2023年河南省南阳市中考数学二模试卷

中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1.-5的绝对值是（）

A.-5B.5C.—D.—

55

2.1纳米=10-9米，将50纳米用科学记数法表示为（）

A.50x10-9米B.5x10-9米C：.0.5x10-9米D.5x10*米

3.如图，直线a〃力，在口△力笈中，点C在直线a上,若Nl=54°,N2=24°,则N4的度数为（）

C__________a

A.56°B.36°C.30°D.26°

4.5个大小相同的正方体搭成的几何体如图，则下列说法中正确的是（）

闻

主视方向

A.主视图的面积最小B.左视图的面积最小

C.俯视图的面积最小D.三个视图面积一样大

5.下列各式计算正确的是（）

A.V5-V3=V2B.（-a2"=13

C.o'-a-o'D.（b+2ci）｛2a—b）=b1—Aa1

6.某校规定学生的学期数学成绩满分为100分，其中研究性学习成绩占30%,期末卷面成绩占70%,小刚的两

项成绩（百分制）依次是80分，90分，则小明这学期的数学成绩是（）

A.87分B.82分C.80分D.86分

7.如图，在中，NC=50°,/6=35°,分别以点46为圆心,大于47的长为半径画弧，两弧相交

于点机N,直线MN交EC于点、D,连接/〃，则/的「的度数为（）

%A

A.85°B.70°C.60°D.25°

8.一个不透明的袋子中装有4个标号为1,2,3,4的小球，它们除标号外其余均球记下标号：把第一次摸出

的小球标号作为十位数字，第二次摸出的小球标号作为个位数字，则所组成的数是3的倍数的概率是()

A.-B.-C.—D.—

431216

9.《九章算术》勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺

木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？

若设绳索长度为x尺，根据题意，可列方程为()

A.82+X2=(X-3)2B.82+(X+3)2=X2C.82+(X-3)2=X2D.X2+(X-3)2=82

10.将直角三角形纸板。16按如图所示方式放置在平面直角坐标系中，必在x轴上，OB=4,OA=2后.将

三角形纸板绕原点。逆时针旋转，每秒旋转60°,则第2019秒时，点力的对应点A的坐标为()

A.(-3,-73)B.(3,-V3)C.(-3,73)D.(0,273)

二、填空题(本大题共5小题，共15.0分)

11.(-2)2-2sin30。=

12.如图，平行四边形力附9的周长是8cm,其对角线4C,劭相交于点0,过点0的直线分别与/〃，比1相交于

点、E,F,且应1=2cm,则四边形CW的周长是.

13.关于x的方程2f—2x+/〃—1=0有两个相等的实数根，贝|卬=

14.如图，点C为A8的三等分点(BC<AC),ZAOB=90°,OA=3,CDLOB,则图中阴影部分的

面积为.

15.如图，在△四，中，NQ90°,AB=5,a三4,点，是边47的中点，点6在边上，将△/庞沿『翻

折，使点｛落在点A处，当线段力£的长为时，AE//BC.

三、计算题（本大题共1小题，共&0分）

（X—|Y—2、2丫？—Y

16.先化简，再求值：二一二^+三——,其中x满足V—x—1=0.

\XX+1JX+2x4-1

四、解答题（本大题共7小题，共67.0分）

17.某校为了解家长和学生“参与防溺水教育”的情况，在本校学生中随机抽取部分学生做调查，把调查的数

据分为以下4类情形：4：仅学生自己参与；层家长与学生一起参与：G仅家长自己参与；以家长和学生都

未参与；并把调查结果绘制成了以下两种统计图（不完整）.

根据以上统计图，解答下列问题：

（1）本次接受调查的学生共有人.

（2）已知3类人数是〃类人数的6倍.

①补全条形统计图；

②求扇形统计图中8类的圆心角度数；

③根据调查结果，估计该校2000名学生中“家长和学生都未参与”的人数.

18.太阳能热水器的玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳能的效果最佳，如图，某户根据本地区冬至时刻

太阳光线与地面水平线的夹角（9）确定玻璃吸热管的倾斜角（太阳光与玻璃吸热管垂直），已知支架67="=100cm,

343

G9=20cm,FE工AD于E,若0—37°,求厮的长.（参考数据：sin37°,cos37°«—,tan37°«—）

554

图2

19.如图，在矩形/灰»中，点。在对角线上，以3的长为半径的圆。与/〃，“'分别交于点瓦凡且/

ACB=ADCE.

（1）判断直线龙与。。的位置关系，

（2）若tan/ACB=J,BC=4,求。〃的半径.

2

20.如图，直线y=；xk

与反比例函数y=_（x>0）的图象交于点A,已知点A的横坐标为4.

x

（1）求反比例函数的解析式；

1b

（2）将直线y=—x向上平移3个单位后的直线/与y=>0）的图象交于点C；

2x

①求点。的坐标；

②记y=K（x>0）的图象在点4C之间的部分与线段窗，3围成的区域（不含边界）为队则区域（内的

整点（横，纵坐标都是整数的点）的个数为.

21.母亲节前，某淘宝店从厂家购进某款网红礼盒，已知该款礼盒每个成本价为30元.经市场调查发现，该

礼盒每天的销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，当该款礼盒每个售价为40元时，每天

可卖出300个；当该款礼盒每个售价为55元时，每天可卖出150个。

（1）求y与x之间的函数解析式（不要求写出x的取值范围）；

(2)若该店老板想达到每天不低于240个的销售量，则该礼盒每个售价定为多少元时，每天的销售利润最大，

最大利润是多少元？

22.(1)问题发现：如图1,在四边形4?徵中，AB//DC,£是宠的中点，若是/胡〃的平分线，则4?,

AD,小之间的数量关系为.

DC......../尸C-jD

A图1“图2图3

(2)问题探究如图2,在四边形/版中，AB//DC,£是回的中点，点尸是火的延长线上一点，若丝是

/为b的平分线，试探究/反AF,""之间的数量关系，并证明你的结论

(3)问题解决：如图3,AB//CD,点6在线段6c上，且BE:EC=3:4.点尸在线段熊上，且/EFD=

NEAB,直接写出15,DF,5之间的数量关系.

23.如图，直线尸一x+4与x轴，y轴分别交于点8,C,点4在x轴负半轴上，且。4=,。8,抛物线y

2

=ay2+bx+4经过4B,C三点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是第一象限内抛物线上的动点，设点尸的横坐标为处过点尸作叽5G垂足为。，用含力的代数

式表示线段如的长，并求出线段外的最大值.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：-5的绝对值是5.

故选：B.

根据负数的绝对值等于它的相反数计算即可.

此题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键.

2.【答案】D

【解析】解：将50纳米用科学记数法表示为5x10-8米.

故选：D.

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为ax1(T”,与较大数的科学记数法不同的是其所

使用的是负指数幕，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为axl(T,其中14同＜10,〃为由原数左边起第一个不为

零的数字前面的0的个数所决定.

3.【答案】C

【解析】解：如图,

VZ1=54°,a//b,.../3=/1=54°.

VZ2=24°,ZJ=Z3-Z2,：.ZA=54°-24°=30°.

故选：C.

先根据对顶角的定义得出/3的度数，再由三角形内角与外角的关系求出N/的度数.

本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等是解答此题的关键.

4.【答案】B

【解析】解：主视图是四个正方形，左视图是三个正方形，俯视图是四个正方形，故左视图的面积最小，

故选：B.

根据主视图是从正面看到的图形，左视图是从左边看到的图形，俯视图是从上边看到的图形，可得三视图，根

据三视图面积的大小，可得答案.

本题考查了三视图，主视图是从正面看到的图形，左视图是从左边看到的图形，俯视图是从上边看到的图形。

5.【答案】C

【解析】解：（A）原式=括—百，故A错误；

（B）原式=—/川，故B错误；

（Z?）原式=（2a+b）（2a—匕）=4。2一加，故D错误；

故选：C.

根据实数运算法则以及整式的运算法则即可求出答案.

本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用整式的运算，本题属于基础题型.

6.【答案】A

【解析】解：小明这学期的数学成绩是8Ox3O%+9Ox7O%=87分，

故选：A.

利用加权平均数的公式直接计算即可得出答案.

本题主要考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的公式是解题的关键.

7.【答案】C

【解析】解：在中，VZ5=35°,ZC=50o,：.ZBAC=180°-ZB~ZC=95O,

由作图可知物V为49的中垂线.:.DA=DB,：./DAB=ZB=35°,

：.ACAD=ABAC-ZDAB=60°,

故选：C.

根据内角和定理求得N为a95°,由中垂线性质知力=①，即/历16=/8=35°,从而得出答案.

本题主要考查作图一基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键.

8.【答案】D

【解析】解：根据题意画图如下：

则所组成的数是3的倍数的概率是上；

16

故选：D.

首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所组成的数是3的倍数的情况，再利用概率

公式即可求得答案.

此题考查了用列表法或树状图法求概率，通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n,再从中选出符

合事件力或6的结果数目m,然后根据概率公式求出事件/或6的概率.

9.【答案】C

【解析】解：设绳索长为x尺，可列方程为(％—3)2+82=/，

故选：C.

设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可.

本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

10.【答案】A

【解析】解：•••曲=4,//仍=30°,将三角板绕原点。逆时针旋转，每秒旋转60°,

第3秒时，点/的对应点A的坐标为(-3,-73).

•••三角板每秒旋转60°•.点A的位置6秒一循环.

•.•2019=336X6+3,.♦.第2019秒时，点｛的对应点4'的坐标为13,-@.

故选：A.

根据总的长度结合旋转的性质即可得出第1秒时,点/的对应点A'的坐标为(0,4),再由三角板每秒旋转60°,

可得出点力的位置6秒一循环，由此即可得出第2019秒时，点/的对应点A的坐标与第3秒时相同，此题

得解.

本题考查了坐标与图形的变化中的旋转以及规律型中点的坐标，根据每秒旋转的角度，找出点A的位置6秒

一循环是解题的关键.

11.【答案】3

【解析】解：原式=4—2x」=3.

2

故答案为：3.

直接利用特殊角的三角函数值分别化简得出答案.

此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键。

12.【答案】8cm

【解析】解：♦.•uABCD的对角线/乙BD交于前0,：-AO=CO,AD//BC,J.ZEAC^AFCO.

ZEAO=ZFCO

在△力施和中＜NAO=CO,

NAOE=NCOF

/XAOB^f\COF(ASA),：.AE=CF.

四边形的周长=防+&?=6»+4〃+2〃£=4+4=8cm,

故答案为：8cm

利用平行四边形的性质得出出AD//BC,进而得出N必仁/砂，再利用AS4求出△力差△口»,即

可得出答案.

此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键.

3

13.【答案】-

2

【解析】解：•••关于x的方程2/一2%+加一1=0有两个相等的实数根，

,3

；.△=(-2)--4x2(m-1)=0,

3

故题答案为：

2

若一元二次方程有两等根，则根的判别式△=^-4ac=0.建立关于加的方程，求出加的取值.

本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：熟记(1)A>0。方程有两个不相等的实数根；(2)

△=0。方程有两个相等的实数根；(3)AvOo方程没有实数根是解题的关键.

・小马、3万9rr

14.【答案】------yj3

28

【解析】解：连接％,AC,

・・•点。为A3的三等分点，N4仍=90。,・・・NCW=30。,ZAOC=&0°,

CD>0B,:.S^OCD=S^ACD、

•：ZCOD=90°,NZ»C=30°,0C=0A=3.

：.CD^-,0。=迪，

22

.13G360—zrx3213>/33719[T

••图中阴影部分的面积=Sc4ACD+se弓形Ac=7X——X-4---------------7x3oX——=----v3,

Z22JOUZZZo

3万Q_

故答案为：------>/3•

28

连接AC,由点C为A8的三等分点，/力仍=90°,得到NCW=30°,ZAOC=60°,根据仍，得到

SMCD=SMCD，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论・

本题考查了扇形的面积的计算，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键.

91

15.【答案】二或一

22

【解析】解：分两种情况：

①如图所示，当A£〃6C时，ZAEG=ZB,

由折叠可得，NA=/4',

又•..口△/阿中，Z5+ZJ=90°,AZAEG+ZA=90°,

AAri

ZAGE=90°.即AOLAB,：./\ABC^/^ADG,：.—=——=—,

ACBCAB

又•••AO=LAC=±,AG^-,DG^-,A'G^—,

2210510

9

设AE=AE=x,则EG=一x,

10

RtAA'EG中，f—+[2-x]=x2,

lioj110)

解得x=L,.•./!£=,；

22

②如图所示，当AE〃6C时,NAHE=ZC^90°,AH±CD,

设AE=y,

“AHAEEH…3«3/4

>XAAHEs[\ACB,­♦---=---=----,••AH——AE——y,HE—一y,

ACABBC555'

3133

由折叠可得，AE=AE=y,AO=AO=—,，A"=—=—y——,

25-52

og

・•・RtAA'O”中,,解得了二万，AAE=2

91

综上所述，线段/月的长为一或一.

22

91

故答案为：一或一.

22

分两种情况讨论，利用相似三角形的性质求得线段的长，再根据勾股定理即可得到方程，进而得到线段的

长.

本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用，解题时，我们常常设要求的线段长为人然后根据折叠和轴对

称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案。

(尤_l)(x+1)―—2x-lx(x+1)

16.【答案】解：原式——八J、1—

x(x+l)x(x+1)x(2x-l)

x—i=o,.\x=x+l,

Y4-1y-4-1

将f=x+i代入化简后的式子得："=q=i.

X2x+\

【解析】先通分，计算括号里的，再把除法转化成乘法进行约分计算，最后根据化简的结果，可由/-X-1

=0,求出x+l=f,再把f=x+i的值代入计算即可.

本题考查了分式的化简求值.解题的关键是注意对分式的分子、分母因式分解，除法转化成下乘法.

17.【答案】300

【解析】解：（D本次接受调查的学生共有120・40%=300（人），

故答案为:300；

（2）①〃的人数和为300—120-75=105（人）.

•••6类别人数为105x9=90（人），〃类别人数为105—90=15（人），

7

补全图形如下：

90

60

30

0ABCD~1^1]

②扇形统计图中6类的圆心角度数为360°x孟=108。；

③估计该校2000名学生中“家长和学生都未参与”的人数为2（）00*旦=100（人）.

300

（1）由4类别人数及其所占百分比：

（2）①先求出8、〃的人数和，结合8类人数是〃类人数的6倍可得答案；

②用360°乘以6人数占被调查人数的比例即可得；

③总人数乘以样本中〃类别人数的比例.

本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问

题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

18.【答案】解：地面水平线与吸热管夹角与e互余，延长口交比■的延长线于点"则N”=e=37。，

CDCD

在低△切/中，HC=——，：.HF^HC+CF=——+CF,

tan37°tan37°

(CD、3003

在RtZ\£7W中，EF^\+CF-sin37°»^x-=76

(tan37。J35

答：的长为76cm.

H

肖

G............................B

图2

【解析】地面水平线与吸热管夹角/I与。互余，延长切交比的延长线于点〃，则N〃=e=37。，然后根

据锐角三角函数的定义即可求出答案.

本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型.

19.【答案】(1)直线应与。。相切。

证明：连接庞：

"：OA=OE,：.ZDAC=ZAEO,

•：NACB=NDCE,：.ZAEgAACB=ZDCE,

'：四边形被切是矩形，BC//AD,；.AACB=ADAC,

VAACB=Z.DCE,:"DAC=NDCE,1•四边形力比方是矩形，.\ZJ9=90°,

：.4DCE+4DEC=9Q°,：.ZAEO+ZDEC=90°,.\ZOEC=180°-90°=90°,

即应：庞'为半径，.•.直线2与。。相切；

(2)解：•.,四边形1时是矩形。：.ZB=ZD=90°,

在RtZX力仪?中，4B=8CxtanNACB=4x—=2,由勾股定理得：AC=^+42=245,

2

,：NACB=ZDCE,：.tanZDCE=tanZACB='，

2

在Rt△核中，CD=AB=2,DEDCxtanZDCE=2x-=1,

2

由勾股定理得：DE=V22+12=y/5,设。。的半径为此

在中，C(J=(£+O后,(2逐一=7^+(石了，

解得：R二正,即。。的半径是坐.

44

【解析】(1)连接第求出NDCE=NAEgNDAC,求出/函=90°,根据切线的判定求出即可；

(2)解直角三角形求出16=2,根据勾股定理求出/G同理求出庞、CE,根据勾股定理得出关于"的方程,

求出方程的解即可.

本题考查了矩形的性质、切线的判定、平行线的性质、解直角三角形、勾股定理等知识点，能综合运用定理进

行推理和计算是解此题的关键。

20.【答案】4

【解析】解：(1)将x=4代入y=得尸2,

2

A(4,2),

k8

将A点代入y=—,k=8,y=——；

xx

1c

y=-x+3

(2)①根据题意可知，/的解析式为y=gx+3,2

8

y=-

x

尤=2或.x=­S

（舍去）.

y=4J=T

C(2,4)；

②如图：4个；

故答案为4；

(1)将x=4代入y-,

1c

y=7x+3

(2)根据题意可知，/的解析式为丁=3*+3,联立方程组，；，求。(2,4)；

O

y=一

X

(3)画出图象即可观察出；

本题考查反比例函数的图象及性质：熟练掌握待定系数法求函数解析式，数形结合求点的个数是解题的关键.

21.【答案】解：(1)设y与x之间的函数解析式为y=4x+Z>,

40A+b=300

由题意得，《

55姑=150

攵=—10

解得：4

。=700

•.，与x之间的函数解析式为y=-10尤+700；

(2)设每天的销售利润为加元，

由如图得，W=(%-3)(-10%+700)=-10x2+1OOOx-21000=-10%2(x-50)2+4000.

,.,-10x4-7005=240,

解得：xW46,.•.3(KxW46.

•.%=—10〈0,当“〈50时，*随x的增大而增大.

...当x=46时，/有最大值，最大利润是一10(46—50)2+400=3840.

答：该礼盒每个售价定为46元时，每天的销售利润最大，最大利润是3840元.

【解析】(1)依题意直接设尸4x+A再根据图表将其中数据依次带入找出错误数据，从而确立y与*的正

确函数关系为尸一10x+700.

(2)依题意可得30〈xW46,设利润为必则卬=(x-30)(-10%+700),将其化为顶点式，由于对称轴直线

不在30〈运46之间，应说明函数的增减性，根据单调性代入恰当自变量取值，即可求出最大值。

本题考查了一次函数与二次函数的实际应用，同时考查了由二次函数图象的对称性及增减性分析解决实际问题

的能力。

22.【答案】AD=AB-¥DC.

【解析】解：(1)结论：AD=AB+CF.

理由：如图1中，

AB//CF,ZCFE=ZEAB,

,:CE=EB,NCEF=/AEB,，△密隹△物(AAS),：.AB=CF.

•.飞尸平分/仅18,:.NDAF=NEAB,<NEAB=2CFE,：.ZDAF=ZDFA,：.AD=DF,

'：DF=DC+CF=CD+AB,：.AD=AB+CD.

故答案为AD=AB+CD.

（2）结论：AD=AF+CF.

理由：延长4?交%的延长线于6.

'：AB//DG,：.NG=NEAB,

,:CE=EB,/CEG=/BEA,二△①侬△曲(AAS),：.AB=CG,

1平分/必8,:.NFAG=NEAB,,:NG=/EAB,:.NFAG=NG,:.FA=FG,

'：CG=CF+FG=CF+AF,：.AB=AF+CF.

3

(3)结论：AB=-(CD+DF).

理由：如图3中，延长1£交切的延长线于G

3

■：CG//AB,：.ACEG^^BEA,：,AB=-CG,

ECCG44

'：NDFE=4