第4章 等可能条件下的概率（十二大题型）（解析版）

（苏科版）九年级上册数学《第4章等可能条件下的概率》知识点一知识点一等可能性◆1、设一个试验的所有可能发生的结果有n个，它们都是随机事件，每次试验有且只有其中的一个结果出现，而且每个结果出现的机会均等，那么我们说这n个事件的发生是等可能的，也称这个试验的结果具有等可能性．◆2、如果一个试验的所有可能发生的结果有无穷多个，每次只出现其中的某个结果，而且每个结果出现的机会都一样，那么我们就称这个试验的结果具有等可能性．知识点二知识点二等可能条件下的概率◆1、概率的定义一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A)．◆2、概率的计算一般地，在一次试验中，如果共有有限个可能发生的结果，并且每种结果发生的可能性都相等，用m表示一个指定事件A包含的结果数，n表示试验可能出现的所有结果的总数，那么事件A发生的概率可利用下面的公式计算：P(A)=mn◆3、概率的范围当事件A是必然事件时，P(A)=1；当事件A是不可能事件时，P(A)=0；当事件A随机事件时，0＜P(A)＜1总结：（1）任何事件A发生的概率P(A)都是0和1之间(包括0和1)的数，即0≤P(A)≤1（2）事件发生的可能性越大，它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，它的概率越接近0.知识点三知识点三求概率的方法◆1、用列举法求事件的概率当涉及的对象比较单一且出现的等可能结果数目比较少时，就可以直接列举出所有可能的结果，再利用概率公式求事件发生的概率.【注意】直接列举法比较适合用于最多涉及两个试验因素或分两步进行的试验，且事件总结果的种数比较少的等可能性事件.◆2、用列表法求事件的概率★(1)当一次试验要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能结果，通常采用列表法.★(2)画树状图求概率的基本步骤：①选择其中一次操作或一个因素作为横行，另一个操作或另一个因素作为竖行，列出表格.②确定所有等可能的结果数n和事件A包含的结果数m，运用公式P(A)=mn（m≤n）计算概率◆3、用画树状图求事件的概率★(1)当一次试验要涉及两个或更多的因素(如从3个口袋中取球)时，为了不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用画树状图法.★(2)画树状图求概率的基本步骤：①明确一次试验有几个步骤和顺序；②把每一步骤的结果列为一层，画树状图；③沿着“树杈”列出所有可能的结果，算出n的值；④找出符合条件的结果个数m；⑤求概率mn题型一题型一可能性的大小【例题1】（2023秋•龙湾区月考）一个布袋里装有6个球，分别是1个红球，2个白球，3个黑球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则下列事件中，发生可能性最大的是（）A．摸出的是红球 B．摸出的是白球 C．摸出的是黑球 D．摸出的是绿球【分析】个数最多的就是可能性最大的．【解答】解：因为黑球最多，所以被摸到的可能性最大．故选：C．【点评】本题主要考查可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相同，那么它们的可能性就相等．【变式1-1】（2023•桐乡市校级开学）在下列事件中，发生的可能性最小的是（）A．在地面上抛一颗骰子，骰子终将落下 B．射击运动员射击一次，命中10环 C．杭州五一节当天的最高温度为35℃ D．用长为10cm，10cm，20cm三根木棒做成一个三角形【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可得出答案．【解答】解：A、在地面上抛一颗骰子，骰子终将落下，是必然事件，不符合题意；B、射击运动员射击一次，命中10环，是随机事件，不符合题意；C、杭州五一节当天的最高温度为35℃，是随机事件，不符合题意；D、用长为10cm，10cm，20cm三根木棒做成一个三角形，是不可能事件，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间．【变式1-2】（2023•河北）有7张扑克牌如图所示，将其打乱顺序后，背面朝上放在桌面上，若从中随机抽取一张，则抽到的花色可能性最大的是（）A．（黑桃） B．（红心） C．（梅花） D．（方块）【分析】根据概率公式分别求出各花色的概率判断即可．【解答】解：∵抽到黑桃的概率为17，抽到红心的概率为37，抽到梅花的概率为17∴抽到的花色可能性最大的是红心，故选：B．【点评】本题考查了可能性的大小，熟练掌握概率公式是解题的关键．【变式1-3】（2023秋•佛山月考）在下列事件中，发生的可能性最小的是（）A．标准大气压下，水的沸点为100℃ B．杭州亚运会上射击运动员射击一次，命中10环 C．佛山10月17日的最高温度为35℃ D．用长为10cm，10cm，20cm三根木棒做成一个三角形【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可得出答案．【解答】解：A、标准大气压下，水的沸点为100℃，是必然事件，不符合题意；B、杭州亚运会上射击运动员射击一次，命中10环，是随机事件，不符合题意；C、佛山10月17日的最高温度为35℃，是随机事件，不符合题意；D、用长为10cm，10cm，20cm三根木棒做成一个三角形，是不可能事件，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间．【变式1-4】（2023春•宿迁期末）标号为A、B、C、D的四个盒子中所装有的白球和黑球数如下，则下列盒子最易摸到黑球的是（）A．12个黑球和4个白球 B．10个黑球和10个白球 C．4个黑球和2个白球 D．10个黑球和5个白球【分析】分别计算出每个选项中摸到黑球的概率可得答案．【解答】解：A、摸到黑球的概率为1212+4=B、摸到黑球的概率为1010+10=C、摸到黑球的概率为44+2D、摸到黑球的概率为1010+5故选：A．【点评】此题主要考查了可能性的大小问题，要熟练掌握，解答此题的关键是分别求出从4个盒子中摸到黑球的可能性各是多少．【变式1-5】（2023秋•西湖区校级月考）一个仅装有球的不透明盒子里，共有20个红球和白球（仅有颜色不同），小明进行了摸球试验，摸到红球可能性最大的是（）A． B． C． D．【分析】直接比较红球的数量即可求解．【解答】解：∵一个仅装有球的不透明盒子里，共有20个红球和白球（仅有颜色不同），0＜4＜10＜16，∴摸到红球可能性最大的是D选项．故选：D．【点评】本题考查了可能性的大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．题型二题型二概率公式的计算【例题2】（2023•新疆模拟）在一个不透明的袋子中装有3个红球，2个白球和4个黄球．每个球除颜色外其余均相同，从袋中随机摸出一个球，摸到红球的概率是（）A．29 B．13 C．49 【分析】根据概率的公式计算即可．【解答】解：P(摸到红球故选：B．【点评】本题主要考查了概率的公式，熟知：如果一个事件有n种可能，而且这些事件发生的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率为：P(A)=m【变式2-1】（2023春•济阳区期末）某商场为吸引顾客设计了如图所示的自由转盘，当指针指向阴影部分时，该顾客可获奖品一份，那么该顾客获奖的概率为（）A．16 B．15 C．18 【分析】该顾客获奖的概率，即阴影部分与整个圆面的面积之比．【解答】解：因为36360=1故选：D．【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．【变式2-2】（2023•庆元县校级一模）在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张”梅花”，1张“红桃”．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为（）A．16 B．13 C．12 【分析】直接利用概率公式计算可得．【解答】解：在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张“梅花”，1张“红桃”．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为16故选：A．【点评】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．【变式2-3】（2023秋•拱墅区月考）端午节是我国传统节日，这天小颖的妈妈买了3只红豆粽和6只红枣粽，这些粽子除了内部馅料不同外其他均相同．小颖从中随意选一个，她选到红豆粽的概率是（）A．12 B．13 C．23 【分析】根据概率公式计算即可．【解答】解：小颖的妈妈买了3只红豆粽和6只红枣粽，共9只粽子，其中红豆粽有3只，∴选到红豆粽的概率为39故选：B．【点评】本题主要考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．【变式2-4】（2023秋•柯城区校级月考）小聪和妈妈计划在“江郎山、烂柯山、九华山、药王山四个景区中随机选择一个地点出游，则他们选中“江郎山”的概率为（）A．1 B．12 C．13 D【分析】根据概率公式计算即可．【解答】解：供选择的地点有4种等可能的情况，他们选中“江郎山”的情况有1种，∴选中“江郎山”的概率为=1故选：D．【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．【变式2-5】（2023秋•拱墅区月考）掷一枚六个面分别标有1，2，3，4，5，6的正方形骰子，则向上一面的数不大于5的概率是．【分析】根据概率公式计算即可．【解答】解：根据题意，不大于5的面有1，2，3，4，5，则向上一面的数不大于5的概率是56故答案为：56【点评】本题主要考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．【变式2-6】（2023春•鄠邑区期末）在一个不透明的袋子中装有除颜色外都相同的黄球、绿球和红球共12个，其中红球有2个．（1）摸到红球的概率是；（2）若摸到绿球的概率是23【分析】（1）直接利用概率公式计算；（2）设袋子中黄球的个数为x个，利用概率公式得到12-2-x12【解答】解：（1）摸到红球的概率=2故答案为16（2）设袋子中黄球的个数为x个，根据题意得12-2-x12=23，解得即袋子中黄球的个数为2个．【点评】本题考查了概率公式：某事件的概率＝某事件所占的结果数除以所有结果数．题型三题型三列举法或树状图求概率（卡片问题）【例题3】抽屉里装有3张卡片，两张印有图案，一张印有的，三张卡片除了图案不同外其他完全相同，现在随机从抽屉里抽取一张卡片，不放回然后抽取第二张，则两次抽到卡片上图案均为轴对称图形的概率是．【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和两次抽到卡片上图案均为轴对称图形的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：设两张印有图案的卡片记为A，B，一张印有的的卡片记为C，则卡片A，B上的图案为轴对称图形．画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中两次抽到卡片上图案均为轴对称图形的结果有2种，∴两次抽到卡片上图案均为轴对称图形的概率为26故答案为：13【点评】本题考查列表法与树状图法、轴对称图形，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．用到的知识点为：概率=所求情况数【变式3-1】（2023•南漳县模拟）将分别写有“心”“氧”“氧”“去”“南”“漳”汉字的六张除汉字外均相同的卡片（每张卡片上只有一个汉字）放入一个不透明的袋子里，每次摸之前先均匀搅拌，随机摸出一张卡片，不放回，再随机摸出一张卡片，两次摸出卡片上的汉字能组成“南漳”的概率为．【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和两次摸出卡片上的汉字能组成“南漳”的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：画树状图为：共有30种等可能的结果，其中选到“南漳”的结果数为2，所以两次摸出卡片上的汉字能组成“南漳”的概率为230故答案为：115【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．【变式3-2】（2023•光山县三模）现有正面标有汉字，“诚”“实”“友”“善”的4张卡片，他们除汉字外完全相同，若把四张卡片背面朝上洗匀放在桌子上，然后任意抽取一张卡片，不放回，再任意抽取一张，这两次抽取的卡片上的汉字能组成词语的概率为．【分析】画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合题意的结果数，再根据概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如下：由树状图知，共有12种等可能的结果，其中两次抽取的卡片上的汉字能组成词语的结果有4种，∴两次抽取的卡片上的汉字能组成词语的概率为412故答案为：13【点评】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．【变式3-3】（2023秋•碑林区校级月考）中秋节前，学校举行“传经典•乐中秋”系列活动，共有四项活动：并分别制作了编号为A、B、C、D的4张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），并将它们背面朝上洗匀后放在桌面上．（1）小丽随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为A的概率为；（2）小丽从4张卡片中随机抽取1张（不放回），小明再从余下的3张卡片中随机抽取1张，求小丽、小明两人中恰好有一人“诵诗词”的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出过程）．【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；（2）根据题意先列出图表，得出所有等可能的结果数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式求解即可．【解答】解：（1）小丽随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为A的概率为14故答案为：14（2）列表如下：ABCDA（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）∴一共有12种情况，小丽、小明两人中恰好有一人“诵诗词”的有6种情况，∴小丽、小明两人中恰好有一人“诵诗词”的概率为：612【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．【变式3-4】（2023•碑林区校级模拟）为了锻炼学生的写作能力，某中学组织开展了一场作文比赛，老师将四个备选的写作主题分别编号为1，2，3，4，并将编号分别写在完全相同的4张卡片的正面，将洗匀后的卡片背面朝上，每位参赛同学随机抽取一张卡片，根据其正面编号确定自己的写作主题，然后卡片放回洗匀，待下一位参赛同学继续抽取．（1）康康同学随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“4”的概率是．（2）用画树状图或列表的方法，求李磊和金英两位参赛同学抽中同一写作主题的概率．【分析】（1）根据概率的定义进行计算即可；（2）用树状图表示所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．【解答】解：（1）从写有1、2、3、4的4张卡片中随机抽取1张，共有4种等可能出现的结果，其中是4的只有1种，所以康康同学随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“4”的概率是14故答案为：14（2）用树状图表示所有等可能出现的结果如下：共用16种等可能出现的结果，其中李磊和金英两位参赛同学抽中同一写作主题的有4种，所以李磊和金英两位参赛同学抽中同一写作主题的概率为416【点评】本题考查列表法或树状图法，用列表法或树状图法列举出所有等可能出现的结果是正确解答的前提．题型四题型四列举法或树状图求概率（转盘问题）【例题4】（2022•历下区三模）某商户开展抽奖活动，如图所示的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形．每个扇形上都标有数字，当满足抽奖条件的某个客户同时自由转动两个转盘．则转盘停止后，指针都落在偶数上（指针落在线上时，重新转动转盘）的概率是（）A．310 B．15 C．25 【分析】利用列表法，列出表格指出所有的等可能性，利用计算概率的公式即可得出结论．【解答】解：∵两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，自由转动两个转盘，∴指针落在每个数字上的可能性是相同的．依据题意列树状图如下：∵从图中可以看出共有20中等可能，其中指针都落在偶数上的可能有4种，∴指针都落在奇数上的概率是：420故选：B．【点评】本题主要考查了用列表法或树状图求事件的概率．选择合适的方法正确找出所有的等可能是解题的关键．【变式4-1】（2022•安徽模拟）如图是一个游戏转盘，连续自由转动转盘两次（如果落在分隔线上，则重新转动，直至转到其中一块区域），则两次转动指针都落在数字“Ⅲ”所示区域内的概率是（）A．19 B．16 C．14 【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，两次转动指针都落在数字“Ⅲ”所示区域内的结果有4种，再由概率公式求解即可．【解答】解：如图，把分隔线上方的两个扇形记为A、B，下方的半圆分成两个小扇形记为C、D，画树状图如下：共有16种等可能的结果，两次转动指针都落在数字“Ⅲ”所示区域内的结果有4种，∴两次转动指针都落在数字“Ⅲ”所示区域内的概率为416故选：C．【点评】本题主要考查了用列表法或树状图求事件的概率．选择合适的方法正确找出所有的等可能是解题的关键．【变式4-2】春节期间，小刚和大明相约一起看贺岁片，两人了解到，《唐人街探案3》，《你好，李焕英》，《新神榜：哪吒重生》，《熊出没•狂野大陆》等多部影片上映，而且票房均已过亿，两人准备从这四部电影中选一部观看．将《唐人街探案3》表示为A，《你好，李焕英》表示为B，《新神榜：哪吒重生》表示为C，《熊出没•狂野大陆》表示为D．（1）请你计算小刚和大明一起去看《新神榜：哪吒重生》的概率．（2）小刚和大明制作了一个如图所示的转盘（整个圆盘被平均分成了4份），小刚和大明分别转动转盘，如果指针转到相同的区域，那他们就看这个区域所代表的电影．请问，小刚和大明各转动一次就转到相同的区域的概率是多少？【分析】（1）先列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可；（2）从表格中找到小刚和大明各转动一次就转到相同的区域的结果数，利用概率公式求解即可．【解答】解：（1）列表如下：ABCDA（A，A）（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（B，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（C，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）（D，D）由表知共有16种等可能结果，其中小刚和大明一起去看《新神榜：哪吒重生》的只有1种结果，∴小刚和大明一起去看《新神榜：哪吒重生》的概率为116（2）由表可知，小刚和大明各转动一次就转到相同的区域的有4种结果，所以小刚和大明各转动一次就转到相同的区域的概率为416【点评】此题考查了列表法与树状图法，以及概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．【变式4-3】（2023春•顺德区期末）如图，一个转盘平均分成6等份，分别标有1、2、3、4、5、6六个数字．随机转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（指向分界线时重新转动）．（1）随机转动转盘，求转出的数字小于3的概率；（2）现有两张分别写有2和3的卡片．随机转动转盘转出的数字与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度，求这三条线段能构成三角形的概率是多少？【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）共有6种等可能的结果，其中三条线段能构成三角形的结果有3种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）∵一个转盘平均分成6等份，分别标有1、2、3、4、5、6六个数字，∴随机转动转盘，转出的数字小于3的概率为26（2）由题意可知，共有6种等可能的结果，其中三条线段能构成三角形的结果有3种，即2、3、2或2、3、3或2、3、4，∴三条线段能构成三角形的概率为36【点评】本题考查了概率公式以及三角形的三边关系，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．【变式4-4】某商场在“五一”促销活动中规定，顾客每消费100元就能获得一次抽奖机会．为了活跃气氛，设计了两种抽奖方案．方案一：转动转盘A一次，指针指向红的部分可领取一份奖品．方案二：转动转盘B两次，两次指针都指向红的部分可领取一份奖品．（两个转盘都被平均分成3份，若指针指向分界线，则重转）（1）转动一次转盘A，获得奖品的概率是13（2）如果你获得一次抽奖机会，你会选择哪种方案？请用列表法或画树状图法说明理由．【分析】（1）利用概率公式求解；（2）利用树状图法求出方案二中领取一份奖品的概率，然后比较两个方案中领取一份奖品的概率的大小来判断选择哪个方案．【解答】解：（1）若转动一次A转盘，求领取一份奖品的概率为13故答案为：13（2）选择方案二．理由如下：画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两次都转出红色的结果数为4，所以转动转盘B两次，两次都转出红色可领取一份奖品的概率为49所以选择方案二．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．题型五题型五列举法或树状图求概率（不放回的摸球问题）【例题5】（2022•沙坪坝区校级开学）不透明的袋子中装了2个红球，1个黑球，1个白球，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出2个球，摸出1个红球1个黑球的概率为．【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中摸出1个红球1个黑球的结果有4种，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中摸出1个红球1个黑球的结果有4种，∴摸出1个红球1个黑球的概率为412故答案为：13【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．【变式5-1】（2022•武汉模拟）甲、乙两名同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有标号分别为1，2，3，4的四个小球（除标号外无其他差异）．从口袋中随机摸出两个小球，记下标号．若两个小球的标号之积为奇数，则甲获胜；若两个小球的标号之积为偶数，则乙获胜．乙获胜的概率是（）A．112 B．16 C．12 【分析】画树状图，共有12种等可能的结果数，其中两个小球的标号之积为偶数的结果有10种，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如下：共有12种等可能的结果数，其中两个小球的标号之积为偶数的结果有10种，∴乙获胜的概率=10故选：D．【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．【变式5-2】（2022•泌阳县四模）一个袋子中装有除颜色外完全相同的6个小球，其中有3个小球是白色的，2个小球是红色的，1个小球是黑色的，那么不放回连续取出两个小球都是白色的概率为（）A．15 B．14 C．13 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【解答】解：列表如下：白白白红红黑白（白，白）（白，白）（红，白）（红，白）（黑，白）白（白，白）（白，白）（红，白）（红，白）（黑，白）白（白，白）（白，白）（红，白）（红，白）（黑，白）红（白，红）（白，红）（白，红）（红，红）（黑，红）红（白，红）（白，红）（白，红）（红，红）（黑，红）黑（白，黑）（白，黑）（白，黑）（红，黑）（红，黑）由表知，共有30种等可能结果，其中取出两个小球都是白色的有6种结果，所以取出两个小球都是白色的概率为630故选：A．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式求事件A或B的概率．【变式5-3】将分别标有“停”“课”“不”“停”“学”汉字的五个小球装在一个不透明口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字是“不”“停”的概率是（）A．325 B．320 C．110 【分析】根据题意画出树状图得出所有等情况数和两次摸出的球上的汉字是“不”“停”的情况数，再根据概率公式即可得出答案．【解答】解：根据题意画图如下：共有20种等情况数，其中两次摸出的球上的汉字是“不”“停”的有4种，则随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字是“不”“停”的概率是420故选：D．【点评】此题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．【变式5-4】（2022秋•城关区校级期中）现有一个不透明的口袋装有分别标有汉字“最”、“美”、“兰”、“州”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．（1）若从中任取一个球，取出的球上的汉字是“美”的概率为；（2）小明同学从中任取一个球，不放回，再从中任取一个球，请用画树状图或列表的方法，求出小明取出两个球上的汉字恰能组成“兰州”的概率．【分析】（1）直接利用概率公式进行计算即可得；（2）先画出树状图，从而可得小明取出两个球上的汉字的所有等可能的结果，再找出小明取出两个球上的汉字恰能组成“兰州”的结果，然后利用概率公式求解即可得．【解答】解：（1）由题意，从中任取一个球共有4种结果，则从中任取一个球，取出的球上的汉字是“美”的概率为14故答案为：14（2）由题意，画出树状图如下：由图可知，小明取出两个球上的汉字的所有等可能的结果共有12种，其中，小明取出两个球上的汉字恰能组成“兰州”的结果有2种，则小明取出两个球上的汉字恰能组成“兰州”的概率为P=2答：小明取出两个球上的汉字恰能组成“兰州”的概率为16【点评】本题考查了利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键．题型六题型六列举法或树状图求概率（放回的摸球问题）【例题6】（2022•西工区模拟）将分别标有“精”“准”“扶”“贫”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其它差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，放回后；再随机摸出一球，两次摸的球上的汉字组成词语“扶贫”的概率是（）A．14 B．16 C．18 【分析】画树状图，共有16个等可能的结果，两次摸的球上的汉字组成词语“扶贫”的结果有2个，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如图：共有16个等可能的结果，两次摸的球上的汉字组成词语“扶贫”的结果有2个，∴两次摸的球上的汉字组成词语“扶贫”的概率为216故选：C．【点评】本题考查了利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键．【变式6-1】（2022•同安区二模）小林和小华在进行摸球游戏．在不透明的袋子里有4个分别标有数字1、2、3、4的小球，这些小球除数字外完全一样．小林先摸，将摸到的小球数字记为m，然后将小球放回．再由小华摸球，小华摸到的小球数字记为n．如果m，n满足|m﹣n|≤1，就称小林、小华两人“心有灵犀”．则小林、小华两人“心有灵犀”的概率是（）A．14 B．38 C．12 【分析】根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可求出小林、小华两人“心有灵犀”的概率．【解答】解：树状图如下所示，由上可得，一共有16种可能性，其中|m﹣n|≤1的可能性有10种，∴小林、小华两人“心有灵犀”的概率是1016故选：D．【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．【变式6-2】（2022•宛城区一模）一只不透明的袋子中装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回搅匀，再从中摸出第2个球．则两次摸出的球颜色相同的概率是（）A．59 B．49 C．13 【分析】根据题意画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出两次摸出的球颜色相同的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：根据题意画图如下：所有可能的结果有9种，两次摸出颜色相同球的结果有5种；则两次摸出的球颜色相同的概率是59故选：A．【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．【变式6-3】（2023•灞桥区校级开学）一个不透明的口袋中有4个大小相同的小球，球面上分别写有数字1、2、3、3，袋中随机地摸出一个小球，记录下数字后放回，再随机地摸出一个小球．（1）求第一次摸出一个球，球上的数字是偶数的概率是；（2）请利用画树状图或列表法的方法，求两次摸出球上的数字的和为奇数的概率．【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及两次摸出球上的数字的和为奇数的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）由题意得，第一次摸出一个球，球上的数字是偶数的概率是14故答案为：14（2）画树状图如下：共有16种可能的结果，两次摸出球上的数字的和分别为：2，3，4，4，3，4，5，5，4，5，6，6，4，5，6，6，其中两次摸出球上的数字的和为奇数的结果有6种，∴两次摸出球上的数字的和为奇数的概率为616【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．【变式6-4】四个完全相同的乒乓球，分别标注数字1、2、3、4，将它们放入一个不透明的盒子中．从盒子中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中随机摸出一个球，记下数字后再放回．请用列表或画树状图的方法解决下列问题：（1）求两次摸到的球上数字同时为偶数的概率；（2）在上面的问题中，如果第一次摸出球后不放回，继续第二次摸球，求两次摸到的球上数字之和为偶数的概率．【分析】（1）画树状图，共有16种等可能的结果，其中两次摸到的球上数字同时为偶数的结果有4种，再由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中两次摸到的球上数字之和为偶数的结果有4种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）画树状图如下：共有16种等可能的结果，其中两次摸到的球上数字同时为偶数的结果有4种，∴两次摸到的球上数字同时为偶数的概率为416（2）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中两次摸到的球上数字之和为偶数的结果有4种，∴两次摸到的球上数字之和为偶数的概率为412【点评】本题考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．题型七题型七列举法或树状图求概率（电路问题）【例题7】如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，任意闭合其中一个开关，小灯泡不发光的概率为（）A．12 B．13 C．14 【分析】用满足条件的个数除以总的个数即可得出概率的值．【解答】解：有4个开关，只有D开关一个闭合小灯发亮，其它开关闭合小灯都不发亮，所以任意闭合其中一个开关，则小灯泡不发光的概率是34故选：D．【点评】本题考查了概率的公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．【变式7-1】如图所示的电路中，当随机闭合开关S1、S2、S3中的两个时，能够让灯泡不发光的概率是．【分析】根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能够让灯泡不发光的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：设S1、S2、S3中分别用1、2、3表示，画树状图得：∵共有6种等可能的结果，能够让灯泡不发光的有2种结果，∴能够让灯泡不发光的概率为：26故答案为：13【点评】此题考查了列表法与树状图法求概率的知识．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．【变式7-2】（2022•海勃湾区校级一模）如图，电路图上有4个开关A，B，C，D和1个小灯泡，同时闭合开关A，B或同时闭合开关C，D都可以使小灯泡发光．现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（）A．12 B．13 C．23 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小灯泡发光的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有4种情况，∴小灯泡发光的概率为412故选：B．【点评】本题考查了概率的公式，用满足条件的个数除以总的个数即可得出概率的值．【变式7-3】（2023•杏花岭区校级模拟）学习电学知识后，小亮同学用四个开关A、B、C、D，一个电源和一个灯泡设计了一个电路图，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的概率为（）A．14 B．13 C．12 【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有6种，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有6种，即AD、BD、CD、DA、DB、DC，∴小灯泡发光的概率为612故选：C．【点评】此题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．【变式7-4】（2023•安庆二模）如图是某电路图，随机闭合开关S1，S2，S3中的任意2个，能同时使两盏小灯泡发光的概率是（）A．12 B．13 C．25 【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，能让两个灯泡发光的有4种，然后由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图得：共有6种等可能的结果，其中能让两个灯泡发光的结果数为4，∴能让灯泡L2发光的概率为：46故选：D．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．题型八题型八列举法或树状图求概率（数字问题）【例题8】（2023•丽水模拟）实数3与2，5，6中任意一个数组成的两位数是奇数的概率为（）A．14 B．12 C．23 【分析】根据题意可得出所有等可能的结果数以及组成的两位数是奇数的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：实数3与2，5，6中任意一个数组成的两位数的所有等可能的结果为：32，35，36，23，53，63，共6种结果，其中是奇数的结果有：35，23，53，63，共4种，∴实数3与2，5，6中任意一个数组成的两位数是奇数的概率为46故选：C．【点评】本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键．【变式8-1】从﹣2，0，1这三个数中随机选取两个数，其中一个记为m，另一个记为n，则点（m，n）落在y轴上的概率是（）A．16 B．15 C．14 【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中点（m，n）落在y轴上的结果有2种，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中点（m，n）落在y轴上的结果有2种，∴点（m，n）落在y轴上的概率是26故选：D．【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．【变式8-2】从﹣1、﹣2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为b、c，则关于x的一元二次方程2x2+bx+c＝0有一正一负两个实数解的概率为（）A．14 B．13 C．12 【分析】首先画出树状图即可求得所有等可能的结果与关于x的一元二次方程2x2+bx+c＝0有一正一负两个实数解的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：根据题意画树状图如下：由树形图可知：一共有12种等可能的结果，其中关于x的一元二次方程2x2+bx+c＝0有一正一负两个实数解的有6种结果，则关于x的一元二次方程2x2+bx+c＝0有一正一负两个实数解的概率为612故选：C．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．【变式8-3】（2023春•中江县期中）从1、2、3三个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则关于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0没有实数根的概率为（）A．12 B．13 C．23 【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，再找出满足Δ＝16﹣4ac＜0的结果数，然后根据概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中满足Δ＝16﹣4ac＜0，即ac＞4的结果有（2，3）、（3，2）这2种结果，∴关于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0没有实数根的概率为26故选：B．【点评】本题考查的是用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．也考查了根的判别式．【变式8-4】（2022秋•越秀区校级月考）从﹣3，﹣2，1三个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则关于x的二次函数y＝ax2﹣4x+c的图象与x轴有交点的概率为．【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中使判别式Δ＝16﹣4ac≥0的有4种结果，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图得：由树形图可知：共有6种等可能的结果，其中使判别式Δ＝16﹣4ac≥0的有4种结果，∴二次函数y＝ax2﹣4x+c的图象与x轴有交点的概率为46故答案为：23【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．题型九题型九列举法或树状图求概率（实际应用问题）【例题九】（2023•振兴区校级二模）如图A是某公园的进口，B，C，D是三个不同的出口，小明从A处进入公园，那么从B，C，D三个出口中恰好在C出口出来的概率为（）A．14 B．13 C．12 【分析】列出所有等可能结果，从所有结果中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【解答】解：从A口进入，出口有B、C、D三种情况，其中从C口出的只有1种结果，∴从B、C、D三个出口中恰好在C出口出来的概率为13故选：B．【点评】本题考查了概率公式，找到所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．【变式9-1】（2022•海淀区二模）“宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶（相当于西乐的1，2，3，5，6），是采用“三分损益法”通过数学方法获得．现有一款“一起听古音”的音乐玩具，音乐小球从A处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞的可能性大小相同．现有一个音乐小球从A处先后两次进入小洞，先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是（）A．125 B．110 C．15 【分析】画树状图，共有25种等可能的结果，其中先发出“商”音，再发出“羽”音的结果有1种，再由概率公式求解即可．【解答】解：根据题意画图如下：共有25种等可能的情况数，其中先发出“商”音，再发出“羽”音的有1种，则先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是125故选：A．【点评】本题考查了树状图法求概率以及概率公式，正确画出树状图是解题的关键．【变式9-2】（2023•凤城市一模）人类的性别是由一对性染色体（X，Y）决定，当染色体为XX时，是女性；当染色体为XY时，是男性．如图为一对夫妻的性染色体遗传图谱，如果这位女士怀上了一个小孩，该小孩为女孩的概率是（）A．14 B．13 C．12 【分析】画树状图，共有4种等可能的结果，其中该小孩为女孩的结果有2种，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如下：共有4种等可能的结果，其中该小孩为女孩的结果有2种，∴该小孩为女孩的概率为24故选：C．【点评】本题考查了树状图法求概率以及概率公式，正确画出树状图是解题的关键．【变式9-3】（2022秋•莲湖区校级月考）为弘扬中华传统文化，某校举办了学生“国学经典大赛”；比赛项目为：A：唐诗；B．宋词；C，论语；D三字经，比赛形式分“单人组”和“双人组”．（1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是．（2）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则小红和小明都没有抽到“论语”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．【分析】（1）直接利用概率公式求解即可．（2）画树状图得出所有等可能的结果数和小红和小明都没有抽到“论语”的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）∵共有4个比赛项目，∴恰好抽中“三字经”的概率是14故答案为：14（2）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中小红和小明都没有抽到“论语”的结果有6种，∴小红和小明都没有抽到“论语”的概率为612【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．【变式9-4】（2022秋•余姚市校级月考）余姚全面推进生活垃圾分类工作，如图是某小区放置的垃圾桶，从左到右依次是绿色：厨余垃圾；蓝色：可回收垃圾；黑色：其他垃圾；红色：有害垃圾．（1）居民A将一袋厨余垃圾随手放入一个垃圾桶，他能正确投放垃圾的概率是．（2）居民B手拎两袋垃圾，一袋是可回收垃圾，另一袋是有害垃圾，她先将可回收垃圾随手放入一个垃圾桶，然后把另一袋垃圾又随手放入另外的垃圾桶中的一个．问：两袋垃圾都投放正确的概率？请画出树状图或列表说明理由．【分析】（1）直接利用概率公式求解即可．（2）画树状图得出所有等可能的结果数和两袋垃圾都投放正确的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）∵共有4个垃圾桶，∴他能正确投放垃圾的概率是14故答案为：14（2）记厨余垃圾桶为A，可回收垃圾桶为B，其他垃圾桶为C，有害垃圾桶为D，画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中两袋垃圾都投放正确的结果有1种，∴两袋垃圾都投放正确的概率为112【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．题型十题型十概率与几何图形相结合问题【例题10】（2023•太平区二模）如图，在一块正三角形飞镖游戏板上画一个正六边形（图中阴影部分），假设飞镖投中游戏板上的每一点是等可能的（若投中边界或没有投中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，则飞镖投中阴影部分的概率为（）A．13 B．49 C．12 【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．【解答】解：如图，根据等边三角形和正六边形的性质，可知图中所有小三角形的面积都相等，∴任意投掷飞镖一次，飞镖投中阴影部分的概率为69故选：D．【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．【变式10-1】（2022•抚顺县一模）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，过点O的直线EF分别交边AB，CD于E，F两点，在这个平行四边形上做随机投掷图钉试验，针头落在阴影区域内的概率是．【分析】用阴影部分的面积除以平行四边形的总面积即可求得答案．【解答】解：∵四边形是平行四边形，∴对角线把平行四边形分成面积相等的四部分，观察发现：图中阴影部分面积＝14S四边形ABCD∴点A落在阴影区域内的概率为14故答案为：14【点评】此题主要考查了几何概率，以及平行四边形的性质，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．【变式10-2】（2023•南海区校级三模）一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（）A．49 B．23 C．59 【分析】根据几何概率的求法：最终停留在黑色的方砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值．【解答】解：观察这个图可知：黑色区域（5块）的面积占总面积（9块）的59则它最终停留在黑砖上的概率是59故选：C．【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．【变式10-3】（2022秋•丛台区校级期末）如图，一只蚂蚁在地板上自由爬行，并随机停在某块方砖上，那么蚂蚁最终停留在三角形区域上的概率是（）A．720 B．25 C．12 【分析】用黑砖的面积除以总面积即可得出答案．【解答】解：由图知，若设方砖的边长为a，则地板的总面积为5a×4a＝20a2，黑砖的面积为20a2-12（3a×3a+2a×4a+a×5a）＝9a∴小球最终停留在黑砖上的概率是9a故选：D．【点评】本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．【变式10-4】向如图所示的等边三角形区域内扔沙包（区域中每个小等边三角形除颜色外完全相同），沙包随机落在某个等边三角形内．（1）扔沙包一次，落在图中阴影区域的概率是；（2）要使沙包落在图中阴影区域的概率为12【分析】（1）由图中共有16个等边三角形，其中阴影部分的三角形有6个，利用概率公式计算可得；（2）要使沙包落在图中阴影区域的概率为12，所以图形中阴影部分的小等边三角形要达到8【解答】解：（1）图中共有16个等边三角形，其中阴影部分的三角形有6个，∴扔沙包一次，落在图中阴影区域的概率是616故答案为：38（2）涂黑2个；∵图形中有16个小等边三角形，要使沙包落在图中阴影区域的概率为12∴所以图形中阴影部分的小等边三角形要达到8个，已经涂黑了6个，∴还需要涂黑2个；如图所示：【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．题型十一题型十一游戏的公平性问题【例题11】（2023•长安区四模）甲、乙两人玩转盘游戏，规则如下：如图是两个可以自由转动的转盘A，B，A转，盘中数字1所对扇形区域的圆心角为90°，B转盘被分成面积相等的三个扇形，依次转动转盘A，B，当转盘停止后，若指针指向的两个区域的数字之和大于5，则甲获胜；否则乙获胜；如果落在分割线上，则需要重新转动转盘．（1）转动转盘A，指向的数字为1的概率是；（2）试用列表或画树状图的方法说明游戏是否公平．若公平，请说明理由；若不公平，谁获胜的可能性更大？【分析】（1）求出A盘中数字1所对扇形区域占整体的几分之几即可；（2）用列表法表示所有可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．【解答】解：（1）∵A盘中数字1所对扇形区域的圆心角为90°，∴A盘中数字1所对扇形区域占整体的90360∴转动转盘A，指向的数字为1的概率是14故答案为：14（2）如图，将A盘4等分，这样才是指向每个区域的可能性均等，用列表法表示所有等可能出现的结果如下：共有12种等可能出现的结果，其中指针指向的两个区域的数字之和大于5，即甲获胜的有7种，所以甲获胜的概率为712，乙获胜的概率为5所以这个游戏不公平，甲获胜的可能性较大．【点评】本题考查列表法或树状图法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的前提．【变式11-1】（2023•西安校级三模）有A、B两组卡片共5张，A组的三张分别写有数字2，4，6；B组的两张分别写有3，5．它们除了数字外没有任何区别．（1）随机从A组抽取一张，求抽到数字为2的概率；（2）随机地分别从A组、B组各抽取一张，请你用列表或画树状图的方法表示所有等可能的结果．现制定这样一个游戏规则：若选出的两数之积为3的倍数，则甲获胜；否则乙获胜．请问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗？为什么？【分析】（1）三个数中抽到数字为2，故概率是13（2）画树状图分析甲乙获胜的概率即可做出判断．【解答】解：（1）由题知，A组三个数中抽到数字为2，故概率为13（2）不公平，理由如下，画树状图如下：积61012201830从树状图中可知共有6个可能的结果，而所选出的两数之积为3的倍数的机会有4个，∴P（甲获胜）=4∴P（乙获胜）=1-2∵P（甲获胜）＞P（乙获胜），∴这样的游戏规则对甲乙双方不公平．【点评】本题考查了概率的知识，掌握概率的知识分析游戏的公平性是关键．【变式11-2】（2023•灞桥区校级开学）现有电影票一张，明明和磊磊打算通过玩掷骰子的游戏决定谁拥有，游戏规则是：在一枚质地均匀的正方体骰子的每个面上分别标上数字1、2、3、4、5、6．明明和磊磊各掷一次骰子，若两次朝上的点数之和是3的倍数，则明明获胜，电影票归明明所有；否则磊磊获胜，电影票归磊磊所有．（1）明明掷一次骰子，使得向上一面的点数为3的倍数的概率是．（2）这个游戏公平吗？请用列表或树状图的方法说明理由．【分析】（1）根据概率公式直接求出即可；（2）用列举法或画树状图法分别求出明明获胜和磊磊获胜的概率，若概率相等则公平，否则不公平．【解答】解：（1）∵掷一次骰子有6种等可能的结果，其中向上一面的点数为3的倍数有2种可能的结果，∴P（向上一面的点数为3的倍数）=2故答案为：13（2）不公平，理由如下：列表如下：123456123456723456783456789456789105678910116789101112一共有36种等可能的结果，其中两次朝上的点数之和是3的倍数有12种可能的结果，∴P（明明获胜）=12P（磊磊获胜）=36-12∵P（明明获胜）≠P（磊磊获胜），∴这个游戏不公平．【点评】本题考查列表法和画树状图法求等可能事件的概率，以及游戏的公平性，掌握列表法和画树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．【变式11-3】（2023秋•宁海县月考）把大小和形状完全相同的6个球分成两组，每组3个球．其中一组标上数字1，2，3后放入不透明的甲盒子，另一组标上数字2，3，4后放入不透明的乙盒子，搅匀后，从甲、乙两个盒子中各随机抽取一个球．（1）请用画树状图或列表的方法求取出的两个球上的数字都为奇数的概率；（2）若取出的两球上的数字和为奇数，则甲胜，若取出的两球上的数字和为偶数，则乙胜，试分析这个游戏是否公平？请说明理由．【分析】（1）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可；（2）列表得出所有等可能结果，从中找到甲、乙获胜的结果数，再根据概率公式求解即可．【解答】解：（1）列表如下：1232（1，2）（2，2）（3，2）3（1，3）（2，3）（3，3）4（1，4）（2，4）（3，4）由表知，共有9种等可能结果，其中取出的两个球上的数字都为奇数的有2种结果，所以取出的两个球上的数字都为奇数的概率为29（2）这个游戏不公平，理由如下：列表如下：1232345345645657由表知，共有9种等可能结果，其中两球上的数字和为奇数的有5种结果，和为偶数的有4种结果，所以甲获胜的概率为59，乙获胜的概率为4∵59∴这个游戏不公平．【点评】此题主要考查了游戏公平性，用树状图或表格表达事件出现的可能性是求解概率的常用方法．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．【变式11-4】（2022秋•丰南区校级期末）小明和小亮玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，现将标有数字的一面朝下，小明从中任意抽取一张后，小亮再从剩下的卡片中抽取一张．计算小明和小亮抽得的两个数字之和，如果和为奇数则小明胜，和为偶数则小亮胜．（1）请用列表法或树状图等方法求小明获胜的概率；（2）你认为该游戏对双方是否公平？请说明理由．【分析】（1）将所有可能的情况在图中表示出来即可；（2）计算出和为奇数与和为偶数的概率，即可得到游戏是否公平．【解答】解：（1）列表如下：小明小亮12312+1＝33+1＝421+2＝33+2＝531+3＝42+3＝5由上表可知，所有等可能的结果共有6种．（2）∵共有6种等可能的情况数，其中和为奇数的有4种，和为偶数的有2种，P（和为奇数）=46=23∵23∴这个游戏规则对双方是不公平的．【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．【变式11-5】（2023•内蒙古）如图，A，B两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是﹣6，﹣1，5，转盘B上的数字分别是6，﹣7，4（两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同）．小聪和小明同时转动A，B两个转盘，使之旋转（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）．（1）转动转盘，转盘A指针指向正数的概率是；（2）若同时转动两个转盘，转盘A指针所指的数字记为a，转盘B指针所指的数字记为b，若a+b＞0，则小聪获胜；若a+b＜0，则小明获胜；请用列表法或树状图法说明这个游戏是否公平．【分析】（1）利用概率公式直接求出即可；（2）利用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，分别求出小聪获胜的概率，以及小明获胜的概率，再比较概率的大小，如果概率相等则公平，否则不公平．【解答】解：（1）∵A带指针的转盘被分成三个面积相等的扇形，转盘上的数字分别是﹣6，﹣1，5，其中正数有1个，∴P（转动转盘，转盘A指针指向正数）=1故答案为：13（2）列表如下：﹣6﹣1560511﹣7﹣13﹣8﹣24﹣239一共有9种等可能的结果，其中a+b＞0有4种可能的结果，a+b＜0有4种等可能的结果，∴P（小聪获胜）=4P（小明获胜）=4∵P（小聪获胜）＝P（小明获胜），∴这个游戏公平．【点评】本题考查列表法和画树状图法求等可能事件的概率，游戏的公平性，掌握列表法和画树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．题型十二题型十二概率与统计知识的综合应用【例题12】（2023秋•佛山月考）党的二十大报告再次将劳动教育同“德育、智育、体育、美育”放在同等重要的战略地位，明确了全面加强新时代大中小学劳动教育的重要性；为落实劳动教育，我校在暑假期间组织学生积极参与“劳动最光荣”活动，并设置了四个劳动项目：A．为家人做早饭，B．洗碗，C．打扫，D．洗衣服．要求每个学生必须选择一个自己最擅长的劳动项目，并要坚持整个暑假．为了解全校参加各项目的学生人数，学校随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图，请根据所给信息，解答下列问题：（1）本次接受抽样调查的总人数是人；（2）请将上述两个统计图中缺失的部分补充完整；（3）该校参加活动的学生共2600人，请估计该校参加A项目的学生有390人；（4）小雯同学在暑假中养成了很好的劳动习惯，妈妈决定奖励带她去看两场电影，已知新上映的四部电影《志愿军》《汪汪队》《孤注一掷》《我是哪吒2》（依次记为a，b，c，d）都深受大家喜爱，很难做出决定，于是将写有这四个编号的卡片（除序号和内容外，其余完全相同）背面朝上放置，洗匀放好，从中随机抽取两张卡片．请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片恰好是《志愿军》和《孤注一掷》的概率．【分析】（1）用参加B项目的学生人数除以其所占的百分比可得本次接受抽样调查的总人数．（2）用本次接受抽样调查的总人数乘以参加C项目的人数所占的百分比，可求出参加C项目的学生人数，补全条形统计图即可；用参加A项目的人数除以本次接受抽样调查的总人数再乘以100%，可得参加A项目的人数所占的百分比，补全扇形统计图即可．（3）根据用样本估计总体，用2600乘以本次抽样调查中参加A项目的学生人数所占的百分比，即可得出答案．（4）画树状图得出所有等可能的结果数以及抽到的两张卡片恰好是《志愿军》和《孤注一掷》的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）本次接受抽样调查的总人数是45÷37.5%＝120（人）．故答案为：120．（2）参加C项目的人数为120×25%＝30（人），参加A项目的人数所占的百分比为18120×100%＝补全两个统计图如下．（3）估计该校参加A项目的学生有2600×15%＝390（人）．故答案为：390．（4）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是《志愿军》和《孤注一掷》，即a和c的结果有2种，∴抽到的两张卡片恰好是《志愿军》和《孤注一掷》的概率为212【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．【变式12-1】（2022秋•龙岗区校级期末）我校开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：（1）本次被调查的学生有名；补全条形统计图；（2）扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是；（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，请用列表法或画树状图法分析甲和乙同学同时被选中的概率．【分析】（1）用选择“篮球”的人数除以其所占百分比，可得本次被调查的学生总人数；求出选择“足球”的人数，再补全条形统计图即可．（2）用选择“排球”的人数除以本次被调查的学生总人数再乘以360°即可．（3）画树状图得出所有等可能的结果数，以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）本次被调查的学生人数为30÷30%＝100（名）．故答案为：100．选择“足球”的人数为35%×100＝35（名）．补全条形统计图如下：（2）扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数为5100×360°＝故答案为：18°．（3）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种，∴甲和乙同学同时被选中的概率为212【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂条形统计图和扇形统计图，掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．【变式12-2】（2023秋•钟山区期中）随着中国第一部反电信诈骗电影《孤注一掷》的热播，电信诈骗的常见陷阱和欺骗案例着实令人唏嘘，“校园防电信诈骗安全”也受到全社会的广泛关注．某中学对九年级学生就防电信诈骗安全知识的了解程度，采用随机抽样的方式进行了调查，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如所示的两幅不完整统计图．请你根据统计图中的信息解答下列问题：（1）请补全条形统计图；（2）若从对校园防电信诈骗安全知识达到“了解”程度的2名男生和3名女生中随机抽取2人参加“校园防电信诈骗安全”知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率；（3）请帮助该校写一句防电信诈骗的宣传标语．【分析】（1）用了解程度为C的学生人数除以其所占的百分比可得本次调查的学生人数，再分别减