湖南省衡阳县第二中学2023-2024学年高二上学期数学期末达标测试卷A卷

2023-2024学年高二上学期数学人教A版(2019)期末达标测试卷A卷【满分：150分】一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为等差数列，首项，公差，若，则()A.1 B.2 C.3 D.42.已知，，且，则向量a与b的夹角为()A. B. C. D.3.已知定点，点P为圆上的动点，点Q为直线上的动点.当取最小值时，设的面积为S，则()A. B. C. D.4.已知等比数列的公比为，前n项和为.若，，则()A.3 B.4 C.5 D.75.设双曲线的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，且的面积为，则C的方程为()A. B. C. D.6.已知m是方程的一个根，则()A.1 B.2 C.3 D.57.已知椭圆，O为坐标原点，直线l交椭圆于A，B两点，M为AB的中点.若直线l与OM的斜率之积为，则C的离心率为()A. B. C. D.8.已知函数有两个不同的极值点，，若不等式有解，则t的取值范围是()A. B.C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.是等差数列，公差为d，前n项和为，若，，则下列结论正确的是().A. B. C. D.10.已知函数，则()A.曲线在点处的切线方程为B.有两个极值点C.，都能使方程有三个实数根D.曲线是中心对称图形11.如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面ABCD，则()A.B.PB与平面ABCD所成的角为C.异面直线AB与PC所成角的余弦值为D.平面PAB与平面ABCD所成的二面角为12.已知M，N是抛物线上两点，焦点为F，抛物线上一点到焦点F的距离为，下列说法正确的是()A.B.若，则直线MN恒过定点C.若的外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆的半径为D.若，则直线MN的斜率为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在等比数列中，若，，且公比为整数，则__________.14.已知直线是曲线在点处的切线方程，则_________.15.写出与两圆，均相切的一条直线方程为___________.16.在棱长为3的正方体中，点E，F分别在棱AB，BC上，，点G，H为棱上的动点.若平面平面，，则__________.四、解答题：本题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知数列的前n项和，.（1）证明：数列是等差数列；（2）已知，求数列的前n项和.18.（12分）已知椭圆的离心率为，依次连接椭圆E的四个顶点构成的四边形面积为.(1)求椭圆E的标准方程；(2)设点F为E的右焦点，，直线l交E于P，Q（均不与点A重合）两点，直线l，AP，AQ的斜率分别为，，若，求的周长.19.（12分）已知函数，.（1）若的极大值为1，求实数a的值；（2）若，求证：.20.（12分）如图1，菱形ABCD中，，动点E，F分别在边AD，AB上（不含端点），且，沿EF将向上折起得到，使得平面平面BCDEF，如图2所示.（1）当为何值时，；（2）若直线PC与平面BCDEF所成角的正切值为，求平面PEF与平面PBD所成角的大小.21.（12分）设A，B为双曲线（，）的左、右顶点，直线l过右焦点F且与双曲线C的右支交于M，N两点，当直线l垂直于x轴时，为等腰直角三角形.（1）求双曲线C的离心率；（2）已知，若直线AM，AN分别交直线于P，Q两点，若为x轴上的动点，当直线l的倾斜角变化时，若为锐角，求t的取值范围.22.（12分）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若，且，证明：有且仅有两个零点.（e为自然对数的底数）

答案以及解析1.答案：D解析：因为首项，公差，所以，因为，所以，解得，故选D.2.答案：D解析：，，，.又，向量a与b的夹角为.故选D.3.答案：D解析：圆的圆心为原点，半径为2.易知过原点且与直线垂直的直线方程为，则点到直线的距离为.又因为原点到直线的距离为，所以的最小值为，则.故选D.4.答案：C解析：法一：因为等比数列的公比为，，，所以，解得.故选C.法二：根据等比数列前n项和的性质得，，成等比数列，且公比为，所以，即，解得.故选C.5.答案：B解析：直线为双曲线的一条渐近线，设双曲线C的方程为，则右焦点为，故右焦点F到直线的距离，，，，故C的方程为.故选B.6.答案：B解析：，设，则恒成立，故单调递增，由得，即.因为m是方程的一个根，所以，所以，所以，故选B.7.答案：D解析：设，，，将A，B两点坐标代入椭圆C的方程可得，，两式相减可得.又因为M为AB的中点，所以所以.所以，.又直线l与OM的斜率之积为，所以，即，所以椭圆C的离心率.故选D.8.答案：C解析：由题可得：，因为函数有两个不同的极值点，，所以方程有两个不相等的正实数根，于是有解得.若不等式有解，所以因为.设，，故在上单调递增，故，所以，所以t的取值范围是.故选：C.9.答案：ABD解析：B：由可得，故B正确.A：由可得，由可得，所以，故等差数列是递减数列，即，故A正确.C：，所以，故C不正确.D：因为等差数列是单调递减数列，且，所以，则，故D正确.故选ABD.10.答案：BCD解析：由题可得，，，曲线在点处的切线方程为，故A错误.令，得或；令，得，在和上单调递增，在上单调递减，有两个极值点，故B正确.结合B选项，，，且当时，；当时，，对于，都能使方程有三个实数根，故C正确.，，（另解：，令，则是R上的奇函数，且），曲线关于点中心对称，故D正确.故选BCD.11.答案：AC解析：设，则.因为，所以由余弦定理，得.所以，所以.又底面ABCD，所以DA，DB，DP三条直线两两垂直，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，，.所以，所以，即，故A正确.易知平面ABCD的一个法向量为.设直线PB与平面ABCD所成的角为，则，所以直线PB与平面ABCD所成的角为，故B错误.设直线AB与PC所成的角为，则，故C正确.设平面PAB的法向量为，则即取，则，，所以，所以，故D错误.选AC.12.答案：AD解析：根据抛物线的定义知，得，故A选项正确；设，，因为直线MN斜率必存在，设直线MN的方程为，代入得，，，，所以，解得，所以直线MN恒过定点，故B选项错误；外接圆圆心的纵坐标为，外接圆半径为，故C选项错误；因为，所以直线MN过焦点F，且，设直线MN的倾斜角为，由抛物线性质知MN的斜率为互为相反数的两个值，如图，过M，N分别向准线作垂线MA，NB，过N向MA作垂线NC，设，则，，，，，，，故D选项正确.故选AD.一题多解：对于D选项，因为，，所以，.又，，解得，.不妨设，由，得，，则，，.根据对称性知，故D正确.13.答案：512解析：由得，，故.14.答案：e解析：由题设，且，则，所以切线方程为，即，所以，故.故答案为：e.15.答案：或或(答出其中一个即可)解析：由，得圆心为，半径为1.由得，圆心为，半径为4.所以圆心距为，故两圆外切，如图.易知公切线斜率存在，设其方程为，所以，解得，或或，所以公切线方程为或或.16.答案：解析：以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，.设，由，得.设平面ACH的一个法向量为，，，则取，得.设平面EFG的一个法向量为，，，则取，得.因为平面平面ACH，所以，所以，解得.17.答案：（1）证明见解析（2）数列的前n项和为，解析：（1）证明：，，①当时，；当时，.由得.当时，满足上式，数列的通项公式为，.，为常数，数列是等差数列.（2）由知，数列的前n项和为，.18.答案：(1)；(2)解析：（1）因为椭圆的离心率为，故，故，因为依次连接椭圆E的四个顶点构成的四边形面积为，故，所以，故，故椭圆方程为：.（2）设直线，，则，，故，故，由可得，故，整理得到，又，故，故或，此时均满足.若，则直线，此时直线恒过，与题设矛盾，若，则直线，此时直线恒过，而为椭圆的左焦点，设为，故的周长为.19.答案：（1）（2）证明见解析解析：（1）的定义域为，.当时，，在上单调递增，函数无极值；当时，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，故当时，取得极大值，极大值为，解得.经验证符合题意，故实数a的值为.（2）证明：当时，，故要证，即证.令，则，.令，，则，所以在上单调递增，又因为，，所以，使得，即，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以.又因为，即，所以，所以，即，故得证.20.答案：（1）（2）解析：（1）菱形ABCD中，，，均是等边三角形.，，是等边三角形.取EF的中点O，连接PO，OC，则，.平面平面BCDEF，平面平面，平面，.以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.设菱形ABCD的边长为a，则，，，，，，，，.，，解得或（舍去），当时，.（2）平面，为PC与平面BCDEF所成角，，解得.由（1）知平面PEF，为平面PEF的一个法向量.设平面PBD的一个法向量为，，，则取，得，，平面PEF与平面PBD所成角为.21.答案：（1）2（2）或解析：（1）易知右焦点，将代入，得，当直线l垂直于x轴时，为等腰直角三角形，此时，即，整理得，因为，所以，方程两边同除以得，解得或（舍去），所以双曲线C的离心率为2.（2）因为，所以，因为，所以，故，所以双曲线的方程为.当直线l的斜率存在时，设其方程为，与双曲线方程联立，消y得，设，，则，，则，因为直线l过右焦点F且与双曲线C的右支交于M，N两点，所以，，解得，直线，则，同理可求得，所以，，因为为锐角，所以，即，所以，所以，即，解得或.当直线l的斜率不存在时，将代入双曲线方程可得，此时不妨设，，此时直线，点P的坐标为，同理可得，所以，，因为为锐角，所以，解得或.综上所述，t的取值范围为或.22.答案：(1)答案见解析(2)证明见解析解析：(1)由题意得函