期中测试卷02（测试范围：第1-3章）（解析版）

2023-2024学年九年级数学上学期期中测试卷02（测试范围：第1-3章）一、单选题1．抛物线的顶点坐标是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二次函数的顶点式可得顶点坐标为即可得到结果．【解析】∵二次函数解析式为，∴顶点坐标为；故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函数顶点式的顶点坐标的求解，准确理解是解题的关键．2．下列事件中，属于必然事件的是（）A．射击运动员射击一次，命中10环B．明天会下雨C．在地球上，抛出去的一块砖头会落下D．在一个只装有红球的袋中摸出白球【答案】C【分析】根据必然事件，不可能事件和随机事件的定义判断即可．【解析】解：A、射击运动员射击一次，命中10环，是随机事件，本选项不符合题意；B、明天会下雨，是随机事件，本选项不符合题意；C、在地球上，抛出去的一块砖头会落下，是必然事件，本选项符合题意；D、在一个只装有红球的袋中摸出白球，是不可能事件，本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了必然事件，不可能事件和随机事件的定义．在数学中，我们把在一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件；在一定条件下一定不会发生的事件叫做不可能事件；在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件叫做不确定事件或随机事件．3．如图，一个圆柱形的玻璃水杯，将其横放，截面是个半径为的圆，杯内水面宽，则水深是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，，根据C是的中点，D是的中点，垂径定理推出，，，推出O、C、D三点共线，得到，设，，根据勾股定理推出，得到．【解析】解：连接，，∵是横放圆柱形的玻璃水杯内水最深处，∴C是的中点，D是的中点，∴，，，∴O、C、D三点共线，∴，设，则，∵，∴，解得，，（不合题意，舍去），∴．故选：B．【点睛】本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理，一元二次方程等，解题的关键是熟练掌握垂径定理的推论，勾股定理解直角三角形，解一元二次方程．4．将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【解析】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：；由“左加右减”的原则可知，将抛物线向左平移2个单位所得抛物线的解析式为：．故选：A．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的规律是解答此题的关键．5．如图，点A、B、C在上，，则的度数是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由圆周角定理可求出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出的大小．【解析】由圆周角定理可得：．∵，∴．故选D．【点睛】本题主要考查圆周角定理．掌握同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍是解题关键．6．设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】把点的坐标分别代入抛物线解析式可求得，，的值，比较大小即可．【解析】解：∵，，是抛物线上的三点，∴，，，∵，∴，故选：A．【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．7．如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据回答下列问题：投篮次数50100150200250300500投中次数286078104124153252估计这位同学投篮一次，投中的概率约是（

）（精确到0.1）A．0.55 B．0.4 C．0.6 D．0.5【答案】D【分析】计算出所有投篮的次数，再计算出总的命中数，继而可估计出这名球员投篮一次，投中的概率．【解析】解：估计这名球员投篮一次，投中的概率约是，故选：D．【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定．8．如图，在正方形网格中，线段AB绕点O旋转一定的角度后与线段CD重合（C、D均为格点，A的对应点是点C），若点A的坐标为（－1，5），点B的坐标为（3，3），则旋转中心O点的坐标为（

）A．（1，1） B．（4，4） C．（2，1） D．（1，1）或（4，4）【答案】A【分析】画出平面直角坐标系，对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．【解析】解：作AC、BD的垂直平分线交于点E，点E即为旋转中心，E（1，1），故选：A．【点睛】本题考查坐标与图形变换旋转，解题关键在于理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．9．如图，CD是的高，按以下步骤作图：（1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于G、H两点．（2）作直线GH交AB于点E．（3）在直线GH上截取．（4）以点F为圆心，AF长为半径画圆交CD于点P．则下列说法错误的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】连接AF、BF，由作法可知，FE垂直平分AB，再根据可得∠AFE=45°，进而得出∠AFB＝90°，根据等腰直角三角形和圆周角定理可判断哪个结论正确．【解析】解：连接AF、BF，由作法可知，FE垂直平分AB，∴，故A正确；∵CD是的高，∴，故B正确；∵，，∴，故C错误；∵，∴∠AFE=45°，同理可得∠BFE=45°，∴∠AFB＝90°，，故D正确；故选：C．【点睛】本题考查了作垂直平分线和圆周角定理，解题关键是明确作图步骤，熟练运用垂直平分线的性质和圆周角定理进行推理证明．10．小明同学研究二次函数（m为常数）性质时得到如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线上；②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点与点在函数图象上，若，，则；④当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为．其中错误结论的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据函数解析式，结合函数图象的顶点坐标、对称轴以及增减性依次对个结论作出判断即可．【解析】解：二次函数（为常数）①∵顶点坐标为且当时，∴这个函数图象的顶点始终在直线上故结论①正确，不符合题意；②假设存在一个的值，使得函数图象的顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形,令，得，其中解得：，∵顶点坐标为，且顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形∴∴或∴存在或，使得函数图象的顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形故结论②正确，不符合题意；③∵∴∵二次函数（为常数）的对称轴为直线∴点A离对称轴的距离小于点离对称轴的距离∵，且∴故结论③错误，符合题意；④当时，随的增大而增大，且∴的取值范围为故结论④正确，不符合题意．故选：A【点睛】本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系，是一道综合性比较强的题目，需要利用数形结合思想解决本题．二、填空题11．在同一平面内，已知圆的半径为，一点到圆心的距离是，则这点在（填写“圆内”或“圆上”或“圆外”）．【答案】圆外【分析】根据即可得到点在圆外．【解析】解：∵，∴点在圆外．故答案为：圆外【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，当时，点在圆外，当时，点在圆上，当时，点在圆内，能熟记点和圆的位置关系的内容是解题的关键．12．学校组织秋游，安排给九年级3辆车，小明和小慧都可以从这3辆车中任选一辆搭乘．则小明和小慧同车的概率为．【答案】【分析】列举出所有情况，看在同一辆车的情况数占总情况数的多少即可．【解析】解：列表如下三辆车分别用1，2，3表示：123123所有等可能的情况有9种，其中小明和小慧同车的情况有3种，则，故答案为：．【点睛】此题考查了利用列表法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，得到在同一辆车的情况数是解决本题的关键．13．抛物线y=a(x+1)(x-3)(a≠0)的对称轴是直线【答案】x=1．【解析】试题解析：y=a（x+1）（x-3）=ax2-2ax-3a由公式x=-得，抛物线的对称轴为x=1．考点：二次函数的性质．14．如图，抛物线与直线的交点为，．当时，x的取值范围．【答案】或/或【分析】根据图像即可得出时，抛物线的图像在直线的上方，即可得出x的取值范围．【解析】如图所示，抛物线与直线的交点为，，∴当时，或．故答案为：或．【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，正确解读函数图象是解题关键．15．如图，一张扇形纸片OAB，，，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O重合，折痕为CD，则图中未重叠部分（即阴影部分）的面积为．【答案】【分析】根据阴影部分的面积等于S扇形OBD面积减去S弓形OD面积计算即可．【解析】解：由折叠可知，S弓形AD＝S弓形OD，DA＝DO，∵OA＝OD，∴AD＝OD＝OA，∴△AOD为等边三角形，∴∠AOD＝60°，∠DOB＝60°，∵AD＝OD＝OA＝6，∴CD＝3，∴S弓形AD＝S扇形ADO﹣S△ADO6×36π﹣9，∴S弓形OD＝6π﹣9，阴影部分的面积＝S扇形BDO﹣S弓形OD（6π﹣9，故答案为：．【点睛】本题考查了扇形面积与等边三角形的性质，熟练运用扇形公式是解题的关键．16．如图，是以为圆心，半径为4的圆的两条弦，，且点在内.点是劣弧上的一个动点，点分别是的中点.则的长度的最大值为.【答案】【分析】连接OC，BD，OA，AC，过点O作OH⊥CA于点H，利用圆周角定理可及垂径定理可得到∠AOC的度数，同时可证得CH=AH，再利用勾股定理求出AH的长，从而可得到AC的长，当BD时直径时，PN的值最大；再利用三角形的中位线定理可求出MN，PN的长，然后可得到PN+MN的最大值．【解析】解：连接OC，BD，OA，AC，过点O作OH⊥CA于点H，∵∠AOC=2∠ABC=2×60°=120°，∵OA=OC，OH⊥AC，∴CH=AH，∠COH=∠AOH=60°，

∴∠HAO=30°∴OH=OA=×4=2，在Rt△AOH中，AH2+OH2=AO2∴；∴当BD时直径时，PN的值最大，∵点P，M，N分别是BC，AD，CD的中点，∴MN和PN分别是△ADC和△BCD的中位线，∴∴.故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，三角形的中位线定理，熟练的掌握这些定理是解题的关键；三、解答题17．从3名男生和2名女生中随机抽取2022年杭州亚运会志愿者．求下列事件的概率：（1）随机抽取1名，恰好是女生；（2）（用列表法或树状图表示）随机抽取2名，恰好是1名男生和1名女生．【答案】（1）；（2）树形图见解析，．【分析】（1）根据题意及概率可直接进行求解；（2）画出树状图或列表，然后根据题意直接求解概率即可．【解析】解：（1）5名学生中有2名女生，所以抽取1名，恰好是女生的概率为；（2）由树形图可得出：共有20种情况，恰好是1名男生和1名女生的情况数有12种，所以恰好是1名男生和1名女生概率为．【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握用树状图及列表法求概率是解题的关键．18．如图，在中，点B的坐标是，点A的坐标是．(1)画出将向下平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度后的；(2)画出将绕点O逆时针旋转后的；(3)求的面积．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)6【分析】（1）根据题意作出平移后的，即可；（2）根据题意作出旋转后的，即可；（3）利用公式计算即可．【解析】（1）解：如图，即为所求；（2）解：如图，即为所求；（3）由图可知，∴．【点睛】本题考查坐标变换——平移与旋转变换，掌握平移与旋转的性质是解题的关键．19．如图，已知⊙O的弦AB垂直平分半径OC，连接AO并延长交⊙O于点E，连接DE，若AB＝4，请完成下列计算（1）求⊙O的半径长；（2）求DE的长．【答案】（1）4；（2）【分析】首先连接BE，由⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB＝，根据垂径定理可求得AD＝BD，然后设OA＝x，利用勾股定理，则可求得半径的长，继而利用三角形中位线的性质，求得BE的长，又由AE是直径，可得∠B＝90°，继而求得答案．【解析】解：（1）连接BE，∵⊙O的半径OC⊥弦AB于点D，AB＝，∴AD＝BD＝，设OA＝x，∵弦AB垂直平分半径OC，∴OD＝x，在Rt△AOD中，AD2+OD2＝OA2，∴2+＝x2，解得：x＝4，即⊙O的半径长是4；（2）由（1）∴OA＝OE＝4，OD＝2，∵AD＝BD∴BE＝2OD＝4，∵AE是直径，∴∠B＝90°，∴DE＝【点睛】本题考查圆的综合问题，解题的关键掌握垂径定理，还涉及到勾股定理和三角形中位线定理，综合运用所学知识．20．在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似的看作抛物线．如图，正在甩绳的甲，乙两名学生拿绳的手间距为4米，距地面均为1米；学生丙的身高是米，距甲拿绳的手水平距离1米，绳子甩到最高处时，刚好通过他的头顶．(1)当绳子甩到最高时，学生丁从距甲拿绳的手米处进入游戏，恰好通过，根据以上信息试求学生丁的身高？(2)若现有一身高为米的同学也想参加这个活动，请问他能通过跳绳吗？若能，则他应离甲多远的地方进入？若不能，请说明理由？【答案】(1)丁同学的身高为(2)该同学不能通过跳绳，理由见解析【分析】（1）设丙所在竖直方向为y轴，水平地面为x轴，则甲所在位置对应的坐标为，丙所在位置对应的坐标为，乙所在位置对应的坐标为，再利用待定系数法求出该抛物线的解析式，即可求解；（2）把抛物线的解析式化为顶点式，可得到顶点坐标，即可求解．【解析】（1）解∶设丙所在竖直方向为y轴，水平地面为x轴，则甲所在位置对应的坐标为，丙所在位置对应的坐标为，乙所在位置对应的坐标为，设该抛物线的解析式，∴，解得：，∴该抛物线的解析式，∵丁头顶的横坐标为，∴，即丁同学的身高为；（2）解∶，∴顶点坐标为：，∵，∴该同学不能通过跳绳．【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确建立平面直角坐标系，求出函数解析式是解题的关键．21．如图，已知是的内接三角形，点是弧的中点，过点作，交延长线于点，连接．(1)求证：；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)的长为7【分析】（1）连接，根据圆周角定理即可证明结论；（2）过点作于点，证明RtRt（HL），可得，根据点是弧的中点，可得，所以，然后证明RtRt（HL），即可解决问题．【解析】（1）证明：如图，连接，，点是弧的中点，，，，；（2）解：如图，过点作于点，，，在Rt和Rt中，，RtRt（HL），，点是弧的中点，，，在Rt和Rt中，，RtRt（HL），，．【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到RtRt．22．问题背景：如图①，在四边形ADBC中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，探究线段AC、BC、CD之间的数量关系.小吴同学探究此问题的思路是：将ΔBCD绕点D逆时针旋转90°到ΔAED处，点B、C分别落在点A、E处（如图②），易证点C、A、E在同一条直线上，并且ΔCDE是等腰直角三角形，所以CE＝CD，从而得出结论：AC+BC＝CD．

图①图②

图③

图④

简单应用：（1）在图①中，若AC＝，BC＝2，则CD＝.（2）如图③，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，弧AD＝弧BD，若AB＝13，BC＝12，求CD的长.拓展延伸：（3）如图④，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，若AC＝m，BC＝n（m<n），求CD的长（用含m，n的代数式表示）.【答案】(1)3；(2)CD=；(3)CD=.【解析】试题分析：（1）由题意可知：AC+BC=CD，所以将AC与BC的长度代入即可得出CD的长度；（2）连接AC、BD、AD即可将问题转化为第（1）问的问题，利用题目所给出的证明思路即可求出CD的长度；（3）以AB为直径作⊙O，连接OD并延长交⊙O于点D1，由（2）问题可知：AC+BC=CD1；又因为CD1=D1D，所以利用勾股定理即可求出CD的长度.试题解析：(1)由题意知：AC+BC=CD，∴+2=CD，∴CD=3；(2)如图3，连接AC、BD、AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠ACB=90∘，∵ADˆ=BDˆ，∴AD=BD，∵AB=13，BC=12，∴由勾股定理得：AC=5，由图1得：AC+BC=CD，5+12=CD，∴CD=.(3)解法一：以AB为直径作⊙O,连接DO并延长交⊙O于点D1，连接D1A、D1B、D1C、CD,如图4,由(2)得：AC+BC=D1C，∴D1C=2，∵D1D是⊙O的直径，∴∠D1CD=90∘，∵AC=m，BC=n，∴由勾股定理可求得：AB2=m2+n2，∴D1D2=AB2=m2+n2，∵D1C2+DC2=D1D2，∴CD2=m2+n2−=,∵m<n，∴CD=；解法二：如图5,∵∠ACB=∠DB=90∘，∴A、B.C.D在以AB为直径的圆上，∴∠DAC=∠DB