湖南省长沙市湘一芙蓉中学2024届高一上数学期末监测试题含解析

湖南省长沙市湘一芙蓉中学2024届高一上数学期末监测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）1．在①；②；③；④上述四个关系中，错误的个数是（）A.1个 B.2个C.3个 D.4个2．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（）A.甲比乙先出发 B.乙比甲跑的路程多C.甲比乙先到达终点 D.甲、乙两人的速度相同3．已知，，则直线与直线的位置关系是（）A.平行 B.相交或异面C.异面 D.平行或异面4．设函数,A.3 B.6C.9 D.125．函数图象大致是（）A. B.C. D.6．已知函数，若存在四个互不相等的实数根，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.7．若，则的值为A. B.C.2 D.38．垂直于直线且与圆相切的直线的方程是AB.C.D.9．已知，且，则（）A. B.C. D.10．若函数的最大值为，最小值为－，则的值为A. B.2C. D.411．，，则p是q的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件12．函数的图像为（）A. B.C. D.二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）13．已知函数，则________.14．若f(x)为偶函数，且当x≤0时，，则不等式＞的解集______.15．在中，，，，若将绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积是__________16．设偶函数的定义域为，函数在上为单调函数，则满足的所有的取值集合为______三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）17．设函数.（1）求关于的不等式的解集；（2）若是偶函数，且，，，求的取值范围.18．已知集合A＝{x|}，B＝{x||x－a|＜2}，其中a＞0且a≠1（1）当a＝2时，求A∪B及A∩B；（2）若集合C＝{x|logax＜0}且C⊆B，求a的取值范围19．已知圆M与x轴相切于点（a，0），与y轴相切于点（0，a），且圆心M在直线上.过点P（2，1）直线与圆M交于两点，点C是圆M上的动点.（1）求圆M的方程；（2）若直线AB的斜率不存在，求△ABC面积的最大值；（3）是否存在弦AB被点P平分？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，说明理由.20．已知函数为偶函数.（1）求的值；（2）求的最小值；（3）若对恒成立，求实数的取值范围.21．物联网（InternetofThings，缩写：IOT）是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络.其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境（家庭、办公、工厂）等，具有十分广阔的市场前景.现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地占地费（单位：万元），仓库到车站的距离x（单位：千米，），其中与成反比，每月库存货物费（单位：万元）与x成正比；若在距离车站9千米处建仓库，则和分别为2万元和7.2万元.（1）求出与解析式；（2）这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？最小费用是多少？22．如图，摩天轮的半径为，点距地面的高度为，摩天轮按逆时针方向作匀速转动，且每转一圈，摩天轮上点的起始位置在最高点.（Ⅰ）试确定点距离地面的高度（单位：）关于转动时间（单位：）的函数关系式；（Ⅱ）摩天轮转动一圈内，有多长时间点距离地面超过？

参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）1、B【解析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系以及表示符号，及规定空集是任何非空集合的真子集，即可找出错误的个数【详解】解：“”表示集合与集合间的关系，所以①错误；集合中元素是数，不是集合元素，所以②错误；根据子集的定义，{0，1，2}是自身的子集，空集是任何非空集合的真子集，所以③④正确；所表示的关系中，错误的个数是2故选：B2、C【解析】结合图像逐项求解即可.【详解】结合已知条件可知，甲乙同时出发且跑的路程都为，故AB错误；且当甲乙两人跑的路程为时，甲所用时间比乙少，故甲先到达终点且甲的速度较大，故C正确，D错误.故选：C.3、D【解析】由直线平面，直线在平面内，知，或与异面【详解】解：直线平面，直线在平面内，，或与异面，故选：D【点睛】本题考查平面的基本性质及其推论，解题时要认真审题，仔细解答4、C【解析】.故选C.5、A【解析】利用函数的奇偶性排除部分选项，再利用当x＞0时，函数值的正负确定选项即可.【详解】函数f（x）定义域为，所以函数f（x）是奇函数，排除BC；当x＞0时，，排除D故选：A6、D【解析】令，则，由题意，有两个不同的解，有两个不相等的实根，由图可知，得或，所以和各有两个解当有两个解时，则，当有两个解时，则或，综上，的取值范围是，故选D点睛：本题考查函数性质的应用．本题为嵌套函数的应用，一般的，我们应用整体思想解决问题，所以令，则，由题意，有两个不同的解，有两个不相等的实根，再结合图象逐步分析，解得答案7、A【解析】利用同角三角函数的基本关系，把要求值的式子化为，即可得到答案.【详解】由题意，因为，所以，故选A【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，合理化简、运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.8、B【解析】设所求直线方程为3x+y+c=0，则d=，解得d=±10.所以所求直线方程为3x+y+10=0或3x+y－10=0.9、B【解析】利用角的关系，再结合诱导公式和同角三角函数基本关系式，即可求解.【详解】，，.故选：B10、D【解析】当时取最大值当时取最小值∴，则故选D11、B【解析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：因为，，所以由不能推出，由能推出，故是的必要不充分条件故选：B12、B【解析】首先判断函数的奇偶性，再根据函数值的特征，利用排除法判断可得；【详解】解：因为，定义域为，且，故函数为偶函数，函数图象关于轴对称，故排除A、D，当时，，所以，故排除C，故选：B二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）13、7【解析】根据题意直接求解即可【详解】解：因为，所以，故答案为：714、【解析】由已知条件分析在上的单调性，利用函数的奇偶性可得，再根据函数的单调性解不等式即可.【详解】f(x)为偶函数，且当x≤0时，单调递增，当时，函数单调递减，若＞，f(x)为偶函数，，，同时平方并化简得，解得或，即不等式＞的解集为.故答案为：【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，属于中档题.15、【解析】依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，所以OA=，OB=1所以旋转体的体积:故答案为．16、【解析】∵，又函数在上为单调函数∴=∴，或∴∴满足的所有的取值集合为故答案为三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）17、（1）当时，；当时，；当时，（2）【解析】（1）分类讨论，解含参一元二次不等式；（2）先根据是偶函数，得到，再，，转化为在上的最小值小于在上的最小值，进行求解.【小问1详解】，令，解得或当时，，的解集是；当时，，的解集是；当时，，的解集是.【小问2详解】因为是偶函数，所以，解得：.设函数，因为在上单调递增，所以.设函数.当时，在上单调递增，则，故，即，结合得：；当时，在上单调递减，则，故，即，结合得：综上，的取值范围为18、（1）A∪B＝{x|x＞0}，A∩B＝{x|2＜x＜4}；（2）{a|1＜a≤2},【解析】（1）化简集合A，B，利用并集及交集的概念运算即得；（2）分a＞1，0＜a＜1讨论，利用条件列出不等式即得.【小问1详解】∵A＝{x|2x＞4}＝{x|x＞2}，B＝{x||x－a|＜2}＝{x|a－2＜x＜a+2}，∴当a＝2时，B＝{x|0＜x＜4}，所以A∪B＝{x|x＞0}，A∩B＝{x|2＜x＜4}；【小问2详解】当a＞1时，C＝{x|logax＜0}＝{x|0＜x＜1}，因为C⊆B，所以，解得－1≤a≤2，因为a＞1，此时1＜a≤2，当0＜a＜1时，C＝{x|logax＜0}＝{x|x＞1}，此时不满足C⊆B，综上，a的取值范围为{a|1＜a≤2}19、（1）（2）（3）存在，方程为【解析】（1）根据圆与坐标轴相切表示出圆心坐标，结合已知可解；（2）注意到当点C到直线AB距离最大值为圆心到直线距离加半径，然后可解;（3）根据圆心与弦的中点的连线垂直弦，或利用点差法可得.【小问1详解】∵圆M与x轴相切于点（a，0），与y轴相切于点（0，a），∴圆M的圆心为M（a，a），半径.又圆心M在直线上，∴，解得.∴圆M的方程为：.【小问2详解】当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为，∴由，解得.∴.易知圆心M到直线AB的距离，∴点C到直线AB的最大距离为.∴△ABC面积的最大值为.【小问3详解】方法一：假设存在弦AB被点P平分，即P为AB的中点.又∵，∴.又∵直线MP的斜率为，∴直线AB的斜率为-.∴.∴存在直线AB的方程为时，弦AB被点P平分.方法二：由（2）易知当直线AB的斜率不存在时，，∴此时点P不平分AB.当直线AB的斜率存在时，，假设点P平分弦AB.∵点A、B是圆M上的点，设，.∴由点差法得.由点P是弦AB的中点，可得，∴.∴∴存在直线AB的方程为时，弦AB被点P平分.20、（1）（2）（3）【解析】（1）运用偶函数的定义和对数的运算性质，结合恒等式的性质可得所求值；（2）运用对数运算性质及均值不等式即可得到结果；（3）先证明函数单调性，化抽象不等式为具体不等式，转求函数的最值即可.【小问1详解】因为为偶函数，所以，所以，所以，所以.【小问2详解】因为，所以（当且仅当时等号成立），所以最小值为.【小问3详解】，任取且，所以，因为且，所以，所以，所以，所以，所以在上为增函数，又因为为偶函数，所以，当时，，当时，，所以，设（当且仅当时，等号成立），因为，所以等号能成立，所以，所以，所以，综上，.21、（1），（2）把仓库建在距离车站4千米处才能使两项费用之和最小，最小费用是7.2万元【解析】（1）设出与以及与x的解析式，将x=9的费用代入，求得答案;（2）列出两项费用之和的表达式，利用基本不等式求得其最小值，可得答案.【小问1详解】设，，其中，当时，，.解得，，所以，.【小问2详解】设两项费用之和为z（单位：万元）则,当且仅当，即时，“”成立，所以这家公司应该把仓库建在距离车站4千米处才能使两项费用之和最小，最小费用是7.2万元.22、（1）（2）【解析】（1）由图形知，以点O为原点，所在直线为y轴，过O且与垂直的向右的方向为x轴建立坐标系，得出点P的纵坐标，由起始位置得即可得出在时刻tmin时P点距离地面的高度的函数；（2）由（1）中的函数，令函数值大于70解不等式即可得出P点距离地面超过70m的时间【详解】（1）建立如图所示的平面直角坐标系，设是以轴正半轴为始边，（表示点的起始位置）为终边的角，由题点的起始位置在最高点知，