第五章 统计推断

第五章统计推断统计推断是根据总体理论分布，从样本的统计量对总体参数的推断。主要包括假设检验（testofhypothesis）和参数估计（parametricestimation）二个内容。统计推断的目的是分析误差产生的原因，确定误差的性质，排除误差的干扰，从而对总体的特征做出正确的判断。5.1假设检验的原理和方法一、假设检验的概念：

(见P30)。假设检验又叫显著性检验（testofsignificance）先对总体的参数(或分布形式)提出某种假设，然后利用样本信息判断假设是否成立的过程.逻辑上运用反证法，统计上依据小概率原理.有参数检验和非参数检验.

生物统计学中，一般认为等于或小于0.05或0.01的概率为小概率。分别表示为差异显著或极显著。二、假设检验的步骤（一）、提出假设1、原假设(nullhypothesis)

－无效假设（ineffectivehypothesis)研究者想收集证据予以反对的假设，又称“0假设”。原假设的内容总是表示没有差异或没有改变，或变量间没有关系等等。试验结果的差异由误差所致。表示为H0H0：

=某一数值指定为符号=，

或

例如,H0：

10cm2、备择假设(alternativehypothesis)

研究者想收集证据予以支持的假设也称“研究假设”总是有符号

,

或

表示为H1H1：

<某一数值，或

某一数值例如,H1：

<10cm，或

10cm【例】一种零件的生产标准是直径应为10cm，为对生产过程进行控制，质量监测人员定期对一台加工机床检查，确定这台机床生产的零件是否符合标准要求。如果零件的平均直径大于或小于10cm，则表明生产过程不正常，必须进行调整。试陈述用来检验生产过程是否正常的原假设和备择假设解：研究者想收集证据予以证明的假设应该是“生产过程不正常”。建立的原假设和备择假设为

H0：

10cmH1：

10cm【例】某品牌洗涤剂在它的产品说明书中声称：平均净含量不少于500g。从消费者的利益出发，有关研究人员要通过抽检其中的一批产品来验证该产品制造商的说明是否属实。试陈述用于检验的原假设与备择假设解：研究者抽检的意图是倾向于证实这种洗涤剂的平均净含量并不符合说明书中的陈述。建立的原假设和备择假设为

H0：

500H1：

<500【例】一家研究机构估计，某城市中家庭拥有汽车的比例超过30%。为验证这一估计是否正确，该研究机构随机抽取了一个样本进行检验。试陈述用于检验的原假设与备择假设解：研究者想收集证据予以支持的假设是“该城市中家庭拥有汽车的比例超过30%”。建立的原假设和备择假设为

H0：

30%H1：

30%小结：原假设和备择假设是一个完备事件组，而且相互对立在一项假设检验中，原假设和备择假设必有一个成立，而且只有一个成立先确定备择假设，再确定原假设等号“=”总是放在原假设上因研究目的不同，对同一问题可能提出不同的假设(也可能得出不同的结论)（二）、确定显著水平1. 是一个概率值2. 原假设为真时，拒绝原假设的概率抽样分布的拒绝域3. 表示为

(alpha)常用的

值有0.01,0.05,0.104. 由研究者事先确定显著性水平

和统计显著性（理解）：我们可以在事先确定用于拒绝原假设H0的证据必须强到何种程度。这等于说我们要求多小的P值。而这个P值就叫显著性水平，用

表示显著性水平表示总体中某一类数据出现的经常程度假如我们选择

=0.05，样本数据能拒绝原假设的证据要强到：当H0正确时，这种样本结果发生的频率不超过5%；如果我们选择

=0.01，就是要求拒绝H0的证据要更强，这种样本结果发生的频率只有1%如果P值小于或等于

，我们称该组数据不利于原假设的证据有

的显著性水平(三）、计算检验统计量(teststatistic)根据样本观测结果计算得到的，并据以对原假设和备择假设作出决策的某个样本统计量在H0正确的前提下获得检验统计量的抽样分布，计算假设正确的概率原假设H0为真点估计量的抽样分布标准化的检验统计量

标准化检验统计量＝点估计量－假设值点估计量的抽样标准差（四）、推断是否接受假设根据“小概率事件实际上不可能发生”原理接受或否定假设决策规则★（临界值、分位数）给定显著性水平

，查表得出相应的临界值z

或z

/2，t

或t

/2将检验统计量的值与

水平的临界值进行比较作出决策双侧检验：I统计量I>临界值，拒绝H0左侧检验：统计量<-临界值，拒绝H0右侧检验：统计量>临界值，拒绝H0★（P值）若p值<

,拒绝H0显著性水平和拒绝域

(双侧检验)显著性水平和拒绝域

(单侧检验)固定显著性水平是否有意义?有了P值，我们并不需要用5%或1%这类传统的显著性水平。P值提供了更多的信息，它让我们可以选择任意水平来评估结果是否具有统计上的显著性，从而可根据我们的需要来决定是否要拒绝原假设只要你认为这么大的P值就算是显著了，你就可以在这样的P值水平上拒绝原假设传统的显著性水平，如1%、5%、10%等等，已经被人们普遍接受为“拒绝原假设足够证据”的标准，我们大概可以说：10%代表有“一些证据”不利于原假设；5%代表有“适度证据”不利于原假设；1%代表有“很强证据”不利于原假设三、双尾检验与单尾检验备择假设没有特定的方向性，并含有符号“

”的假设检验，称为双侧检验或双尾检验(two-tailedtest)备择假设具有特定的方向性，并含有符号“>”或“<”的假设检验，称为单侧检验或单尾检验(one-tailedtest)备择假设的方向为“<”，称为左侧检验

备择假设的方向为“>”，称为右侧检验

(假设的形式)假设双侧检验单侧检验左侧检验右侧检验原假设H0:m

=m0H0:m

m0H0:m

m0备择假设H1:m

≠m0H1:m

<m0H1:m

>m0以总体均值的检验为例四、假设检验中的两类错误1. 第Ⅰ类错误(弃真错误)原假设为正确时拒绝原假设第Ⅰ类错误的概率记为

被称为显著性水平2. 第Ⅱ类错误(取伪错误)原假设为错误时未拒绝原假设第Ⅱ类错误的概率记为

(Beta)两类错误的控制一般来说，发生哪一类错误的后果更为严重，就应该首要控制哪类错误发生的概率。但由于犯第Ι类错误的概率是可以由研究者控制的，因此在假设检验中，人们往往先控制第Ι类错误的发生概率

(1)在样本容量n固定的条件下，提高显著水平(取较小的值)，如从5%变为1%则将增大第二类错误的概率值。

(2)在n和显著水平相同的条件下，真总体平均数和假设平均数的相差(以标准误为单位)愈大，则犯第二类错误的概率值愈小。

(3)为了降低犯两类错误的概率，需采用一个较低的显著水平，如=0.05；同时适当增加样本容量，或适当减小总体方差，或两者兼有之。(4)如果显著水平已固定下来，则改进试验技术和增加样本容量可以有效地降低犯第二类错误的概率。因此，不良的试验设计(如观察值太少等)和粗放的试验技术，是使试验不能获得正确结论的极重要原因。因为在这样的情况下，容易接受任一个假设，而不论这假设是正确的或错误的。

错误和

错误的关系五、假设检验结论的表述(“接受”与“不拒绝”)假设检验的目的在于试图找到证据拒绝原假设，而不在于证明什么是正确的当没有足够证据拒绝原假设时，不采用“接受原假设”的表述，而采用“不拒绝原假设”的表述。“不拒绝”的表述实际上意味着并未给出明确的结论，我们没有说原假设正确，也没有说它不正确“接受”的说法有时会产生误导，因为这种说法似乎暗示着原假设已经被证明是正确的了。但事实上，H0的真实值我们永远也无法知道，H0只是对总体真实值的一个假定值，由样本提供的信息也就自然无法证明它是否正确(“显著”与“不显著”)当拒绝原假设时，我们称样本结果是统计上显著的拒绝原假设时结论是清楚的当不拒绝原假设时，我们称样本结果是统计上不显著的不拒绝原假设时，并未给出明确的结论，不能说原假设是正确的，也不能说它不是正确的【例】比如原假设为H0:

=10，从该总体中抽出一个随机样本，得到

x=9.8，在

=0.05的水平上，样本提供的证据没有推翻这一假设，我们说“接受”原假设，这意味着样本提供的证据已经证明

=10是正确的。如果我们将原假设改为H0:

=10.5，同样，在

=0.05的水平上，样本提供的证据也没有推翻这一假设，我们又说“接受”原假设。但这两个原假设究竟哪一个是“真实的”呢？我们不知道5.2样本平均数的假设检验一、大样本平均数的检验（一）、一个样本平均数假定条件正态总体或非正态总体大样本(n

30)使用z检验统计量

2

已知：

2

未知【例】一种罐装饮料采用自动生产线生产，每罐的容量是255ml，标准差为5ml。为检验每罐容量是否符合要求，质检人员在某天生产的饮料中随机抽取了40罐进行检验，测得每罐平均容量为255.8ml。取显著性水平

=0.05，检验该天生产的饮料容量是否符合标准要求？解：H0

：

=255H1

：

255

=0.05n

=40z01.96-1.960.025拒绝H0拒绝H00.025检验统计量:决策:不拒绝H0结论:样本提供的证据还不足以推翻“该天生产的饮料符合标准要求”的看法【例】一种机床加工的零件尺寸绝对平均误差为1.35mm。生产厂家现采用一种新的机床进行加工以期进一步降低误差。为检验新机床加工的零件平均误差与旧机床相比是否有显著降低，从某天生产的零件中随机抽取50个进行检验。利用这些样本数据，检验新机床加工的零件尺寸的平均误差与旧机床相比是否有显著降低？(

=0.01)50个零件尺寸的误差数据(mm)1.261.191.310.971.811.130.961.061.000.940.981.101.121.031.161.121.120.951.021.131.230.741.500.500.590.991.451.241.012.031.981.970.911.221.061.111.541.081.101.641.702.371.381.601.261.171.121.230.820.86H0

：

1.35H1

：

<1.35

=0.01n

=50临界值(c):-2.33z0拒绝H00.01检验统计量:

决策:拒绝H0结论:新机床加工的零件尺寸的平均误差与旧机床相比有显著降低【例】某一小麦品种的平均产量为5200kg/hm2

。一家研究机构对小麦品种进行了改良以期提高产量。为检验改良后的新品种产量是否有显著提高，随机抽取了36个地块进行试种，得到的样本平均产量为5275kg/hm2，标准差为120/hm2

。试检验改良后的新品种产量是否有显著提高？(

=0.05)H0

：

5200H1

：

>5200

=0.05n

=36z0拒绝H00.051.645检验统计量:决策:拒绝H0(P=0.000088<

=0.05)结论:改良后的新品种产量有显著提高大样本检验方法的总结（二）、两个样本体均值之差的检验

(独立大样本)1. 假定条件两个样本是独立的随机样本正态总体或非正态总体大样本(n1

30和n2

30)检验统计量

12

，

22

已知：

12

，

22

未知：【例】某公司对男女职员的平均小时工资进行了调查，独立抽取了具有同类工作经验的男女职员的两个随机样本，并记录下两个样本的均值、方差等资料如右表。在显著性水平为0.05的条件下，能否认为男性职员与女性职员的平均小时工资存在显著差异？

两个样本的有关数据

男性职员女性职员n1=44n1=32=75=70S12=64S22=42.25H0

：

1-

2=0H1

：

1-

2

0

=0.05n1=44，n2

=32z01.96-1.960.025拒绝H0拒绝H00.025检验统计量:决策:拒绝H0结论:

该公司男女职员的平均小时工资之间存在显著差异

两个样本体均值之差的检验(独立大样本)

二、小样本平均数的检验（一）、一个样本平均数的t检验1. 假定条件总体服从正态分布小样本(n<

30)检验统计量

2

已知：

2

未知：【例】一种汽车配件的平均长度要求为12cm，高于或低于该标准均被认为是不合格的。汽车生产企业在购进配件时，通常是经过招标，然后对中标的配件提供商提供的样品进行检验，以决定是否购进。现对一个配件提供商提供的10个样本进行了检验。假定该供货商生产的配件长度服从正态分布，在0.05的显著性水平下，检验该供货商提供的配件是否符合要求？10个零件尺寸的长度(cm)12.210.812.011.811.912.411.312.212.012.3H0

：

=12H1

：

12

=0.05df

=10-1=9t02.262-2.2620.025拒绝

H0拒绝H00.025检验统计量:决策：不拒绝H0结论：样本提供的证据还不足以推翻“该供货商提供的零件符合要求”的看法P57例4.5小样本检验方法的总结（二）、成组数据平均数比较的t检验★两个总体均值之差的检验(

12，

22

已知)假定条件两个独立的小样本两个总体都是正态分布

12，

22已知检验统计量★两个总体均值之差的检验

(

12，

22

未知但

12=

22)假定条件两个独立的小样本两个总体都是正态分布

12、

22未知但相等，即

12=

22检验统计量其中：自由度两个总体均值之差的检验

(

12，

22

未知且不相等

12

22)假定条件两个总体都是正态分布

12，

22未知且不相等，即

12

22检验统计量自由度：（三）、成对数据平均数比较的t检验假定条件两个总体配对差值构成的总体服从正态分布配对差是由差值总体中随机抽取的

数据配对或匹配(重复测量(前/后))检验统计量样本差值均值样本差值标准差匹配样本(数据形式)观察序号样本1样本2差值1x11x21d1=x11-x212x12x22d2=x12-x22MMMMix1ix2idi

=x1i

-x2iMMMMnx1nx2ndn

=x1n-x2n(匹配样本检验方法的总结)两个总体均值检验方法总结5.3样本频率的假设检验许多生物试验的结果是用百分数或成数表示的，如结实率、发芽率、杀虫率、病株率以及杂种后代分离比例均为不同类型的百分率。这些百分数系由计数某一属性的个体数目求得，属间断性的计数资料，它与上述连续性的测量资料不相同。在理论上，这类百分数的假设测验应按二项分布进行，即从二项式的展开式中求出某项属性个体百分数的概率（略）。如样本容量n

较大，p不过小，而np和nq又均不小于5时,的分布趋近于正态。因而可以将百分数资料作正态分布处理，从而作出近似的测验。适于用u测验所需的二项样本容量n见表。表

适于用正态离差测验的二项样本的np和n值表(样本百分数)(较小组次数)n(样本容量)0.5015300.4020500.3024800.20402000.10606000.05701400一、单个样本频率（百分数）的假设测验★np或nq<5，则由二项式展开式直接检验。★5<np或nq<30时，二项式分布趋近正态，可用z检验（n≧30)或t检验（n<30)，但需进行连续性矫正。★np、nq均大于30时，用z检验，不需进行连续性矫正。样本频率的标准误为：在不需要进行连续矫正时，z值的计算公式为：在需要进行连续矫正时，值的计算公式为：例4.10，4.11二、两个样本频率（百分数）的假设测验★np或nq<5，则由二项式展开式直接检验。★5<np或nq<30时，二项式分布趋近正态，可用z检验（n≧30)或t检验（n<30)，但需进行连续性矫正。★np、nq均大于30时，用z检验，不需进行连续性矫正。两个样本频率的标准误为：在的条件下，两个样本频率的标准误为：其中，x1、x2

分别代表两样本中某属性出现的次数，n1n2

分别为两样本的容量。

在不需要进行连续矫正时，z值的计算公式为：例4.12，4.13在需要进行连续矫正时，zc值的计算公式为：5.4总体方差的检验(

2检验)

（一）、一个样本检验一个总体的方差或标准差假设总体近似服从正态分布使用

2分布检验统计量假设的总体方差样本方差【例】啤酒生产企业采用自动生产线灌装啤酒，每瓶的装填量为640ml，但由于受某些不可控因素的影响，每瓶的装填量会有差异。此时，不仅每瓶的平均装填量很重要，装填量的方差同样很重要。如果方差很大，会出现装填量太多或太少的情况，这样要么生产企业不划算，要么消费者不满意。假定生产标准规定每瓶装填量的标准差不应超过和不应低于4ml。企业质检部门抽取了10瓶啤酒进行检验，得到的样本标准差为s=3.8ml。试以0.10的显著性水平检验装填量的标准差是否符合要求？

2016.91903.32511

/2=0.05H0

：

2=42H1

：

2

42

=0.10df

=10-1=9临界值(s):统计量:决策:不拒绝H0样本提供的证据还不足以推翻“装填量的标准差不符合要求”的看法

结论:总体方差的检验(检验方法的总结)（二）、两个总体方差比的检验(F

检验)假定条件两个总体都服从正态分布，且方差相等两个独立的随机样本检验统计量F

检验(临界值)两个总体方差比的检验

(检验方法的总结)5.5参数估计矩估计法最小二乘法最大似然法顺序统计量法估计方法点估计区间估计点估计(pointestimate)用样本的估计量的某个取值直接作为总体参数的估计值例如：用样本均值直接作为总体均值的估计；用两个样本均值之差直接作为总体均值之差的估计无法给出估计值接近总体参数程度的信息虽然在重复抽样条件下，点估计的均值可望等于总体真值，但由于样本是随机的，抽出一个具体的样本得到的估计值很可能不同于总体真值一、区间估计和点估计区间估计(intervalestimate)在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样本统计量加减估计误差而得到根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量比如，某班级平均分数在75～85之间，置信水平是95%置信区间置信下限置信上限样本统计量

(点估计)区间估计的图示置信区间(confidenceinterval)由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个置信水平(confidencelevel)置信区间包含总体参数真值的次数所占的比例称为置信水平表示为(1-

为是总体参数未在区间内的比例常用的置信水平值有99%,95%,90%相应的

为0.01，0.05，0.10(95%的置信区间)置信区间与置信水平评价估计量的标准无偏性(unbiasedness)无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数有效性(efficiency)有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计量，有更小标准差的估计量更有效

一致性(consistency)一致性：随着样本容量的增大，估计量的值越来越接近被估计的总体参数二、总体均值的区间估计结果的四舍五入法则当用原始数据构建置信区间时，置信区间的计算结果应保留的小数点位数要比原始数据中使用的小数点多一位如，原始数据有一位小数，置信区间的结果应保留两位小数当不知道原始数据，只使用汇总统计量(n，x，s)时，置信区间的计算结果保留的小数点位数应与样本均值使用的小数点位数相同总体均值的区间估计

(正态总体、

２已知，或非正态总体、大样本)1. 假定条件总体服从正态分布,且方差(

２)

已知如果不是正态分布，可由正态分布来近似(n

30)使用正态分布统计量z3.总体均值

在1-

置信水平下的置信区间为（一）、一个总体均值的区间估计例题分析【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量（单位：g）如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为10g。试估计该批产品平均重量的置信区间，置信水平为95%25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5

95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6

95.4

97.8108.6105.0136.8102.8101.5

98.4

93.3解：已知Ｘ~N(

，102)，n=25,1-

=95%，z

/2=1.96。根据样本数据计算得：。由于是正态总体，且方差已知。总体均值

在1-

置信水平下的置信区间为该食品平均重量的置信区间为101.44g~109.28g(例题分析)【例】一家保险公司收集到由36投保个人组成的随机样本，得到每个投保人的年龄(单位：周岁)数据如下表。试建立投保人年龄90%的置信区间36个投保人年龄的数据233539273644364246433133425345544724342839364440394938344850343945484532解：已知n=36,1-

=90%，z

/2=1.645。根据样本数据计算得：，

总体均值

在1-

置信水平下的置信区间为投保人平均年龄的置信区间为37.37岁~41.63岁总体均值的区间估计

(正态总体、

２未知、小样本)1. 假定条件总体服从正态分布,但方差(

２)

未知小样本(n<30)使用t

分布统计量总体均值

在1-

置信水平下的置信区间为总体均值

在1-

置信水平下的置信区间为P67：例4.15（二）、两个总体均值的区间估计(独立大样本)1. 假定条件两个总体都服从正态分布，

1２，

2２已知若不是正态分布,可以用正态分布来近似(n1

30和n2

30)两个样本是独立的随机样本使用正态分布统计量z在1-

置信水平下的置信区间(大样本)1.

1２，

2２已知时，两个总体均值之差

1-

2在1-

置信水平下的置信区间为

1２，

2２未知时，两个总体均值之差

1-

2在1-

置信水平下的置信区间为★两个总体均值之差的估计(匹配大样本)假定条件两个匹配的大样本(n1

30和n2

30)两个总体各观察值的配对差服从正态分布两个总体均值之差

d=

1-

2在1-

置信水平下的置信区间为对应差值的标准差对应差值的均值两个总体均值之差的区间估计(独立小样本)(小样本:

12=

22

)1. 假定条件两个总体都服从正态分布两个总体方差未知但相等：

1２=

2２两个独立的小样本(n1<30和n2<30)总体方差的合并估计量3.估计量

x1-x2的抽样标准差两个样本均值之差的标准化统计量两个总体均值之差

1-

2在1-

置信水平下的置信区间为(例题分析)【例】为估计两种方法组装产品所需时间的差异，分别对两种不同的组装方法各随机安排12名工人，每个工人组装一件产品所需的时间(单位：min)如下表。假定两种方法组装产品的时间服从正态分布，且方差相等。试以95%的置信水平建立两种方法组装产品所需平均时间差值的置信区间两个方法组装产品所需的时间方法1方法228.336.027.631.730.137.222.226.029.038.531.032.037.634.433.831.232.128.020.033.428.830.030.226.5解:根据样本数据计算得合并估计量为两种方法组装产品所需平均时间之差的置信区间为0.14min~7.26min两个总体均值之差的估计

(小样本:

12

22

)1. 假定条件两个总体都服从正态分布两个总体方差未知且不相等：

1２

2２两个独立的小样本(n1<30和n2<30)使用统计量自由度v

两个总体均值之差

1-

2在1-

置信水平下的置信区间为(例题分析)【例】沿用前例。假定第一种方法随机安排12名工人，第二种方法随机安排8名工人，即n1=12，n2=8，所得的有关数据如表。假定两种方法组装产品的时间服从正态分布，且方差不相等。以95%的置信水平建立两种方法组装产品所需平均时间差值的置信区间两个方法组装产品所需的时间方法1方法228.336.027.631.730.137.222.226.529.038.531.037.634.433.832.128.020.028.830.030.2解:根据样本数据计算得自由度为两种方法组装产品所需平均时间之差的置信区间为0.192min~9.058min★两个总体均值之差的估计(匹配小样本)假定条件两个匹配的小样本(n1<30和n2<30)两个总体各观察值的配对差服从正态分布

两个总体均值之差

d=

1-

2在1-

置信水平下的置信区间为(例题分析)【例】由10名学生组成一个随机样本，让他们分别采用A和B两套试卷进行测试，结果如右表。试建立两种试卷分数之差

d=