适用于老高考旧教材广西专版2023届高考数学二轮总复习第三部分三解答题的解法课件理

三、解答题的解法第三部分内容索引0102题型聚焦•思路概述常用解法•分类突破题型聚焦•思路概述【高考命题聚焦】

在高考数学试题中,解答题的题量虽然比不上选择题多,但是其占分的比重最大,足见它在试卷中地位之重要.从近五年高考试题来看,5道解答题的出处较稳定,分别为数列(或三角函数与解三角形)、概率、立体几何、解析几何、函数与导数.在难度上,前三题为中等或中等以下难度题,多数考生都能拿到较高的分数;后两题为难题,具有较好的区分层次和选拔功能,多数考生能够解答后两题的第1问,但难以解答或解答完整第2问.【方法思路概述】

解答题也就是通常所说的主观性试题,考生解答时,应把已知条件作为出发点,运用有关的数学知识和方法进行推理或计算,最后达到所要求的目标;同时要将整个解答过程的主要步骤和过程有条理、合逻辑、完整地陈述清楚.解题策略有以下几点:(1)审题要慢,解答要快;(2)确保运算准确,立足一次成功;(3)讲究书写规范,力争既对又全;(4)面对难题,讲究策略(缺步解答、跳步解答),争取得分.常用解法•分类突破一、三角函数及解三角形的综合问题例1(2022新高考Ⅱ,18)记△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,以解题指导三角函数及解三角形的综合问题难度不大,训练应当紧扣高考真题,不需要加深加宽.解答三角函数题的关键是进行必要的三角恒等变形,其解题通法是:发现差异(角度,函数,运算),寻找联系(套用、变用、活用公式,技巧,方法),合理转化(由因导果,由果探因);解三角形的题目不要忘记隐含条件“三角形三内角的和为180°”,经常用正弦定理转化已知条件中的边角关系.对点训练1(2022广西桂林国龙外国语学校高三检测)在锐角三角形ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c-b=acosB-bcosA.(1)求角A的大小;(2)若a=1,求△ABC的周长的取值范围.解:

(1)因为c-b=acos

B-bcos

A,所以由正弦定理得,sin

C-sin

B=sin

Acos

B-sin

Bcos

A.又C=π-(A+B),所以sin(A+B)-sin

B=sin

Acos

B-sin

Bcos

A,所以sin

Acos

B+sin

Bcos

A-sin

B=sin

Acos

B-sin

Bcos

A,所以2sin

Bcos

A-sin

B=0.二、数列的通项、求和问题例2设数列{an}是首项为2,公比为q(q≠1)的等比数列,且3a1,2a2,a3成等差数列.(1)求{an}的通项公式;解:(1)∵3a1,2a2,a3成等差数列,∴3a1+a3=4a2,∴3a1+a1q2=4a1q,解得q=3或q=1(舍去).又a1=2,∴an=2×3n-1.当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=2n-1,当n=1时,b1=1,显然满足上式,∴数列{bn}的通项公式为bn=2n-1.∴an·bn=(4n-2)·3n-1.∴Tn=2×30+6×31+10×32+…+(4n-6)·3n-2+(4n-2)·3n-1,①3Tn=2×31+6×32+10×33+…+(4n-6)·3n-1+(4n-2)·3n,②②-①得2Tn=-2-4×(31+32+…+3n-1)+(4n-2)·3n,故Tn=(2n-2)·3n+2.解题指导数列的通项公式、前n项和公式是高考的热点,求通项的常用方法有:利用等差(比)数列求通项公式;利用前n项和与通项的关系常见数列(等差、等比数列).求和常用方法有:公式法、错位相减法、裂项相消法、倒序相加法、分组求和法.对点训练2(2022贵州贵阳二模)已知首项为1的等差数列{an}的前n项和为Sn,且S2,2a2,S3成等比数列.(1)求an和Sn;(1)解:

依题意,S2S3=(2a2)2.设数列{an}的公差为d,则(2+d)(3+3d)=4(1+d)2,解得d=-1或d=2.当d=-1时,a2=0,不符合题意,舍去.三、统计与概率的综合问题例3有关部门在某公交站点随机抽取了100名乘客,统计其乘车等待时间(指乘客从进站口到乘上车的时间,乘车等待时间不超过40分钟),将数据按[5,10),[10,15),[15,20),[20,25),[25,30),[30,35),[35,40]分组,绘制成如图所示的频率分布直方图.假设乘客乘车等待时间相互独立.(1)求抽取的100名乘客乘车等待时间的中位数(保留一位小数);(2)现从该车站等车的乘客中随机抽取4人,记等车时间在区间[20,30)内的人数为X,用频率估计概率,求随机变量X的分布列与数学期望.解:(1)第一个小矩形的面积S1=0.08,第二个小矩形的面积S2=0.14,第三个小矩形的面积S3=0.18,第四个小矩形的面积S4=0.26,所以X的分布列为

解题指导1.求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率,在求解时,要注意应用计数原理、排列组合、古典概型等知识.2.求离散型随机变量的均值与方差的方法:(1)首先求随机变量的分布列,然后利用均值与方差的定义求解;(2)若随机变量X~B(n,p),则可直接使用公式E(X)=np,D(X)=np(1-p)求解.对点训练3随着互联网的兴起,越来越多的人选择网上购物.某购物平台为了吸引顾客,提升销售额,每年双十一都会进行某种商品的促销活动.该商品促销活动规则如下:①“价由客定”,即所有参与该商品促销活动的人进行网络报价,每个人并不知晓其他人的报价,也不知道参与该商品促销活动的总人数;②报价时间截止后,系统根据当年双十一该商品数量配额,按照参与该商品促销活动人员的报价从高到低分配名额;③每人限购一件,且参与人员分配到名额时必须购买.某位顾客拟参加2022年双十一该商品促销活动,他为了预测该商品最低成交价,根据该购物平台的公告,统计了最近5年双十一参与该商品促销活动的人数(见下表).年份20172018201920202021年份编号t12345参与人数y/百万人0.50.611.41.7(1)由收集数据的散点图(图略)发现,可用线性回归模型拟合参与人数y(单位:百万人)与年份编号t之间的相关关系.请用最小二乘法求y关于t的线性(2)该购物平台调研部门对2000名参与2022年双十一该商品促销活动人员的报价价格进行了一个抽样调查,得到如下的一份频数表:报价区间/千元[1,2)[2,3)[3,4)[4,5)[5,6)[6,7)频数200600600300200100

参考公式及数据:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<Z≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<Z≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ<Z≤μ+3σ)≈0.9973.所以预测2022年双十一参与该商品促销活动的人数为200万.四、立体几何的综合问题例4如图,在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=AD,E为棱AD的中点,异面直线PA与CD所成的角为90°.(1)在平面PAB内找一点M,使得直线CM∥平面PBE,并说明理由;(2)若二面角P-CD-A的大小为45°,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.解:(1)在梯形ABCD中,AB与CD不平行.延长AB,DC,相交于点M(M∈平面PAB),点M即为所求的一个点.理由如下:由已知,BC∥ED,且BC=ED.所以四边形BCDE是平行四边形.从而CM∥EB.又EB⊂平面PBE,CM⊄平面PBE,所以CM∥平面PBE.(说明:延长AP至点N,使得AP=PN,则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)(方法一)由已知,CD⊥PA,CD⊥AD,PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD.从而CD⊥PD.所以∠PDA是二面角P-CD-A的平面角,所以∠PDA=45°.易知PA⊥平面ABCD,从而PA⊥AD,PA⊥CE.设BC=1,则在Rt△PAD中,PA=AD=2.过点A作AH⊥CE,交CE的延长线于点H,连接PH.于是CE⊥平面PAH.所以平面PCE⊥平面PAH.过A作AQ⊥PH于Q,则AQ⊥平面PCE.所以∠APH是PA与平面PCE所成的角.(方法二)由已知,CD⊥PA,CD⊥AD,PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD.于是CD⊥PD.从而∠PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以∠PDA=45°.由PA⊥AB,PA⊥CD,可得PA⊥平面ABCD.设x=2,可取n=(2,-2,1).设直线PA与平面PCE所成角为α,解题指导1.解答立体几何综合题时,要学会识图、用图、作图.空间平行、垂直关系的证明,都与几何体的结构特征相结合.2.在引入空间向量后,立体几何中的平行、垂直关系的证明转换成了简单的代数运算,降低了思维上的难度;线面角与二面角的计算也转换成了向量的代数运算,非常的程序化.对点训练4如图,在直三棱柱ABC-DEF中,AC=BC=2,AB=2,AD=4,M,N,G分别为AD,CF,EF的中点.(1)求证:AN⊥平面BCM;(2)求二面角C-BM-G的余弦值.解:

因为AC=BC=2,AB=2,所以AC2+BC2=AB2,即AC⊥BC.所以在直三棱柱ABC-DEF中,AC,BC,CF两两垂直.以C为原点,CA,CB,CF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图,则C(0,0,0),M(2,0,2),B(0,2,0),A(2,0,0),N(0,0,2),G(0,1,4),五、解析几何的综合问题例5已知圆F1:(x+1)2+y2=r2,圆F2:(x-1)2+y2=(4-r)2,0<r<4.当r变化时,圆F1与圆F2的交点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)已知点P,过点F2的直线交曲线C于A,B两点(异于点P),与直线x=m交于点D,设直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为kPB,直线PD的斜率为kPD,是否存在实数m,λ,使得kPA+kPB=λkPD成立?若存在,求出m,λ;若不存在,请说明理由.解:(1)由题意可知|PF1|=r,|PF2|=4-r,|F1F2|=2,所以|PF1|+|PF2|=4>|F1F2|,(2)假设存在实数m,λ,使得kPA+kPB=λkPD成立.由题意知直线AB的斜率存在.设直线AB的方程为y=k(x-1),点A(x1,y1),B(x2,y2),则点D(m,k(m-1)).Δ=(-8k2)2-4(4k2+3)(4k2-12)=144(k2+1)>0,解题指导解析几何的热点是把圆锥曲线、直线、圆融合在一起,重点是考查解析几何的基础知识、求轨迹的方法、数形结合和整体思想等,主要融合点为函数、方程、三角、向量、不等式.近几年解析几何考查内容较为稳定,但在难度、形式上有所变化,设置背景还是直线与圆锥曲线的位置关系,但考点会是定点、定值和探究性问题.(1)求双曲线C的方程;(2)动直线l与双曲线C恰有1个公共点,且与双曲线C的两条渐近线分别交于点M,N.求证:△OMN的面积为定值.由已知得1-3k2≠0,Δ=(-6mk)2