图3.5单旋窝状态时的吸引子3）当，系统处于周期状态，所示。图3.6周期状态时的吸引子4）当，系统处于稳定状态，图3.7稳定状态时的吸引子3.4数值计算 根据上述仿真结果能得出结论，当参数为，，，时系统的混沌吸引子图最理想，于是选定此参数来分析。为了研究系统动力学特性的演化，计算并画出了蔡氏混沌系统的分岔图与Lyapunov图。图3.8为蔡氏混沌系统随参数演化的分岔图，图3.9为蔡氏混沌系统随参数演化的李雅普诺夫指数图。图3.8分岔图图3.9最大李雅普诺夫指数图3.5本章小结本章先根据蔡氏混沌电路的电路图，并通过其电路图推导出了蔡氏混沌电路的微分方程，根据微分方程构建了蔡氏混沌电路的MATLAB/Simulink模型，并对该系统进行了分析。研究了其分岔特性、李雅普诺夫指数特性。根据分岔图可以得到：当a>8.45时，系统出现拟周期状态下的倍周期分岔。当a>8.7时，系统开始进入混沌状态。根据李雅普诺夫指数图可以得到：当变量a>8.7时，李雅普诺夫指数呈现出大于零状态，此时忆阻器混沌系统进入混沌状态。

第四章忆阻器混沌电路4.1HP忆阻器混沌电路的建模与仿真使用忆阻器代替蔡氏混沌电路中的非线性元件，构成一个崭新的电路，这个电路满足构成混沌电路的基本条件。混沌电路对初始值有很大的依赖性，而忆阻器由于其记忆特性，能够在断电后保持阻值不变，更适用于混沌电路中。将HP忆阻器带入蔡氏混沌电路，用hp忆阻器替换蔡氏混沌电路里的非线性元件，得到基于忆阻器的混沌电路图，如图4.1所示。根据对HP忆阻器混沌电路的分析与建模，能够得到HP忆阻器的混沌电路的MATLAB/Simulink仿真模型。如图4.2所示。4.1.1HP忆阻器混沌电路仿真结果根据上述混沌的运动状态特征和平衡点的分析，设置蔡氏混沌电路的参数，得到：1）当，系统处于单旋窝状态，如图4.3所示。图4.3单旋窝状态时的吸引子与时序图2）当，系统处于周期状态，所示。图4.4周期状态时的吸引子与时序图3）当，系统处于稳定状态，如图4.5所示。图4.5稳定状态时的吸引子与时序图4.1.2分岔性和李雅普诺夫指数分析根据上述仿真结果能得出结论，当参数为，系统的混沌吸引子图最理想，于是选定此参数来分析。为了研究系统动力学特性的演化，计算并画出了基于忆阻器的混沌系统的分岔图与Lyapunov指数图。图4.6为基于忆阻器的混沌系统随参数演化的分岔图，图4.7为基于忆阻器的混沌系统随参数演化的李雅普诺夫指数图。图4.6HP忆阻器混沌电路分岔图图4.7HP忆阻器混沌电路李雅谱诺夫指数4.2自旋忆阻器混沌电路的建模与仿真将自旋忆阻器带入蔡氏混沌电路的对偶电路中，列出这些电路的状态方程：（4.1）（4.2）得无量纲方程：（4.3）4.2.1自旋忆阻器混沌电路仿真结果图4.10相位图可见系统处于单旋窝状态，并且具有周期性和稳定性。4.2.2分岔性和李雅普诺夫指数分析此时的李雅普诺夫指数分别为L1=0.6876,L2=-0.0061,L3=-0.5579，L4=-16.2367，说明电路处于混沌状态。取e=0.1，计算得此时的特特征值平衡点集合A={(x,y,z,w)|x=y=z=0,w=e},这里的e是一个0到1间的常数。图8是以畴壁速度v为变量的时域波形图，验证了自旋忆阻器畴壁运动间断性。图9是不同参数j取值下忆阻器两端电压um与通过忆阻器电流i1形成的伏安特性曲线，类似于自旋忆阻器在正弦周期振荡时呈现的斜“8”字型磁滞回线特性的伏安特性曲线。图11速度v的时域波形图(a)j=2.25周期1(b)j=2.28周期2图12不同参数j值下的忆阻器伏安特性曲线以j为变量，系统关于x的分岔图如图12所示。因此该磁控忆阻器是无源的。(a)(b)以j为变量的李雅普诺夫指数谱如图（13）所示，省略了，与分岔图反映的动力学行为基本一致学行为基本一致。 图14李雅普诺夫指数谱4.3三次型忆阻器混沌电路的建模与仿真基于忆阻器构成的忆阻器电路是一个非线性电路，因为忆阻器是一个非线性元件，所以极易产生非线性混沌振荡。三次型磁控忆阻器忆阻器的混沌电路如图15所示。Chua混沌电路中的非线性元件由一个无源二端口的三次型忆阻器和一个负电导构成的有源忆阻器进行替代。该电路由两个C、一个电感、一个忆阻器构成四个动态元件组成，它们所对应的四个状态变量分别是u1、u2、i3和ψ。电路的状态方程根据基尔霍夫电压、电流定律和元件本身的参数列出四个方程组：（4.4）三次型磁控忆阻器的ψ-q特性曲线满足q（ψ）=aψ+bψ3，且有W（ψ）=dq（ψ）/dψ。设x=u1、y=u2、z=i、w=ψ、a=1/C1、β=1/L、γ=r/L、ζ=G、G2=1、R=1，并令非线性函数和分别为（4.5）则式（4.4）的状态方程可重写为（4.6）所以，基于三次型磁控忆阻器的蔡氏电路是一个四维系统，基于式（4.5）所描述的代数方程进行相应的理论分析和数值仿真可对其动力学特性进行描述。根据式（4.6）分析与建模，能够得到三次型磁控忆阻器的混沌电路的仿真模型如图4.16。4.3.1三次型磁控忆阻器混沌电路的仿真结果选择电路参数α=10、β=100/7、γ=0.1、ζ=9/7、a=1/7和b=2/7，对于初始条件（0.1，-0.1，0.1，0.1），式（4.3.1.3）所描述系统生成了一个双涡卷混沌吸引子，在不同的相空间或相平面上的投影如图4.3.3所示。图17相位图4.3.2分岔性和李雅普诺是夫指数计算计算李雅普诺夫指数得LE1=0.3542、LE2=0.0008、LE3=-0.0007、LE4=-7.8311，李雅谱诺夫维数为dL=2.0452。根据计算画出基于三次型忆阻器的混沌系统随参数a演化的分岔图，和基于忆阻器的混沌系统随参数演化的李雅普诺夫指数图。如图18。（a）分岔图（b）李雅谱诺夫指数普图18根据仿真结果，通过对忆阻振荡器的相位图、分岔图以及李雅普诺夫指数和维数分析，可知该电路是具有混沌现象的。4.4总结分析混沌系统最大的特性就是会随着初始值的变化而变化，所以在初值发生变化时会产生图像点发生变化。各图像点会随着时间的变化按照其本身的的方式进行分离，而衡量其变化程度的量就是李雅普诺夫指数。李雅谱诺夫指数是衡量系统动力学特性的一个重要定量指标,它表征了系统在相空间中相邻轨道间收敛或发散的平均指数率。在一个系统中，李雅谱诺夫指数是否大于零可直接判断出系统是否存在混沌现象。在混沌现象的相位图中，无论图像点组成的轨迹线路间的差距有多小，它的变化都会因时间的推进而成指数率增长。直到增长到无法预测地步。这期间的李雅普诺夫指数是一直大于零的。本章使用前面所构建的忆阻器模型和蔡氏混沌电路模型，构建了三个基于忆阻器的混沌系统，并使用MATLAB/Simulink数学软件对该系统进行了分析。研究了其分岔特性、李雅普诺夫指数特性。并比较了传统蔡氏混沌电路和三种忆阻器的混沌电路两者的优劣。可以得到：HP忆阻器混沌电路从分岔图可以看出，当a>9.75时，系统出现拟周期状态下的倍周期分岔。当a>9.9时，系统开始进入混沌状态。从李雅普诺夫指数图能够看到，当变量a>9.9时，李雅普诺夫指数呈现出大于零的状态，此时HP忆阻器混沌系统进入混沌状态；自旋忆阻器混沌电路从分岔图中可得当，当a＞2.28是系统出现拟周期状态下的倍周期分岔。当a＞2.4时，系统开始进入混沌状态。从李雅普诺夫指数图可以看出，当j＞0时，呈现大于0的状态，此时自旋忆阻器混沌电路进入混沌状态；三次型忆阻器混沌电路从分岔图中可以看出当a＞7.84时系统出现倍周期分岔。当a＞8.4时，系统进入混沌状态。从李雅普诺夫指数图可以看出，当a＞7.5时呈现大于0的状态，此时三次型忆阻器混沌电路进入混沌状态。根据所得的结果与第三章结果做比较，可以看出，忆阻器混沌电路相比于蔡氏混沌电路李雅普诺夫指数变化更为剧烈，可以推断，基于忆阻器的混沌电路的最大李雅普诺夫指数是大于蔡氏混沌电路的。忆阻器的物理特性会随电路元器件参数变化而变化，所以应用在混沌理论电路中混沌现象更为繁复。可见忆阻器混沌电路的动力学行为更为复杂，与现有的混沌系统是完全不同的。且该系统更容易受到电路状态的影响，尤其是容易被忆阻器内部状态的初始条件所改变。在忆阻器混沌电路中自旋忆阻器的李雅普诺夫指数最大。相比于其他两种忆阻器，这种忆阻器应用更加灵活，制造难度也更低。根据李雅普诺夫指数定义可知，李雅普诺夫指数越大，说明这个混沌电路中的不可预测性越好，混沌程度也越高，更适用于通信保密领域中。

第五章总结及展望时代的发展进步，科技实力的提升，忆阻器的发展和研究也将越来越走向实际。这也将会迎来一场新的科技浪潮。忆阻器的特性使其可以在军事、航天、工业制造等各大领域进行应用。由于目前忆阻器尚停留在实验阶段，无法进行实际验证。本文的研究内容只是对忆阻器相关领域的部分分析，但这也可以看出现有忆阻器在混沌方面的实际应用有着巨大的可能。5.1全文总结对三种忆阻器的原理进行分析阐述。并对自旋忆阻器、三次型忆阻器、HP忆阻器模型进行仿真，分析其阻值-时间的关系以及伏安特性曲线，并进行对比；对蔡氏混沌电路进行仿真，对其稳定性、分岔性和李雅普诺夫指数进行分析，得出分析结果；通过对三种忆阻器的分析计算，仿真出基于这三种忆阻器的混沌电路。通过改变参数分析三种忆阻器混沌电路的动力学特性，并与蔡氏混沌电路进行比较。分析各忆阻器混沌电路优势。不足分析：在自旋忆阻器混沌电路中，2.2之前的指数谱最大值应该是0才能与分岔图相一致，但是所采用的方法对于2.2之前的指数谱计算无效，很久也没能出结果，所以前面没有画，原因尚未查明，可能一是因为2.2之前系统发散，仿真时间稍长数值变会很大，二是状态方程用到了阶跃函数来限制忆阻器的边界，这给求解李雅普诺夫指数谱带来了困难。5.2研究展望本文对三种忆阻器混沌电路的理论模型和等效电路的仿真模型都进行赘述，并且分析了三种忆阻器混沌电路的特性。但是忆阻器的研究还有很长的路要走，在本文中也有很多未完成的内容有待研究。比如忆阻器在其他电路中所表现出的特性研究。在数据加密领域应用，也未进行研究。且在本文中仅仅只是实现了用工具的模拟仿真，并没有真正的实际验证。所以在忆阻器的研究和发展中还有许多的工作要做。

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