2023-2024年新高考数学一轮复习培优教案10.3《随机事件的概率、古典概型》 (原卷版)

页第三节随机事件的概率、古典概型核心素养立意下的命题导向1.结合随机事件发生的不确定性和频率的稳定性实验，考查对概率意义及基本性质的理解，凸显数据分析的核心素养．2．结合概率的意义及事件的概念，考查事件的关系及运算，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．3．理解古典概型及其概率计算公式，培养数学运算的核心素养．4．结合古典概型的概率公式及基本事件的概念，考查古典概型的概率计算公式，凸显数据分析、数学运算的核心素养．[理清主干知识]1．事件的分类确定事件必然事件在条件S下，一定会发生的事件叫相对于条件S的必然事件不可能事件在条件S下，一定不会发生的事件叫相对于条件S的不可能事件随机事件在条件S下，可能发生也可能不发生的事件叫做相对于条件S的随机事件2．频率与概率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)为事件A出现的频率．(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A发生的概率，简称为A的概率．3．事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)相等关系若B⊇A且A⊇BA＝B并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥A∩B＝∅对立事件若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件A∩B＝∅，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝14．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率为eq\a\vs4\al(1).(3)不可能事件的概率为eq\a\vs4\al(0).(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，P(A∪B)＝eq\a\vs4\al(1)，P(A)＝1﹣P(B)．5．基本事件的特点(1)任何两个基本事件都是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．6．古典概型(1)古典概型的特点①有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．(2)古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(A包含的基本事件的个数,基本事件的总数).[澄清盲点误点]一、关键点练明1．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A．至多有一次中靶B．两次都中靶C．只有一次中靶D．两次都不中靶2．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为()A．0.3B．0.4C．0.6D．0.73．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于()A.eq\f(1,18)B．eq\f(1,9)C.eq\f(1,6)D．eq\f(1,12)二、易错点练清1．袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球．在上述事件中，是互斥事件但不是对立事件的为()A．①B．②C．③D．④2．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是()A.eq\f(1,6)B．eq\f(1,4)C.eq\f(1,3)D．eq\f(1,2)3．给出下列三个命题，其中正确命题有________个．①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是eq\f(3,7)；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．考点一随机事件的频率和概率[典例]某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．[方法技巧]1．概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值．2．随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．[针对训练]电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率．(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率．(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)考点二互斥事件、对立事件的概率[典例]一盒中装有大小和质地均相同的12只小球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出的小球是红球或黑球的概率；(2)取出的小球是红球或黑球或白球的概率．[方法技巧]复杂的互斥事件的概率的两种求法直接法第一步，根据题意将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和；第二步，运用互斥事件的概率求和公式计算概率间接法第一步，求事件的对立事件的概率；第二步，运用公式P(A)＝1﹣P(eq\x\to(A))求解．特别是含有“至多”“至少”的题目，用间接法就显得比较简便[针对训练]经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排队等候的概率；(2)至少3人排队等候的概率．考点三古典概型考法(一)简单的古典概型[例1](1)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是()A.eq\f(1,12)B．eq\f(1,14)C.eq\f(1,15)D．eq\f(1,18)(2)设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为()A.eq\f(1,5)B．eq\f(2,5)C.eq\f(1,2)D．eq\f(4,5)[方法技巧]求古典概型概率的3步骤考法(二)古典概型与其他知识的交汇[例2](1)已知向量a＝(x，y)，b＝(1，﹣2)，从6张大小相同分别标有号码1,2,3,4,5,6的卡片中，有放回地抽取两张，x，y分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足a·b＞0的概率是()A.eq\f(1,12)B．eq\f(3,4)C.eq\f(1,5)D．eq\f(1,6)(2)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax＋by＝0与圆(x﹣2)2＋y2＝2有公共点的概率为________．[方法技巧]求解古典概型与其他知识交汇问题的思路解决古典概型与其他知识交汇问题，其关键是将平面向量、直线与圆、函数的单调性及方程的根情况转化为概率模型，再按照求古典概型的步骤求解．[针对训练]1．在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为()A.eq\f(1,6)B．eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D．eq\f(2,3)2．从集合A＝{﹣2，﹣1,2}中随机抽取一个数记为a，从集合B＝{﹣1,1,3}中随机抽取一个数记为b，则直线ax﹣y＋b＝0不经过第四象限的概率为()A.eq\f(2,9)B．eq\f(1,3)C.eq\f(4,9)D．eq\f(1,4)3．在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用xn表示编号为n(n＝1,2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：编号n12345成绩xn7076727072(1)求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s.(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率．创新考查方式——领悟高考新动向1．食物链亦称“营养链”，是指生态系统中各种生物为维持其本身的生命活动，必须以其他生物为食物的这种由食物联结起来的链锁关系．这种摄食关系，实际上是太阳能从一种生物转到另一种生物的关系，也即物质能量通过食物链的方式流动和转换．如图为某个生态环境中的食物链，若从鹰、麻雀、兔、田鼠以及蝗虫中任意选取两种，则这两种生物恰好构成摄食关系的概率为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D．eq\f(2,3)2．(多选)同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1,2,3,4的正四面体一次，记事件A＝{第一个四面体向下的一面出现偶数}，事件B＝{第二个四面体向下的一面出现奇数}，事件C＝{两个四面体向下的一面同时出现奇数，或者同时出现偶数}．则下列说法正确的是()A．P(A)＝P(B)＝P(C)B．P(AB)＝P(AC)＝P(BC)C．P(ABC)＝eq\f(1,8)D．P(A)P(B)P(C)＝eq\f(1,8)3．古代人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”包括“礼、乐、射、御、书、数”．为弘扬中国传统文化，某校开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须安排在前两节、“礼”和“乐”必须分开安排的概率为________．4.中国象棋是中华文化的瑰宝，中国象棋棋盘上的“米”字形方格叫作九宫．现有一张中国象棋棋盘的示意图如图所示．若在矩形ABCD内(其中楚河汉界宽度等于每个小格的边长)随机取一点，则该点落在九宫内的概率是________．eq\a\vs4\al([课时跟踪检测])一、基础练——练手感熟练度1．在下列六个事件中，随机事件的个数为()①如果a，b都是实数，那么a＋b＝b＋a；②从分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的10张号签中任取一张，得到4号签；③没有水分，种子发芽；④某电话总机在60秒内接到至少10次呼叫；⑤在标准大气压下，水的温度达到50℃时沸腾；⑥同性电荷，相互排斥．A．2B．3C．4D．52．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160cm的概率为0.3，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175cm的概率为()A．0.2B．0.3C．0.7D．0.83．某单位安排甲去参加周一至周五的公益活动，需要从周一至周五选择三天参加活动，那么甲连续三天参加活动的概率为()A.eq\f(3,10)B．eq\f(3,20)C.eq\f(2,5)D．eq\f(1,2)4．(多选)从1～20这20个整数中随机选择一个数，设事件A表示选到的数能被2整除，事件B表示选到的数能被3整除，则对下列事件概率描述正确的是()A．P(A)＝eq\f(1,2)B．P(A∩B)＝eq\f(3,20)C．P(A∪B)＝eq\f(9,20)D．P(eq\x\to(A)∩eq\x\to(B))＝eq\f(7,20)5．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的值的范围是3.1415926<π<3.1415927.为纪念祖冲之在圆周率上的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们从小数点后的7位数字1,4,1,5,9,2,6中随机选取2位数字，整数部分3不变，那么得到的数大于3.14的概率为()A.eq\f(28,31)B．eq\f(19,21)C.eq\f(22,31)D．eq\f(17,21)二、综合练——练思维敏锐度1．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A．62%B．56%C．46%D．42%2．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是()A.eq\f(5,16)B．eq\f(11,32)C.eq\f(21,32)D．eq\f(11,16)3．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为eq\f(1,7)，都是白子的概率为eq\f(12,35).则从中任意取出2粒恰好是同一颜色的概率为()A.eq\f(1,7)B．eq\f(12,35)C.eq\f(17,35)D．14．有3个不相识的人某天各自乘同一列火车外出，假设火车有10节车厢，那么至少有2人在同一节车厢的概率为()A.eq\f(29,200)B．eq\f(7,25)C.eq\f(29,144)D．eq\f(7,18)5．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为()A.eq\f(1,5)B．eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D．eq\f(4,5)6.如图，《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院．该作品简介：院角的枣树结实累累，小孩群来攀扯，枝丫不停晃动，粒粒枣子摇落满地，有的牵起衣角，有的捧着盘子拾取，又玩又吃，一片兴高采烈之情跃然于绢素之上．甲、乙、丙、丁四人想根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿该图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶四个动作，四人每人模仿一个动作．若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作，则甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”的概率是()A.eq\f(3,4)B．eq\f(7,12)C.eq\f(1,2)D．eq\f(5,12)7．著名的“3N＋1猜想”是指对于每一个正整数n，若n是偶数，则让它变成eq\f(n,2)；若n是奇数，则让它变成3n＋1.如此循环，最终都会变成1.若数字5,6,7,8,9按照以上猜想进行变换，则变换次数为奇数的概率为()A.eq\f(1,5)B．eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D．eq\f(4,5)8．(多选)已知m∈{1,2,3,4}，n∈{2,3,6,8}，设向量p＝(m，n)，且a＝(3,6)，b＝(2