专题24.2垂直于弦的直径（限时满分培优训练）-【拔尖特训】2023-2024学年九年级数学上册尖子生培优必刷题（解析版）【人教版】

【拔尖特训】2023-2024学年九年级数学上册尖子生培优必刷题（人教版）专题24.2垂直于弦的直径（限时满分培优训练）班级：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事项：本试卷满分100分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2023秋•鼓楼区校级月考）下列说法正确的是（）A．半圆是弧，弧也是半圆 B．长度相等的两条弧是等弧 C．平分弦的直径垂直于弦 D．直径是同一圆中最长的弦【答案】D【分析】根据垂径定理、等弧的定义及圆的有关性质判断求解即可．【解答】解：半圆是弧，弧不一定是半圆，故A不符合题意；同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故B不符合题意；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，C不符合题意；直径是同一圆中最长的弦，故D符合题意；故选：D．【点评】此题考查了垂径定理，等弧等知识，熟练掌握垂径定理、等弧的定义及圆的有关性质是解题的关键．2．（2023•南海区校级模拟）如图，线段CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，若AB长为16，OE长为6，则⊙O半径是（）​A．5 B．6 C．8 D．10【答案】D【分析】连接OA，如图，先根据垂径定理得到AE＝BE＝8，然后利用勾股定理计算出OA即可．【解答】解：连接OA，如图，∵CD⊥AB，∴AE＝BE=12AB=12在Rt△OAE中，OA=OE即⊙O半径为10．故选：D．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．3．（2023•大连模拟）如图所示，在⊙O中，直径AB＝10，弦DE⊥AB于点C，连接DO．若OC：OB＝3：5，则DE的长为（）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】根据题意求出OC，根据勾股定理求出CD，根据垂径定理计算，得到答案．【解答】解：∵AB＝10，∴OA＝OB＝5，∵OC：OB＝3：5，∴OC＝3，在Rt△OCD中，CD=OD∵DE⊥AB，∴DE＝2CD＝8，故选：D．【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．4．（2023•长沙模拟）如图，AB为⊙O的弦，点P在弦AB上，BP＝9，AP＝3，点O到AB的C距离为5，则OP长为（）A．7 B．8 C．34 D．41【答案】C【分析】过点O作OC⊥AB，垂足为点C，根据BP＝9，AP＝3，点O到AB的距离为3，得到AB＝12，AC＝BC＝6，OC＝3，从而得到PC＝AC﹣PA＝3，根据勾股定理，得OP=O【解答】解：过点O作OC⊥AB，垂足为点C，∵BP＝9，AP＝3，点O到AB的距离为5，∴AB＝12，OC＝5，∴AC＝BC＝6，∴PC＝AC﹣PA＝6﹣3＝3，∴OP=O故选：C．【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键．5．（2023•咸丰县一模）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4cm，则球的半径长是（）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm【答案】B【分析】取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF＝x，则OM＝4﹣x，MF＝2，然后在Rt△MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．【解答】解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，∴四边形CDMN是矩形，∴MN＝CD＝4，设OF＝x，则ON＝OF，∴OM＝MN﹣ON＝4﹣x，MF＝2，在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF2即：（4﹣x）2+22＝x2解得：x＝2.5故选：B．【点评】本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．6．（2022•鄞州区模拟）如图，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果MN＝3，那么BC＝（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】由于OM⊥AB，ON⊥AC，根据垂径定理得到AN＝CN，AM＝BM，则MN为△ABC的中位线，然后根据三角形中位线的性质求解．【解答】解：∵OM⊥AB，ON⊥AC，∴AN＝CN，AM＝BM，即M为AB的中点，N为AC的中点，∴MN为△ABC的中位线，∴MN=12∴BC＝2MN＝6．故选：C．【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了三角形中位线性质．7．（2022秋•沂南县期末）如图所示一个圆柱体容器内装入一些水，截面AB在圆心O下方，若⊙O的直径为26cm，水面宽AB＝24cm，则水的最大深度为（）A．5cm B．7cm C．8cm D．10cm【答案】C【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可．【解答】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：∵AB＝24cm，∴BD=12AB＝12（∵⊙O的直径为26cm，∴OB＝OC＝13（cm），在Rt△OBD中，OD=OB2-B∴CD＝OC﹣OD＝13﹣5＝8（cm），即水的最大深度为8cm，故选：C．【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．8．（2023•广西）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为（）A．20m B．28m C．35m D．40m【答案】B【分析】设主桥拱半径R，根据垂径定理得到AD=37【解答】解：由题意可知，AB＝37m，CD＝7m，设主桥拱半径为Rm，∴OD＝OC﹣CD＝（R﹣7）m，∵OC是半径，OC⊥AB，∴AD＝BD=12AB=在RtADO中，AD2+OD2＝OA2，∴（372）2+（R﹣7）2＝R2解得R=156556故选：B．【点评】本题主要考查垂径定理的应用，涉及勾股定理，解题的关键是用勾股定理列出关于R的方程解决问题．9．（2022秋•和平区校级期末）⊙O半径为5，弦AB∥CD，AB＝6，CD＝8，则AB与CD间的距离为（）A．1 B．7 C．1或7 D．3或4【答案】C【分析】过O点作OE⊥AB，E为垂足，交CD与F，连OA，OC，由AB∥CD，得到OF⊥CD，根据垂径定理得AE＝3，CF＝4，再在Rt△OAE中和在Rt△OCF中分别利用勾股定理求出OE，OF，然后讨论：当圆O点在AB、CD之间，AB与CD之间的距离＝OE+OF；当圆O点不在AB、CD之间，AB与CD之间的距离＝OE﹣OF．【解答】解：过O点作OE⊥AB，E为垂足，交CD与F，连OA，OC，如图，∵AB∥CD，∴OF⊥CD，∴AE＝BE，CF＝DF，而AB＝6，CD＝8，∴AE＝3，CF＝4，在Rt△OAE中，OA＝5，OE=OA2在Rt△OCF中，OC＝5，OF=OC2当圆O点在AB、CD之间，AB与CD之间的距离＝OE+OF＝7；当圆O点不在AB、CD之间，AB与CD之间的距离＝OE﹣OF＝1；所以AB与CD之间的距离为7或1．故选：C．【点评】本题考查了垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理以及分类讨论的思想的运用．10．（2022•宁波三模）已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC的长为（）A．25cm B．43cm C．25cm或45cm D．23cm或43cm【答案】C【分析】分两种情况，根据题意画出图形，先根据垂径定理求出AM的长，连接OA，由勾股定理求出OM的长，进而可得出结论．【解答】解：连接AC，AO，∵⊙O的直径CD＝10cm，AB⊥CD，AB＝8cm，∴AM=12AB=12×8＝4（cm），OD＝OC当C点位置如图1所示时，∵OA＝5cm，AM＝4cm，CD⊥AB，∴OM=OA2-A∴CM＝OC+OM＝5+3＝8（cm），∴AC=AM2+CM当C点位置如图2所示时，同理可得：OM＝3cm，∵OC＝5cm，∴MC＝5﹣3＝2（cm），在Rt△AMC中，AC=AM2+CM综上所述，AC的长为45cm或25cm，故选：C．【点评】本题考查的是垂径定理和勾股定理等知识，根据题意画出图形，利用垂径定理和勾股定理求解是解答此题的关键．二．填空题（共6小题）11．（2022秋•岱岳区期末）如图，在⊙O中，OC⊥AB于点C，若⊙O的半径为10，AB＝16，则OC的长为6．【答案】6．【分析】连接OA，利用垂径定理，勾股定理求解即可．【解答】解：如图，连接OA．∵OC⊥AB，∴AC＝CB=12AB＝∵OA＝10，∠ACO＝90°，∴OC=OA故答案为：6．【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．12．（2023•长沙模拟）兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，高度CD为4m．【答案】见试题解答内容【分析】根据图可知OC⊥AB，由垂径定理可知∠ADO＝90°，AD=12AB＝8，在Rt△AOD中，利用勾股定理可求OD，进而可求【解答】解：∵OC⊥AB，∴∠ADO＝90°，AD=12AB＝在Rt△AOD中，OD2＝OA2﹣AD2，∴OD=102∴CD＝10﹣6＝4（m）．故答案是4．【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键是先求出OD．13．（2023•谷城县二模）⊙O的半径为13cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm．则AB和CD之间的距离7cm或17cm．【答案】见试题解答内容【分析】作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA、OC，如图，根据平行线的性质得OF⊥CD，再利用垂径定理得到AE=12AB＝12，CF=12CD＝5，接着根据勾股定理，在Rt△OAE中计算出OE＝5，在Rt△OCF中计算出OF＝12，然后分类讨论：当圆心O在AB与CD之间时，EF＝OF+OE；当圆心O不在AB与CD之间时，EF＝【解答】解：作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA、OC，如图，∵AB∥CD，∴OF⊥CD，∴AE＝BE=12AB＝12，CF＝DF=12在Rt△OAE中，∵OA＝13，AE＝12，∴OE=OA在Rt△OCF中，∵OC＝13，CF＝5，∴OF=OC当圆心O在AB与CD之间时，EF＝OF+OE＝12+5＝17；当圆心O不在AB与CD之间时，EF＝OF﹣OE＝12﹣5＝7；即AB和CD之间的距离为7cm或17cm．故答案为7cm或17cm．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．学会运用分类讨论的思想解决数学问题．14．（2023春•乐清市月考）如图1，是某隧道的入口，它的截面如图2所示，是由APD和矩形ABCD组成，且点B，​C也在APD所在的圆上，已知AB＝4m，M是BC的中点，此时隧道的最高点P离地面BC的距离MP＝8m，则该道路的路面宽BC＝82m；在APD上，离地面相同高度的两点E，F装有两排照明灯，若点E是AP的中点，则这两排照明灯离地面的高度是（26+2）m【答案】82m、（26+2）m【分析】连接PM，作AB的垂直平分线OG，交PM于点O，交AB于点G，则点O是圆心，连接OB，可得半径，在利用勾股定理求BM即可；连接PA、OE交于点N，作AH⊥PM于点H，EQ⊥BC于点Q，交OG于点K，用勾股定理求出AP，进而可求ON，在证明△EOK≌△OPN即可．【解答】解：连接PM，作AB的垂直平分线OG，交PM于点O，交AB于点G，则点O是圆心，连接OB，∴OM＝BG=12AB＝2∵MP＝8m，∴圆的半径为8﹣2＝6m，∴BM=O∴BC＝2BM＝82m，连接PA、OE交于点N，作AH⊥PM于点H，EQ⊥BC于点Q，交OG于点K，∵MP＝8m，MH＝AB＝4m，∴PH＝8﹣4＝4m，∵AH＝BM＝42m，∴PA=AH∵E是AP的中点，∴OE垂直平分AP，∴PN=12AP＝23∴ON=OP∵EQ⊥BC，PM⊥BC，∴EQ∥PM，∴∠OEK＝∠EOP，在△EOK和△OPN中，∠OEK=∠PON∠EKO=∠ONP=90°∴△EOK≌△OPN（AAS），∴EK＝ON＝26m，∴EQ＝EK+KQ＝（26+2）m故答案为：82m、（26+2）m【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，三角形求得的判定和性质，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．15．（2022•柯桥区一模）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意思是：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝1寸，CD＝1尺，那么直径AB的长为多少寸？（注：1尺＝10寸）根据题意，该圆的直径为26寸．【答案】见试题解答内容【分析】连接OC，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE的长，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB的长．【解答】解：连接OC，∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，∴E为CD的中点，又∵CD＝10寸，∴CE＝DE=12CD＝设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，即（x﹣1）2+52＝x2，解得x＝13，∴AB＝26寸，即直径AB的长为26寸，故答案为：26．【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理；解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．16．（2022•旌阳区校级模拟）某隧道口横截面如图所示，上部分是圆弧形，下部分是矩形、已知隧道口最高点E与DC的距离EF为4米，且弧DC所在圆的半径为10米，则路面AB的宽度为16米．【答案】16．【分析】在Rt△CFO中利用勾股定理求出CF的长，再由垂径定理求出AB＝CD＝2CF即可得出答案；【解答】解：设圆弧形所在圆的圆心为O，由题意可知，点O在EF的延长线上，连接OC，∵OE⊥CD，∴∠CFO＝90°，CF＝DF，在Rt△CFO中，OC＝10，OF＝OE﹣EF＝10﹣4＝6，∴CF=OC∴AB＝CD＝2CF＝16，即路面AB的宽度为16米．故答案为：16．【点评】本题考查的是垂径定理的应用，矩形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．三．解答题（共7小题）17．（2022秋•青山湖区期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝15cm，CB＝20cm，以CA为半径的⊙C交AB于D，求AD的长．【答案】见试题解答内容【分析】先根据勾股定理求出AB的长，过C作CM⊥AB，交AB于点M，由垂径定理可知M为AD的中点，由三角形的面积可求出CM的长，在Rt△ACM中，根据勾股定理可求出AM的长，进而可得出结论．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝15，∴AB=AC过C作CM⊥AB，交AB于点M，如图所示，∵CM⊥AB，∴M为AD的中点，∵S△ABC=12AC•BC=12AB•CM，且AC＝15，BC＝20，∴CM=15×2025在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AC2＝AM2+CM2，即225＝AM2+144，解得：AM＝9，∴AD＝2AM＝18．【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．18．（2022秋•建湖县校级月考）如图，AB、CD是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为M、N，且∠AMN＝∠CNM．（1）OM与ON相等吗？为什么？（2）判断AB与CD是否相等，并说明理由．【答案】见试题解答内容【分析】（1）首先根据等角的余角相等可得∠OMN＝∠ONM，再由等角对等边可得ON＝OM；（2）连接OA，OC，先根据垂径定理得出AM=12AB，CN=12CD，再由OM＝ON，OA＝OC可知Rt△AOM≌Rt△CON，故【解答】解：（1）MO＝NO，∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴∠AMO＝∠CNO＝90°，∵∠AMN＝∠CNM，∴∠OMN＝∠ONM，∴MO＝NO；（2）连接OA，OC，∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴AM=12AB，CN=12CD，∠AMO＝∠在Rt△AOM与Rt△CON中，MO=NOAO=CO∴Rt△AOM≌Rt△CON（HL），∴AM＝CN，∴AB＝CD．【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．19．（2022秋•九龙坡区期末）如图是正在修建的某大门上半部分的截面，其为圆弧型，跨度CD（弧所对的弦）的长为3.2米，拱高AB（弧的中点到弦的距离）为0.8米．（1）求该圆弧所在圆的半径；（2）在修建中，在距大门边框的一端（点D）0.4米处将竖立支撑杆HG，求支撑杆HG的高度．【答案】（1）2米；（2）0.4米．【分析】（1）利用垂径定理得到圆心O在BA的延长线上，CA＝DA＝1.6，连接OC、OG，过G点作GE⊥OB于E点，如图，设⊙O的半径为r米，则OA＝（r﹣0.8）米，在Rt△OAC中利用勾股定理得到1.62+（r﹣0.8）2＝r2，然后解方程即可；（2）过G点作GE⊥AB于E点，如图，先证明四边形AHGE为矩形得到AE＝GH，GE＝AH＝1.2米，再在Rt△OEG中利用勾股定理计算出OE＝1.6米，然后计算AE的长，从而得到支撑杆HG的高度．【解答】解：（1）∵AB垂直平分CD，∴圆心O在BA的延长线上，连接OC、OG，过G点作GE⊥OB于E点，如图，设⊙O的半径为r米，则OA＝（r﹣0.8）米，∵OB⊥CD，∴CA＝DA=12CD=12在Rt△OAC中，1.62+（r﹣0.8）2＝r2，解得r＝2，即该圆弧所在圆的半径为2米；（2）过G点作GE⊥AB于E点，如图，∵DH＝0.4米，∴AH＝AD﹣DH＝1.2米，∵∠GEA＝∠EAH＝∠GHA＝90°，∴四边形AHGE为矩形，∴AE＝GH，GE＝AH＝1.2米，在Rt△OEG中，OE=OG∵OA＝OB﹣AB＝2﹣0.8＝1.2（米），∴AE＝OE﹣OA＝1.6﹣1.2＝0.4（米），∴GH＝0.4米．即支撑杆HG的高度为0.4米．【点评】本题考查了垂径定理的应用：运用垂径定理和勾股定理，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．20．（2023春•鼓楼区校级期中）如图，在⊙O中，AB、AD为弦，CD为直径，CD⊥AB于M，BN⊥AD于N，BN与CD相交于Q．（1）求证：BQ＝BC；（2）若BQ＝5，CM＝3，求⊙O的半径．【答案】（1）见解析；（2）256【分析】（1）根据CD⊥AB，BN⊥AD，所以∠BNA＝∠BMQ＝90°，可得∠BQM＝∠A，利用圆周角定理得∠C＝∠A，所以∠C＝∠BQM，即可得出结论；（2）设圆心为O，连接BO，设BO＝r，则OM＝r﹣3，利用勾股定理得BM＝4和42+（r﹣3）2＝r2，即可求出半径．【解答】（1）证明：∵CD⊥AB于M，BN⊥AD于N，∴∠BNA＝∠BMQ＝90°，∵∠ABN＝∠ABN，∴∠BQM＝∠A，∵BD=∴∠C＝∠A，∴∠C＝∠BQM，∴BQ＝BC；（2）解：由（1）得BC＝BQ＝5，∠BMC＝∠BMO＝90°∴在Rt△BMC中，BM=B设圆心为O，连接BO，设BO＝r，则OM＝r﹣3，∴在Rt△BMO中，BM2+OM2＝OB2，即42+（r﹣3）2＝r2，解得：r=25即⊙O的半径为256【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理，正确作出辅助线、灵活运用相关定理是解题的关键，注意勾股定理的应用．21．（2023•高州市一模）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表达为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长为多少？【答案】见试题解答内容【分析】连接OA构成直角三角形，先根据垂径定理，由DE垂直AB得到点E为AB的中点，由AB＝10可求出AE的长，再设出圆的半径OA为x，表示出OE，根据勾股定理建立关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即为圆的半径，把求出的半径代入即可得到答案．【解答】解：连接OA，∵AB⊥CD，且AB＝10，∴AE＝BE＝5，设圆O的半径OA的长为x，则OC＝OD＝x∵CE＝1，∴OE＝x﹣1，在直角三角形AOE中，根据勾股定理得：x2﹣（x﹣1）2＝52，化简得：x2﹣x2+2x﹣1＝25，即2x＝26，解得：x＝13所以CD＝26（寸）．【点评】此题考查了学生对垂径定理的运用与掌握，注意利用圆的半径，弦的一半及弦心距所构成的直角三角形来解决实际问题，做此类题时要多观察，多分析，才能发现线段之间的联系．22．（2022•安徽模拟）如图，⊙O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．（1）OM⊥CD于点M，CD＝24，⊙O的半径长为410，求OM的长．（2）点G在BD上，且AG⊥BD交CD于点F，求证：CE＝EF．【答案】（1）4；（2）见解析．【分析】（1）连接OD，由垂径定理和勾股定理可得答案；（2）连接AC，由垂直的定义及等腰三角形的性质可得结论．【解答】（1）解：如图，连接OD，∵OM⊥CD，OM过圆心，CD＝24，∴DM＝CM=