信号与系统第10章系统的状态空间分析

第10章系统的状态变量分析法101状态变量与状态方程10.2状态方程的建立10.3连续系统状态方程的解法10.4离散系统状态方程的解法10.5系统的可控性和可观性10.6本章小结9.1状态变量与状态方程9.1.1状态及状态变量的概念

根据第一章讨论，我们知道连续时间系统在任意时刻t0的状态是一组最少数目的数据｛x1(t0),x2(t0),…，xn(t0)｝，这组数据连同时间间隔［t0,t］上的输入就足以确定系统在t时刻的输出(响应)。描述系统状态变化的变量称为状态变量。图9.1-1系统的状态变量对于图9.1-1的二阶网络，由KVL和KCL方程可得考虑到iC(t)=C

duC(t)/dt和uL(t)=LdiL(t)/dt，可将上面两式写成：假设指定网络中的i(t)和u(t)为输出，那么由图9.1-1可得

设系统有n个状态变量x1(t),x2(t),…,xn(t)。以状态变量作为分量组成的n维列矢量x(t)，称为系统的状态(列)矢量。记成矩阵形式为状态变量在初始观察时刻(t=t0-)的值称为系统的初始状态。图9.1-2状态轨迹9.1.2连续系统的状态方程和输出方程图9.1-3系统的输入输出模型图9.1-4一阶动态系统

采用积分器模拟图9.1-4(a)中记忆元件特性时，该记忆元件的输入输出关系可表示为x(t0)鉴于记忆元件的“拉〞出过程，并没有改变系统内部各局部间的连接关系，因此可以用记忆元件和无记忆局部的输入输出关系来表征原系统的特性，即图9.1-5动态系统的状态模型设n阶LTI离散系统，它具有p个输入f1(k),f2(k),…，fp(k);q个输出y1(k),y2(k),…,yq(k)。记系统的n个状态变量为x1(k),x2(k)，…，xn(k),那么其状态方程是关于状态变量的一阶差分方程组，输出方程是关于输入、输出和状态变量的代数方程组。两组方程的标准形式可写为x(k0)式中9.1.3离散系统的状态方程和输出方程图9.1-6二输入二输出离散系统对于图9.1-6所示的二输入二输出离散系统，如果选择两个移位器的输出x1(k)、x2(k)作为系统的状态变量，那么可在移位器的输入端写出状态方程：在系统的输出端得到输出方程：将上述两式写成矩阵形式，那么有图9.1-7状态空间方程模拟框图(1)状态和状态变量的本质在于表征系统的记忆特性或动态特性。它概括了为了预知未来特性而必须知道的有关系统历史情况的信息，并以能量形式保存在系统中。因此，只有动态系统才存在状态和状态变量；而对于瞬时系统，那么无状态和状态变量可言，自然也不存在状态空间描述问题。(2)根据状态、状态变量的定义及其状态模型，一般可选取独立记忆元件(储能元件)中与系统能量有关的物理量作为系统的状态变量。典型的状态变量有：机械系统中与位能有关的位置变量，与动能有关的速度变量；电系统中与储存电场能有关的电容电压或电荷变量，与储存磁场能有关的电感电流或磁链变量；以及离散系统中移位器的输出变量等等。状态变量是一组独立变量，其数目等于独立记忆元件的个数，即系统的阶数。(3)设给定系统的状态矢量x(·)=［x1(·)x2(·)…xn(·)］T，将x(·)作如下线性变换：ω(·)=Px(·)式中，ω(·)=［ω1(·)ω2(·)…ωn(·)］T，P为n×n阶常数矩阵，且|P|≠0。由于求解式(9.1-16)总可以得到x(·)，因此，其ω(·)矢量同样也是满足状态和状态变量定义的。可见，给定系统的状态变量选择并不是惟一的。在实际应用中，通常选取那些概念明确、测量容易并能使计算简化的物理量作为状态变量。例如，对于LTI电系统，可直接选取独立电容电压和电感电流或移位器输出信号作为状态变量。(4)根据状态空间方程，以先由状态方程解出状态矢量x(·)，然后由输出方程得到输出矢量y(·)。x(·)提供系统的内部信息，y(·)给出系统的输出响应。这种利用状态空间描述方程分析系统的方法称为状态空间分析法。它是现代系统分析的理论根底。9.2状态方程的建立1.直接编写法第一步，选取系统中所有独立电容电压和独立电感电流作为状态变量。第二步，对与状态变量相联系的每个电容和电感分别列出独立的节点(或割集)KCL方程和回路KVL方程。第三步，利用适当的KCL、KVL方程和元件伏安关系，消去上一步方程中可能出现的“非法〞变量，然后整理得出标准形式的状态方程。第四步，用观察法列出输出方程。9.2.1连续系统状态方程的建立2.由微分方程建立状态空间方程

情况1

系统微分方程不含输入导数项。考察一个三阶系统，设其输入输出方程为传输算子为式中不含输入f(t)的导数项。其算子方程可写为图9.2-3

根据状态模型，我们选择信号流图中每个积分器的输出信号作为状态变量，即然后在各积分器的输入端写出状态方程，得其输出方程为表示成矩阵形式有

设n阶线性时不变系统输入输出方程为相应的算子方程和传输算子为假设选n维状态矢量为图9.2-4

情况2

系统微分方程含有输入导数项。我们仍然先用一个简单系统来说明状态空间方程的建立过程，然后将结果推广到n阶系统。设一个三阶连续系统的输入输出方程为相应的算子方程和传输算子为为了利用情况1中得到的结果，我们引入辅助变量q，令整理后比较等号两边诸项，得同理，选每个积分器输出信号作为状态变量，有在积分器输入端写出状态方程，整理成矩阵形式为由信号流图得出输出方程为将上述讨论结果推广到一般n阶系统。设n阶系统的输入输出方程为写出相应的算子方程和传输算子为引入辅助变量q,将式(9.2-30)写成如下两个方程：图9.2-6给出了该式的信号流图表示。假设选n维状态矢量为图9.2-5图9.2-6那么描述式(9.2-29)系统的状态空间方程具有如下形式：由于在微分方程中出现了输入的导数项，使输出方程中系数矩阵C发生了变化。当m＜n时，输出方程中的D矩阵仍为零。假设m=n,信号流图中节点xn、y间出现增益为bm=bn的支路，这时输出方程变成如果系统的初始条件y(0-)、y′(0-)和y″(0-)，将它们代入上述各式，并考虑到t=0-时f(0-)=0，即可联立求解得到系统的初始状态x1(0-)、x2(0-)和x3(0-)。由上讨论可知，依据系统微分方程建立状态空间方程的步骤是：第一步，由系统微分方程确定系统的传输算子H(p)，并画出它的信号流图表示；第二步，选信号流图中积分器的输出信号作为系统的状态变量；第三步，在各积分器的输入端写出状态方程；第四步，在信号流图的输出端(汇总)写出输出方程。3.由系统函数建立状态空间方程设LTI连续系统的系统函数为9.2.2离散系统状态方程的建立例9.2-1离散系统模拟框图如图9.2-7(a)所示，试建立其状态空间方程。图9.2-7例9.2-1图解写成矩阵形式为例9.2-2描述某离散时间系统的差分方程为试建立该系统的状态空间方程。解由差分方程写出系统的传输算子为图9.2-8例9.2-2信号流图

图9.2-8(a)中有三个移位支路，需设三个状态变量，分别令这些支路的输出信号为状态变量x1(k)、x2(k)和x3(k),如图中所示。对各移位支路输入节点的信号列方程，得这就是系统的状态方程。其输出方程为写成矩阵形式，得到状态空间方程的标准形式为

自然，与连续系统一样，我们也可以把系统传输算子表示成其他形式，画出相应的信号流图表示，编写出不同形式的状态空间方程。例如，可以将H(E)写成如下形式：取图中各移位支路输出信号x1(k)、x2(k)和x3(k)作为状态变量，那么可得到相应的状态空间方程为即9.3连续系统状态方程的解法线性时不变连续时间系统的状态空间方程为对于具有p个输入、q个输出的n阶系统，上式中x(t)、f(t)和y(t)分别是n维状态矢量、p维输入矢量和q维输出矢量，矩阵A、B、C、D都是常数矩阵。一个n阶方阵A，其矩阵指数函数eAt仍是n阶方阵。可以证明，矩阵指数函数eAt有以下重要结论：(1)对于任何方阵A，eAt恒有逆，且为(2)对于n阶方阵A和B，假设AB=BA，那么有9.3.1矩阵指数函数(3)对于方阵A，有(4)假设A为n阶方阵x为n维列矢量函数，P为非奇异矩阵，那么有9.3.2状态微分方程的解法设标量状态方程为将上式两边同乘以e-at，移项后得即上式等号两边取0-到t的积分，得假设标量函数f(x)可以展开为如下收敛的幂级数：两边同乘以eat，并整理得那么定义函数例如，指数函数ext的收敛幂级数为因此，可定义相应的矩阵指数函数为现在我们来求矢量状态方程的时间域解。设系统初始状态矢量为上式可写成经移项后得将上式两边取t0到t的积分，得出上式两边左乘以eAt

，整理后得假设初始观察时刻t0=0-,并令那么可写成这就是矢量状态方程的时域解。式中等号右边第一项为哪一项状态矢量解的零输入分量，记为显然，假设x为n维列矢量，那么φ(t)为n阶方阵。上式说明，系统在零输入情况下，φ(t)的作用是使系统由初始时刻的状态转移至t时刻的状态。因此，称φ(t)或eAt为连续时间系统的状态转移矩阵。式(9.3-15)中第二项是状态矢量解的零状态分量，记为一般情况下，两个矩阵函数的卷积可以用矩阵相乘的运算规那么来定义，只是将其中的乘法运算符换成卷积运算符即可。例如:于是，矢量状态方程的时域解可写成假设系统输入个数为p,我们定义p×p阶对角矩阵考虑到的抽样性质，显然有于是，系统输出〔响应〕可改写成式中，第一项为哪一项系统的零输入响应，第二项是零状态响应，分别记为和式中称为连续时间系统的单位冲激响应矩阵，简称冲激响应矩阵。假设系统的输入、输出数目分别为p和q，那么h(t)是q×p阶矩阵，它的第i行第j列元素hij(t)代表第j个输入为δ(t)，而其他输入均为零时第i个输出的零状态响应。可以看出，这与单输入单输出系统的单位冲激响应定义是一致的。利用冲激响应矩阵，系统输出可表示为9.3.3矩阵指数的计算(1)幂级数法。按照eAt定义，用计算机求出它的近似值。(2)将矩阵A变换成相似的对角矩阵Λ，即(3)应用凯莱-哈密顿(Caley-Hamilton)定理，将eAt表示成有限项之和，然后进行计算。在矩阵代数中，对于n阶方阵A，假设有非零n维列矢量x，标量λ满足方程式那么称λ为矩阵A的特征值。因为所以式(9.3-25)可写成(9.3-25)令q(λ)=det(λΙ-A)，上式可表示成q(λ)是λ的多项式，称为矩阵A的特征多项式。q(λ)=0称为A的特征方程，它的根称为A的特征根，也就是式(9.3-25)中的特征值。式(9.3-27)中Ci(i=0,1,…,n)为特征多项式各项系数，λi(i=1,2,…,n)表示特征根。

根据本书附录B，应用凯莱-哈密顿定理可以证明：任一n阶方阵A的矩阵函数f(A)总可表示成一个次数不超过(n-1)的A的多项式，即对于矩阵指数函数，那么有如果矩阵A的特征根λ1,λ2,…,λn都是单根，那么由附录B中式(B-21)可得求解该方程组即可得出n个系数β0,β1,…,βn-1。

如果A的特征根中有某个根λ1是m重根，此时可先列出如下与λ1对应的m个方程：9.3.4状态方程的拉普拉斯变换解法先考察一个单输入单输出一阶系统，其状态空间方程可表示为式中，f(t)、y(t)、x(t)均是标量。假设记F〔s〕=L[f(t)],Y(s)=L[y(t)]X(s)=L[x(t)],那么对式〔9.3-32〕方程两边分别取拉普拉斯变换，即式中，

上述求解过程同样适用于一般的多输入多输出n阶系统。对标准状态空间方程(9.3-1)取拉普拉斯变换，得式中，X(s)表示状态矢量x(t)的拉普拉斯变换，即

将连续时间LTI系统状态空间分析的一般步骤归纳如下：第一步，确定系统状态变量。一般地说，可以选取系统中表征记忆元件能量状况的物理量作为状态变量。通常，对于用信号流图(或框图)表示的模拟系统，选取一阶系统(包括积分器)输出变量为状态变量；对于LTI电系统，选取独立电容电压和独立电感电流作为状态变量。第二步，用直接法或间接法列出系统的状态空间方程。第三步，计算状态转移矩阵或预解矩阵第四步,求状态矢量x(t),其计算公式为时域S域第五步，计算冲激响应矩阵或系统函数矩阵H(s)=CΦ(s)B+D

第六步，计算系统输出(响应)y(t)，具体方法有两种：方法1如果状态矢量解已经求出，可将它直接代入输出方程得到y(t)。方法2如果状态矢量解未知，可按以下公式计算：时域：S域：9.4离散系统的状态空间分析9.4.1时域状态差分方程的解法

描述LTI离散系统的状态空间方程由状态方程和输出方程组成，其标准形式可表示为式中，f(k)、x(k)和y(k)分别是系统的输入矢量、状态矢量和输出矢量，系数矩阵A、B、C和D均为常量矩阵。

当给定系统在k=0时的初始状态矢量x(0)以及k≥0时的输入矢量f(k)后，利用差分方程的递推性质，依次令式9.4-7(a)中的k