第五章 小学数学教学专题

小学数学课程标准与教材研究

之小学数学教学专题

知识不是某种完备无缺、纯净无瑕、僵化不变的东西。它永远在创新，永远在前进。

——[俄罗斯]普良尼施尼柯夫第五章小学数学教学专题

这一章将较为详细地分析小学数学教学中经常涉及到的一些专有名词，如“表内乘法”、“算理”、“算法”、“名数”、“数级”等，对这些核心名词的理解有助于教科书的分析和教学。提纲第五章小学数学教学专题之

小学数学教学的专有名词

表内乘法；名数、单名数和复名数；

等分除和包含除；算理与算法；逆运算与估算；与数有关的概念小学数学教学中的专有名词

在对小学数学教材开展文本分析或进行教学研究时，常常会遇到一些专有名词，正确理解这些名词既有助于教材文本分析，又有助于教学的实施。下面对一些重要的小学数学教学中常常涉及到的专有名词进行必要的解释。

表内乘法：指九九乘法表里可以直接用乘法口诀计算的乘法。在我国的小学数学教学实践中，“九九乘法表”又分为“小九九乘法表”和“大九九乘法表”。一、表内乘法

“小九九乘法表”的特点是，在每句口诀里表示相乘的两个数，第一个数总是不大于第二个数，遇到相乘的两个数相同时，该数的口诀就结束了。例如：5的乘法口诀：一五得五，二五一十，三五一十五，四五二十，五五二十五．这五句都是在5的乘法口诀里。至于五六三十，五七三十五呢？则分别在6和7的口诀里，口诀一共45句。人们把它简称为“小九九”。一、表内乘法一、表内乘法

“大九九乘法表的特点是，不管哪个数的乘法口诀，都是从l到9．例如：5的乘法口诀，一五得五，二五一十，三五一十五，四五二十，五五二十五，六五三十，七五三十五，八五四十，九五四十五.这种乘法表的口诀一共81句，人们把这种口诀称为“大九九”。

“小九九”只有45句，便于记忆；而“大九九”呢，共有81句，便于试商．下面根据试商过程中应用乘法口诀的情况作简要说明。（1）商大于除数的情况。例如：15÷3=5，24÷4=6，35÷5=7，48÷6=8，63÷7=9，……。当学生遇到48÷6=？的时候，他们总是先想6的口诀，可是在6的乘法口诀里，最大是“六六三十六”，找不到六八四十八。为了弥补“小九九”的这种缺陷，在指导学生读乘法口诀表时，除可以横着读、竖着读之外，还应该拐弯读。一、表内乘法

所以，学生掌握了科学读口诀的方法之后，当遇到“45÷5”的时候，如果只用5的口诀，最多是五五二十五。按照拐弯读的方法，继续读出：五六三十，五七三十五，五八四十，五九四十五！得数是9.

（2）商小于除数的情况。例如：63÷9=7，48÷8=6，35÷7=5，24÷6=4，15÷5=3，……。实践表明，学生见到除数是9，难免要先想到9的口诀，九几六十三呢？在“小九九”里，没有九几六十三.

名数：数+单位名称=名数

只带有一个单位名称的叫做单名数。如：5小时，3千克（只有一个单位）

带有两个或两个以上单位名称的叫做复名数。如：5小时6分，3千克500克（有两个单位）在具体运算时，常需要进行单名数和复名数的互化。这是教学中的难点。二、名数、单名数和复名数

有些复名数其实是有两个不是同一级的名数，一个高级名数，一个低级名数，并且把数据分成了两部分，高级名数是前一个，低级名数是后一个。例如，复名数1吨300千克中，吨是高级名数，千克是低级名数。教学在常需要根据具体的情境，把复名数1吨300千克改为单名数1.3千克，或把单名数1.3千克改为复名数1吨300千克。二、名数、单名数和复名数

小学数学教学中还常常进行名数的互化。

高级名数化低级名数：如，0.45米＝45厘米（进率是100，100×0.45＝45

）；

0．36千克＝360克（进率是1000，1000×0．36＝360

）

低级名数化高级名数：如,400千克=0.4吨；

5米=0.005千米。（进率是1000

，

400÷1000=0.4；5÷1000=0.005）二、名数、单名数和复名数

小学教学中还有个教学难点是：学会把较大的数改写成用“亿”或“万”作单位的数，有时还需根据要求求它的近似数。例如，（1）1991年我国棉花产量达到5663000吨。可写作“1991年我国棉花产量达到566．3万吨。”

（2）1991年我国石油产量达到139680000吨。可写作“1991年我国石油产量约达到1.39亿吨

。”【注】

除法有两方面的意义，把一个数（被分的总数，叫做被除数）平均分成若干份，求一份是多少，叫做等分除，求一个数里面包含几个另一个数，叫做包含除。三、等分除和包含除：

进一步说，“等分除”是将整体平均分成几份，求每一份的数量；“包含除”即告诉每一份的数量，求能将整体平均分成几份。

例：8个桃子分给4个猴子，每只猴子平均分几个？这是“等分除”；8个桃子，每个猴子分2个，可以分给几只猴子？这是“包含除”。仿此，12个西瓜，3个篮子，平均每个篮子分几个西瓜？是“等分除”；8个苹果，每个篮子里放2只，可以放几个篮子？是“包含除”。三、等分除和包含除

由此可见，“等分除”是由整体求部分，“包含除”是由部分求整体。

传统教科书把除法分成“等分除”与“包含除”两种类型，新课改的教科书没有人为地把除法分为“等分除”与“包含除”，这是因为教科书的编者认为，不论是“等分除”还是“包含除”，其实质都是将整体分为若干相等的部分。取消这两种除法类型的划分将更有利于把握除法的本质意义。三、等分除和包含除

对是否需要区分“等分除”、“包含除”？有些一线教师认为：三、等分除和包含除

“多年教六年级，感觉六年级学生对除法的问题都是稀里糊涂做出来的，根本就不知道除法的道理，如果低年级老师能够解释一下，学生头脑中可能会形成恰当的数学模型，对除法意义的理解也可能会更深刻些。”

分数是数学学习的难点之一。难在哪里?其实并不在等分蛋糕之类的语言表述上。细细想来，原来是“包含除”的数学思想方法没有很好掌握之故。

等分除的问题是从整体到部分，问的是部分“有多大”；包含除的问题则是从部分到整体,即已知部分的大小，问其整体含有几个部分，部分在整体里“占多少”。“等分除”是分数的几何模型，“包含除”是分数的算术模型。

几何模型理解起来方便一些，算术模型缺少几何背景，理解起来相对困难一些，但是它在数学里也更为深刻一些。三、等分除和包含除

除法常常问整体包含了多少个部分，当然也可以问部分包含了多少个整体，答案一般会是分数。实际上，这种一个量占另一个量多大份额的问题乃是分数单元最核心的本质问题。

“比”的概念是把一个部分作为新的整体来看，研究彼此之间的包含除关系。三、等分除和包含除

算理：是计算过程中的道理，是指计算过程中思维方式，是解决为什么这样算的问题。

算法：由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤。小学数学教学中，准确理解“算理”、“算法”的关系是提高数学课堂教学效率的关键。四、算理与算法1.算理与算法的关系

当学生进行了一定量的练习以后，发现了计算的规律：个位数只能与个位数直接相加、十位数只能与十位数直接相加、百位数只能与百位数直接相加，也就是相同数位上的数才能直接相加，最后再把几个得数合并，这是学生感悟算理的过程；最后进行优化计算过程，为了便于计算一般写成竖式形式，在此基础上引导学生抽象概括出普遍适用的计算法则：把相同数位对齐列出竖式，再从个位加起，满十向前一位进一，这就是算法。

从上面的分析可以看出算理与算法有这些关系：算理是客观存在的规律，算法却是人为规定的操作方法；算理为计算提供了正确的思维方式，保证了计算的合理性和正确性，算法为计算提供了快捷的操作方法，提高了计算的速度；算理是算法的理论依据，算法是算理的提炼和概括，算法必须以算理为前提，算理必须经过算法实现优化，它们是相辅相成的。1.算理与算法的关系

2.如何处理算理和算法的关系

怎样处理好算理与算法教学统一，使学生既理解算理，又能牢固掌握算法、提高计算的速度和正确率呢？下面就以人教版二年级数学下册70页的两位数乘一位数为例，说说如实现算理与算法的教学统一。（1）引导研究，理解算理

学生只有理解了计算的道理，才能“创造”出计算的方法，才能理解和掌握计算方法，才能正确迅速地计算，所以计算教学必须从算理开始。教学中要引导学生对计算的道理进行深入的研究，帮助学生应用已有的知识领悟计算的道理。（1）引导研究，理解算理

例如，首先引导学生思考：为什么可以用14×2计算？使学生明白14×2表示求2个14是多少；其次，让学生思考：你打算怎么计算14×2？使学生明白14是由1个十和4个一组成的，可以把14×2转化成已经学过的乘法计算：先算2个10是多少，再算2个4是多少，最后，把两次算的得数合并，计算的过程有三个算式：4×2=8，10×2=20，20+8=28。通过这样的研究学生就理解两位数乘一位数计算的道理，学生就能应用这样的道理解决其他两位数乘一位数的计算问题。

（2）及时练习，巩固内化通过上面的计算研究，学生虽然初步理解了两位数乘一位数的道理，但是此时学生对算理的理解还处于似懂非懂的状态，学生是否真正掌握了算理还要经过实际计算才能得到检验和巩固，此时及时组织学生进行相应的练习是很有必要的，只有在练习中才能把算理内化为自己的理解，才能使学生理解和掌握算理。

（2）及时练习，巩固内化

所以在学生初步理解了算理后，应当及时组织学生用两、三个算式进行两位数乘一位数的练习，使学生在练习中加深对算理的理解，在练习中牢固掌握算理，为后面的抽象、概括计算方法奠定坚实的基础。

（3）应用算理，进行创造

算理是计算的思维本质，如果都这样思考着算理进行计算，不但思维强度太大，而且计算的速度很慢。为了提高计算的速度，使计算更方便、快捷，就必须寻找到计算的普遍规律，抽象、概括出计算法则。计算法则是算理的外在表达形式，是避开了复杂思维过程的程式化的操作步骤，它使计算变得简便易行，它不但提高了计算的速度，还大大提高计算的正确率。

（3）应用算理，进行创造所以当学生理解和掌握了算理之后，应引导学生对计算过程进行反思，启发学生再思考：计算14×2要写出三个算式，你的感觉怎样？可以简化一下吗？怎么简化？学生通过独立思考、同伴交流、创造方便、快捷的计算方法：可以像计算加减法那样用竖式计算，根据算理：先算4×2=8，在个位上写上8，再算10×2=20，在十位上写2、个位上写0，最后再把8和20加起来等于28，得出竖式。接着再启发学生思考：还能再简化吗？通过师生共同研究，最终得出竖式计算的算法。

（4）观察比较，归纳方法

当学生比较熟练地继续竖式计算后，再引导学生对竖式计算过程进行观察反思：这些乘法的竖式计算都是怎么算的？分几个步骤？从而归纳出两位数乘一位数的计算法则：先用一位乘数乘两位数的个位数，积的末尾写在个位上，再用一位乘数乘两位的十位数，积的末尾写在十位上。

（4）观察比较，归纳方法

这样的计算就不再思考每一步的计算道理，只要按照这样的操作步骤进行演算就能得到计算的结果，由于避开了复杂的思维过程，缩短计算的思维路径，把计算演变成一种机械的、程式化的操作方法，所以计算的速度大大加快，计算的效率大大提高。

这样的教学是以思维为主线、以算理为先导、以创造为契机，学生不但理解了算理，而且创造出了简便的计算方法，并发现计算的规律，归纳出计算的法则，可以实现算理与算法的统一。课改前：忽视算理，套用算法，只管对快；课改初：计算教学转到了另一个极端，十分重视你是怎么算的，还可以怎样算，而缺少计算方法的提炼，导致算理很突出，算法不扎实，学生计算技能不够熟练。当前：寻求算理与算法的平衡点成了计算教学的关键。“算理与算法”的现状分析

逆运算：两种运算中，第一种运算的条件是第二种运算的结果，第二种运算的结果是第一种运算的条件。这两种运算叫做互为逆运算。

加法和减法互为逆运算；乘法和除法互为逆运算。由此可以得到计算的策略：“想加法做减法；想乘法做除法”五、逆运算与估算【注】

乘法是加法的简便运算。如,5+5+5=5×3，那么，除法和减法的关系是什么？

除法可以看作连续减去相同数的简便运算，被除数就是被减数，除数就是相同的减数，连减的最多次数就是商。如，20÷5=20-5-5-5--5-5=4.如果连续减去若干次后，刚好减完，说明余数为0；如果连续减去若干次后最后的差不是0，但比除数小，那么最后的差是余数。

估算：估算是根据具体条件及有关知识对事物的数量或算式的结果作出的大概推断或估计。估算是计算能力的重要组成部分。五、逆运算与估算

一学段：能用多种方法进行估算。（估算意识的培养）

二学段：能根据实际情况对估算方法进行评估。（估算技能的培养）《数学课程标准》对“估算”教学的要求

估算是在计算、测量时无法也没有必要进行精确计算或测量，对数量关系做合理的大概推断。在小学课堂教学中，何时“估算”、何时“精确计算”？可以参考下面的建议。五、逆运算与估算用计算器问题情境用笔算需要计算需要近似答案估算需要精确答案用心算精算与估算“估算”教学的策略——教学生估算的方法1.凑整。

取整十数、四舍五入

3.利用特殊数据特点估数。127×26×7×3=127×26×21≈130×625=812502.取中间数。

672+678+673+679≈675×4=27004.寻找区间，看首位。首位-1：至少；首位都+1：最多。例如，4.3×3.7

至少：4×3=12最多：5×4=205.都往大估，或都往小估；一个估大，一个估小；或一个估，一个不估（视具体情境而定）先估后调。“估算”教学的策略——教学生估算的方法例：妈妈用100元钱买下列物品，够吗？24元33元44元6.利用乘法口诀估算。

“两位数除以一位数的估算”（三下）教科书中设计了如下一些估算题目：

59÷388÷391÷241÷462÷4……7.利用估算进行判断。612÷3≈24128×83=7994292×29=10128“估算”教学的策略——教学生估算的方法

总之，估算的方法有多种，要让学生在日常生活中多观察，鼓励学生用不同的方法解决问题，通过不失时机的估算训练，使学生感受到估算是解决问题的一种策略。用它可以简洁并迅速地解决某些问题，从而在培养学生估算技能的同时逐步向学生渗透估算的意识和理念。五、逆运算与估算

基数和序数：当一个自然数被用来表示事物数量多少的时候，通常称为基数，当一个自然数被用来表示事物次序的时候，通常称为序数。

数字值：数字本身所表示的值叫做数字值。

位置值：数字本身与其位置结合起来所表示的值叫做位置值。六、与数有关的概念

在自然数集中，对大于1的自然数，如果其因数除了1和它本身之外，不能被其他数整除，称这样的自然数为质数，又称素数。除1、0以外不是质数的正整数称为合数。“0”、“1”既不是质数也不是合数。

互质数：几个数的最大公约数是1的时候，这几个数就叫做互质数。六、与数有关的概念

数级：我国习惯上把多位数按四位分级，即从个位起，每四个数位算作一级。个、十、百、千位是个级，万、十万、百万、千万是万级，亿、十亿、百亿、千亿位是亿级。个级，万级，亿级等叫做数级。

准确数：在实际生活中有些量需要用和实际情况完全符合的数来表示，这些数叫做准确数。六、与数有关的概念

纯小数：一个整数部分是零的小数。

循环小数：从小数点后某一位开始不断地出重复现前一个或一节数码的十进制无限小数，如2.1666…；35.232323…等，叫做循环小数，被重复的一个或一节数码称为循环节。循环小数的缩写法是将第一个循环节以后的数码全部略去，而在保留的循环节首末两位上方各添一个小点。例如：六、与数有关的概念2.166…6…缩写为2.16（读作“二点一六，六循环”）

0.34103103…103…缩写为0.34103（读作“零点三四一零三，一零三循环”）六、与数有关的概念...

循环小数中，如果小数部分从十分位开始出现循环的循环小数叫做纯循环小数；从十分位后开始循环的小数叫做混循环小数。

脱式：对于四则混合运算的式子题，按照运算的顺序（有括号要先算括号内的式子；其次计算乘、除，后算加、减；同级运算按从左至右的顺序计算），一步一步地运算的式子，叫做脱式，或脱式计算。例如：六、与数有关的概念408－12×24；(108＋47)×52;420×(327－238)；(46＋28)×6042×50－1715÷532＋105÷5.有趣的数：

在古希腊，数有各种各样的意思。如有下列一些情况：

1意味着创造；

2像征女性；

3像征男性；

2加3等于5，所以5就表示结婚。

案例完整数：

在自然数n的约数中，把除了n以外的约数全部相加，结果正好是n时，则把这个n称为完整数。

例如:第一个完整数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1＋2＋3＝6。第二个完整数是28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，1＋2＋4+7+14＝28。后面的完整数是496、8128.友爱数和婚约数：

有两个正整数a、b，a除了自身以外的约数之和等于b，b除了自身以外的约数之和等于a，把这样的一组数称为“友爱数”。比如220和284.a除了1和自身以外的约数之和等于b，b除了1和自身以外的约数之和等于a，把这样的一组数称为“婚约数”。比如48和75

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遥远的古代，人们发现某些自然数之间有特殊的关系：如果两个数a和b，a的所有真因数之和等于b,b的所有真因数之和等于a,则称a,b是一对友爱数。据说，毕达哥拉斯(Pythagoras,约前580年—前500年)的一个门徒向他提出这样一个问题：“我结交朋友时，存在着数的作用吗？”毕达哥拉斯毫不犹豫地回答：“朋友是你的灵魂的倩影，要象220和284一样亲密。”220和284是人类最早发现，又是最小的一对友爱数。

在以后的1500年间，世界上有很多数学家致力于探寻友爱数，面对茫茫数海，无疑是大海捞针，虽经一代又一代人的穷思苦想，有些人甚至为此耗尽毕生心血，却始终没有收获。直到费尔马(P