吉林省长春市榆树市第一高级中学2023-2024学年数学高一上期末统考试题含解析

吉林省长春市榆树市第一高级中学2023-2024学年数学高一上期末统考试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．甲、乙两位同学解答一道题：“已知，，求的值.”甲同学解答过程如下：解：由，得.因为，所以.所以.乙同学解答过程如下：解：因为，所以.则在上述两种解答过程中（）A.甲同学解答正确，乙同学解答不正确 B.乙同学解答正确，甲同学解答不正确C.甲、乙两同学解答都正确 D.甲、乙两同学解答都不正确2．已知,且在区间有最大值,无最小值,则＝()A B.C. D.3．下列四个函数中，在上为增函数的是（）A. B.C. D.4．函数A.是奇函数且在区间上单调递增B.是奇函数且在区间上单调递减C.是偶函数且在区间上单调递增D.是偶函数且在区间上单调递减5．函数在单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是A. B.C. D.6．一个多面体的三视图分别为正方形、等腰三角形和矩形，如图所示，则该多面体的体积为A.24cm3 B.48cm3C.32cm3 D.96cm37．已知幂函数在上单调递减，则m的值为（）A.0 B.1C.0或1 D.8．平行四边形中，，，，点满足，则A.1 B.C.4 D.9．高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为：设,用表示不超过x的最大整数,则称为高斯函数例如：,,已知函数,则函数的值域为（）A. B.C.1, D.1,2,10．若函数取最小值时，则（）A. B.C. D.11．在空间直角坐标系中，点在轴上，且点到点与点的距离相等，则点坐标为（）A. B.C. D.12．已知，则（）A. B.7C. D.1二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．已知点在直线上，则的最小值为______14．已知向量,其中，若，则的值为_________.15．已知直线过两直线和的交点，且原点到该直线的距离为，则该直线的方程为_____.16．函数的单调递减区间为_______________.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知函数（1）判断的奇偶性，并加以证明；（2）求函数的值域18．已知直线（1）求直线的斜率；（2）若直线m与平行，且过点，求m方程.19．已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.（1）求的解析式与单调递减区间；（2）已知在时，求方程的所有根的和.20．已知函数，（且．）（1）求的定义域，并判断函数的奇偶性；（2）设，对于，恒成立，求实数m的取值范围21．已知集合，（1）若，求实数a，b满足的条件；（2）若，求实数m的取值范围22．已知函数（1）求的值域；（2）讨论函数零点的个数.

参考答案一、选择题（本大题共12小题，共60分）1、D【解析】分别利用甲乙两位同学的解题方法解题，从而可得出答案.【详解】解：对于甲同学，由，得，因为因为，所以，所以，故甲同学解答过程错误；对于乙同学，因为，所以，故乙同学解答过程错误.故选：D.2、C【解析】结合题中所给函数的解析式可得：直线为的一条对称轴，∴，∴，又，∴当k=1时,.本题选择C选项.3、C【解析】A.利用一次函数的性质判断；B.利用二次函数的性质判断；C.利用反比例函数的性质判断；D.由，利用一次函数的性质判断；【详解】A.由一次函数的性质知：在上为减函数，故错误；B.由二次函数的性质知：在递减，在上递增，故错误；C.由反比例函数的性质知：在上递增，在递增，则在上为增函数，故正确；D.由知：函数在上为减函数，故错误；故选：C【点睛】本题主要考查一次函数，二次函数和反比例函数的单调性，属于基础题.4、A【解析】由可知是奇函数，排除，，且，由可知错误，故选5、D【解析】是奇函数，故；又是增函数，，即则有，解得，故选D.【点睛】解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为，再利用单调性继续转化为，从而求得正解.6、B【解析】由三视图可知该几何体是一个横放的直三棱柱,利用所给的数据和直三棱柱的体积公式即可求得体积.【详解】由三视图可知该几何体是一个横放的直三棱柱,底面为等腰三角形,底边长为,底面三角形高为,所以其体积为:.故选:B【点睛】本题考查三视图及几何体体积计算,认识几何体的几何特征是解题的关键,属于基础题.7、A【解析】根据幂函数得的定义，求得或，结合幂函数的性质，即可求解.【详解】由题意，幂函数，可得，解得或，当时，可得，可得在上单调递减，符合题意；当时，可得，可得在上无单调性，不符合题意，综上可得，实数的值为.故选：A.8、B【解析】选取，为基向量，将，用基向量表示后，再利用平面向量数量积的运算法则求解数量积.【详解】，，，故选B【点睛】本题考查了平面向量的运算法则以及向量数量积的性质及其运算，属中档题．向量的运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）.9、C【解析】由分式函数值域的求法得：,又,所以,由高斯函数定义的理解得：函数的值域为,得解【详解】解：因为,所以,又,所以,由高斯函数的定义可得：函数的值域为,故选C【点睛】本题考查了分式函数值域的求法及对新定义的理解,属中档题10、B【解析】利用辅助角公式化简整理，得到辅助角与的关系，利用三角函数的图像和性质分析函数的最值，计算正弦值即可.【详解】，其中，因为当时取得最小值，所以，故.故选：B.11、B【解析】先由题意设点的坐标为，根据空间中的两点间距离公式，列出等式，求出，即可得出结果.【详解】因为点在轴上，所以可设点的坐标为，依题意，得，解得，则点的坐标为故选：B.12、A【解析】利用表示，代入求值.【详解】，即，.故选：A二、填空题（本大题共4小题，共20分）13、2【解析】由点在直线上得上，且表示点与原点的距离∴的最小值为原点到直线的距离，即∴的最小值为2故答案为2点睛：本题考查了数学的化归与转换能力，首先要知道一些式子的几何意义，比如本题表示点和原点的两点间距离，所以本题转化为已知直线上的点到定点的距离的最小值，即定点到直线的距离最小.14、4【解析】利用向量共线定理即可得出【详解】∵∥，∴＝8，解得，其中，故答案为【点睛】本题考查了向量共线定理，考查了向量的坐标运算，属于基础题15、或【解析】先求两直线和的交点，再分类讨论，先分析所求直线斜率不存在时是否符合题意，再分析直线斜率存在时，设斜率为，再由原点到该直线的距离为，求出，得到答案.【详解】由和，得，即交点坐标为，（1）当所求直线斜率不存在时，直线方程为，此时原点到直线的距离为，符合题意；（2）当所求直线斜率存在时，设过该点的直线方程为，化为一般式得，由原点到直线的距离为，则，解得，得所求直线的方程为.综上可得，所求直线的方程为或故答案为：或【点睛】本题考查了求两直线的交点坐标，由点到直线的距离求参，还考查了对直线的斜率是否存在分类讨论的思想，属于中档题.三、16、【解析】由题得，利用正切函数的单调区间列出不等式，解之即得.【详解】由题意可知，则要求函数的单调递减区间只需求的单调递增区间，由得，所以函数的单调递减区间为.故答案为：.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、（1）是奇函数；证明见解析（2）【解析】（1）首先确定定义域，根据奇偶性定义可得结论；（2）令，可求得的范围，进而可得的值域.【小问1详解】由得：，定义域为，关于原点对称；，，为奇函数；【小问2详解】令，且，，或，或，的值域为.18、（1）；（2）.【解析】（1）将直线变形为斜截式即可得斜率；（2）由平行可得斜率，再由点斜式可得结果.【详解】（1）由，可得，所以斜率为；（2）由直线m与平行，且过点，可得m的方程为，整理得：.19、（1），，（2）【解析】（1）将函数变形为，由函数的周期及奇偶性可求解；（2）解方程得或，即或，利用正弦函数的性质可求解.【小问1详解】图象的相邻两对称轴间的距离为，的最小正周期为，即可得，又为奇函数，则，，又，，故的解析式为，令，得函数的递减区间为，.【小问2详解】，，，方程可化为，解得或，即或当时，或或解得或或当时，，所以综上知，在时，方程的所有根的和为20、（1）定义域为；为奇函数；（2）【解析】（1）由函数的定义域满足，可得其定义域，由可判断其奇偶性.(2)先由对数型函数的定义域可得，当时，由对数函数的单调性可得在上恒成立，即在上恒成立，即可得出答案.【详解】（1）由题意，函数，由，可得或，即定义域为；由，即有，可得为奇函数；（2）对于，恒成立，由，则，又，则由，即在上恒成立.由,即在上恒成立.由，可得时，y取得最小值8，则，因此可得，时，的取值范围是：【点睛】关键点睛：本题考查对数型函数的定义域和奇偶性的判断，不等式恒成立求参数问题，解答本题的关键是由对数型函数的定义域则满足，可得，然后将问题化为由,即在上恒成立，属于中档题.21、（1），;（2）.【解析】（1）直接利用并集结果可得，;（2）根据可得，再对集合的解集情况进行分类讨论，即可得答案；【详解】解：（1）；，∴，;（2）,∴分情况讨论①，即时得；②若，即，中只有一个元素1符合题意；③若，即时得，∴∴综上【点睛】由集合间的基本关系求参数时，注意对可变的集合,分空集和不为空集两种情况.22、（1）；（2）答案见解析.【解析】（1）分和，分别求出对应函数的值域，进而可求出结果；（2）作出函数的图象，数形结合即可分析出结果.【小问1详解】当时，，对称轴为，开口向上，则在上单调递减，在上单调递增，所以，即值域为；当时，，则在上单调递减，且，