2023-2024年新高考数学一轮复习培优教案5.1《平面向量的概念及线性运算》 (原卷版)

页第五章平面向量、复数第一节平面向量的概念及线性运算核心素养立意下的命题导向1.结合平面向量的有关概念，考查对向量特性的理解，凸显数学抽象的核心素养．2．结合向量的线性运算，考查用向量刻画平面图形的能力，凸显逻辑推理的核心素养．3．结合向量的线性运算的几何意义，考查数形结合的思想，凸显直观想象的核心素养．[理清主干知识]1．向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量，可在平面内自由平移零向量长度为eq\a\vs4\al(0)的向量记作0，其方向是任意的单位向量长度等于eq\a\vs4\al(1)个单位的向量非零向量a的单位向量为±eq\f(a,|a|)平行向量方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量)0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不相等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.[澄清盲点误点]一、关键点练明1．下列说法正确的是()A．方向相同的向量叫做相等向量B．共线向量是在同一条直线上的向量C．零向量的长度等于0D．eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(CD,\s\up7(→))就是eq\o(AB,\s\up7(→))所在的直线平行于eq\o(CD,\s\up7(→))所在的直线2．(多选)下列各式中结果为零向量的为()A．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→))B．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(MB,\s\up7(→))＋eq\o(BO,\s\up7(→))＋eq\o(OM,\s\up7(→))C．eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(BO,\s\up7(→))＋eq\o(CO,\s\up7(→))D．eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))－eq\o(CD,\s\up7(→))3．设a与b是两个不共线向量，且向量a＋xb与－(b－2a)共线，则x＝________.二、易错点练清1．(多选)下列命题中，正确的是()A．向量eq\o(AB,\s\up7(→))的长度与向量eq\o(BA,\s\up7(→))的长度相等B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反C．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同D．零向量与任意数的乘积都为零2．若四边形ABCD满足eq\o(AD,\s\up7(→))∥eq\o(BC,\s\up7(→))且|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(DC,\s\up7(→))|，则四边形ABCD的形状是______________．考点一平面向量的基本概念[典例](1)已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是()A．a＋b＝0B．a⊥bC．a与b共线反向D．存在正实数λ，使a＝λb(2)下列说法中，正确的是()A．a与b共线，b与c共线，则a与c共线B．任意两个相等的非零向量的始点与终点总是一平行四边形的四个顶点C．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量D．有相同起点的两个非零向量不平行[方法技巧]解决向量问题的关键点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．(3)相等向量不仅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，但平行向量未必是相等向量．(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的平移混为一谈．(5)非零向量a与eq\f(a,|a|)的关系：eq\f(a,|a|)是a方向上的单位向量，因此单位向量eq\f(a,|a|)与a方向相同．(6)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能．但向量的模是非负实数，可以比较大小．(7)在解决向量的概念问题时，要注意两点：①不仅要考虑向量的大小，还要考虑向量的方向；②考虑零向量是否也满足条件．[针对训练]1．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，一定能使eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)＝0成立的是()A．a＝2bB．a∥bC．a＝－eq\f(1,3)bD．a⊥b2．设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0，假命题的个数是()A．0B．1C．2D．3考点二平面向量的线性运算考法(一)平面向量的线性运算[例1](1)若D为△ABC的边AB的中点，则eq\o(CB,\s\up7(→))＝()A．2eq\o(CD,\s\up7(→))－eq\o(CA,\s\up7(→))B．2eq\o(CA,\s\up7(→))－eq\o(CD,\s\up7(→))C．2eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→))D．2eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))(2)如图所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(NC,\s\up7(→))，BN与CM相交于点E，设eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b，则eq\o(AE,\s\up7(→))等于()A.eq\f(2,5)a＋eq\f(1,5)bB．eq\f(1,5)a＋eq\f(2,5)bC.eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)bD．eq\f(2,5)a＋eq\f(4,5)b[方法技巧]向量线性运算的解题策略(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．(3)用基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．考法(二)利用向量的线性运算求参数[例2]如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且交其对角线AC于K，其中，eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))，eq\o(AK,\s\up7(→))＝λeq\o(AC,\s\up7(→))，则λ的值为()A.eq\f(2,9)B．eq\f(2,7)C.eq\f(2,5)D．eq\f(2,3)[方法技巧]利用向量的线性运算求参数的方法与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量线性运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数．[针对训练]1．设M是△ABC所在平面上的一点，eq\o(MB,\s\up7(→))＋eq\f(3,2)eq\o(MA,\s\up7(→))＋eq\f(3,2)eq\o(MC,\s\up7(→))＝0，D是AC的中点，teq\o(MB,\s\up7(→))＝eq\o(DM,\s\up7(→))，则实数t的值为()A.eq\f(1,2)B．eq\f(1,3)C．2D．12.(多选)如图所示，在△ABC中，D是AB的中点，下列关于向量eq\o(CD,\s\up7(→))表示不正确的是()A．eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(DB,\s\up7(→))B．eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))C．eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))D．eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up7(→))3．在正六边形ABCDEF中，对角线BD，CF相交于点P，若eq\o(AP,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AF,\s\up7(→))，则x＋y＝________.考点三共线向量定理的应用[典例](1)已知a，b是不共线的向量，eq\o(AB,\s\up7(→))＝λa＋b，eq\o(AC,\s\up7(→))＝a＋μb(λ，μ∈R)，若A，B，C三点共线，则λ，μ的关系一定成立的是()A．λμ＝1B．λμ＝－1C．λ－μ＝－1D．λ＋μ＝2(2)设e1与e2是两个不共线向量，eq\o(AB,\s\up7(→))＝3e1＋2e2，eq\o(CB,\s\up7(→))＝ke1＋e2，eq\o(CD,\s\up7(→))＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k的值为________．[方法技巧]平面向量共线定理的3个应用证明向量共线若存在实数λ，使a＝λb，则a与非零向量b共线证明三点共线若存在实数λ，使eq\o(AB,\s\up7(→))＝λeq\o(AC,\s\up7(→))，eq\o(AB,\s\up7(→))与eq\o(AC,\s\up7(→))有公共点A，则A，B，C三点共线求参数的值利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值[针对训练]1．已知向量a＝(1,3)，b＝(m,6)，若a∥b，则m＝________.2．设两个非零向量a与b不共线．(1)若eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up7(→))＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．一、创新思维角度——融会贯通学妙法结论“eq\o(OP,\s\up7(→))＝meq\o(OA,\s\up7(→))＋neq\o(OB,\s\up7(→))(m，n∈R)，m＋n＝1⇔A，P，B三点共线”的妙用．1.如图，在△ABC中，eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))，P是BN上的一点，若eq\o(AP,\s\up7(→))＝meq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up7(→))，则实数m的值为()A.eq\f(9,11)B．eq\f(5,11)C.eq\f(3,11)D．eq\f(2,11)2．A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合)，若eq\o(OC,\s\up7(→))＝λeq\o(OA,\s\up7(→))＋μeq\o(OB,\s\up7(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是()A．(0,1)B．(1，＋∞)C．(1，eq\r(2)]D．(－1,0)二、创新考查方式——领悟高考新动向1．已知平面上点O与线段AB，若线段AB上有n(n＞1)个异于端点A，B的互异动点P1，P2，…，Pn，且满足eq\o(OPK,\s\up7(→))＝λKeq\o(OA,\s\up7(→))＋μKeq\o(OB,\s\up7(→))，λK，μK∈R,1≤K≤n，K∈Z，则(λ1λ2…λn)·(μ1μ2…μn)的取值范围是()A．(0，eq\f(1,2n))B．(0，eq\f(1,4n))C．(0，eq\f(1,4n)]D．[eq\f(1,4n)，＋∞)2.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的)．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF＝2AF，则()A．eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(2,13)eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\f(9,13)eq\o(AB,\s\up7(→))B．eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(2,9)eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\f(1,27)eq\o(AB,\s\up7(→))C．eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(3,13)eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\f(9,13)eq\o(AB,\s\up7(→))D．eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(2,13)eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\f(6,13)eq\o(AB,\s\up7(→))3.窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境．从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等．如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形P1P2…P8的中心，P1P8⊥x轴，现用如下方法等可能地确定点M：点M满足2eq\o(OM,\s\up7(→))＋eq\o(OPi,\s\up7(→))＋eq\o(OPj,\s\up7(→))＝0(其中1≤i，j≤8且i，j∈N*，i≠j)，则点M(异于点O)落在坐标轴上的概率为()A.eq\f(3,5)B．eq\f(3,7)C.eq\f(3,8)D．eq\f(2,7)eq\a\vs4\al([课时跟踪检测])一、基础练——练手感熟练度1．(多选)设a，b是非零向量，记a与b所成的角为θ，下列四个条件中，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充要条件是()A．a∥bB．θ＝0C．a＝2bD．θ＝π2．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则eq\o(EB,\s\up7(→))＋eq\o(FC,\s\up7(→))＝()A．eq\o(AD,\s\up7(→))B．eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))C.eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up7(→))D．eq\o(BC,\s\up7(→))3．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是()A．a与λa的方向相反B．a与λ2a的方向相同C．|－λa|≥|a|D．|－λa|≥|λ|·a4.如图，在正六边形ABCDEF中，eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(EF,\s\up7(→))＝()A．0B．eq\o(BE,\s\up7(→))C．eq\o(AD,\s\up7(→))D．eq\o(CF,\s\up7(→))5．在△ABC中，O为△ABC的重心，若eq\o(BO,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(AC,\s\up7(→))，则λ－2μ＝()A．－eq\f(1,2)B．－1C.eq\f(4,3)D．－eq\f(4,3)二、综合练——练思维敏锐度1．已知两个非零向量a，b互相垂直，若向量m＝4a＋5b与n＝2a＋λb共线，则实数λ的值为()A．5B．3C.eq\f(5,2)D．22．设平面向量a，b不共线，若eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋5b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝－2a＋8b，eq\o(CD,\s\up7(→))＝3(a－b)，则()A．A，B，D三点共线B．A，B，C三点共线C．B，C，D三点共线D．A，C，D三点共线3．已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2eq\o(OP,\s\up7(→))＝2eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(BA,\s\up7(→))，则()A．点P在线段AB上B．点P在线段AB的反向延长线上C．点P在线段AB的延长线上D．点P不在直线AB上4．(多选)在△ABC中，点E，F分别是边BC和AC的中点，P是AE与BF的交点，则有()A．eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))B．eq\o(AB,\s\up7(→))＝2eq\o(EF,\s\up7(→))C．eq\o(CP,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up7(→))D．eq\o(CP,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up7(→))5．设向量a，b不共线，eq\o(AB,\s\up7(→))＝2a＋pb，eq\o(BC,\s\up7(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up7(→))＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为()A．－2B．－1C．1D．26．(多选)已知向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝(1，－3)，eq\o(OB,\s\up7(→))＝(－2,1)，eq\o(OC,\s\up7(→))＝(t＋3，t－8)，若点A，B，C能构成三角形，则实数t可以为()A．－2B．eq\f(1,2)C．1D．－17．已知点O为△ABC的外接圆的圆心，且eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(CO,\s\up7(→))＝0，则△ABC的内角A等于()A．30°B．45°C．60°D．90°8．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为()A．1B．－eq\f(1,2)C．1或－eq\f(1,2)D．－1或－eq\f(1,2)9．在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，且eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))，则eq\f(S△BCD,S△ABD)＝()A.eq